武汉市江岸区八年级(下)期末数学试卷含答案解析

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．（3分）在函数y=中，自变量x的取值范围是（　　）

A．x≠1    B．x＞1    C．x＜1    D．x≥1

2．（3分）下列各点不在函数y=2x+1的图象上的是（　　）

A．（1，3）    B．（﹣3，﹣6）    C．（0，1）    D．（﹣1，﹣1）

3．（3分）一次函数y=2x+3的图象不经过的象限是（　　）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

4．（3分）某校篮球课外活动小组21名同学的身高如下表

A．176，176    B．176，177    C．176，178    D．184，178

5．（3分）菱形的周长是16cm，菱形的高是2cm，则菱形其中一个内角的角度是（　　）

A．30°    B．45°    C．60°    D．75°

6．（3分）等腰三角形的腰长是10，一腰上的高为6，则底边长为（　　）

A．    B．    C．或    D．或

7．（3分）已知△ABC的面积是1，A1、B1、C1分别是△ABC三边上的中点，△A1B1C1的面积记为S1；A2、B2、C2分别是△A1B1C1三边上的中点，△A2B2C2的面积记为S2；以此类推，则△A4B4C4的面积S4是（　　）

A．    B．    C．    D．

8．（3分）已知一次函数y=kx+b经过两点（x1，y1），（x2，y2），若k＜0，则当x1＜x2时，（　　）

A．y1＜y2    B．y1＞y2    C．y1=y2    D．无法比较

9．（3分）某汽车经销商推出A、B、C、D四种型号的小轿车进行展销，C型号轿车的成交率为50%，其它型号轿车的销售情况绘制如图，根据图中所给出信息，下列判断：

①参展四种型号的小轿车共1000辆；

②参展的D种型号小轿车有250辆；

③A型号小轿车销售的成交率最高．

其中正确的判断有（　　）

A．0个    B．1个    C．2个    D．3个

10．（3分）如图所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=，点E是折线ADC上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（　　）

A．2个    B．3个    C．4个    D．5个

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）某次能力测试中，10人的成绩统计如表，则这10人成绩的平均数为　   　．

13．（3分）如图，在△ABC中，AB=BC，AB=12cm，F是AB边上一点，过点F作FE∥BC交AC于点E，过点E作ED∥AB交BC于点D．则四边形BDEF的周长是　   　cm．

14．（3分）把矩形ABCD沿着CE折叠，使得点B落在DB上，若AB=8，BC=10，则折痕线CE=　   　．

15．（3分）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的若干分内既进水又出水，之后只出水不进水．每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分）之间的关系如图．则a=　   　．

16．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在直线BC，DC上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠MAN的度数为　   　．

三、解答题（共7小题，共72分）

17．（14分）计算：

（1）

（2）．

18．（8分）直线y=kx+b交坐标轴于A（﹣2，0），B（0，3）两点，求不等式kx+b＞0的解集．

19．（8分）如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥OF分别交AB、BC于点E、F．求证：BE+BF=AD．

20．（10分）今年以来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了不完整的三种统计图表．

对雾霾了解程度的统计表：

（1）本次参与调查的学生共有　   　人，m=　   　，n=　   　；

（2）图2所示的扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是多少度；

（3）请补全条形统计图．

21．（10分）玩具加工厂预计生产甲、乙两种玩具产品共50件，已知生产一件甲种玩具需要A种原料3个，B种原料6个，可获利80元；生产一件乙种玩具需要A种原料5个，B种原料5个，可获利100元，已知玩具加工厂现有A种原料220个，B种原料267个，假设生产甲种玩具x个，共获利y元．

（1）请问有几种方案符合生产玩具的要求；

（2）请你写出y与x之间的函数关系，并用函数的知识来设计一个方案使得获利最大，最大利润是多少元？

22．（10分）如图1，点E为正方形ABCD的边AB上一点，EF⊥EC，且EF=EC，连接AF．

（1）求∠FAD的度数；

（2）如图2，连接FC交BD于M，求证：AD=AF+2DM；

（3）如图2，连接FC交BD于M，交AD于N．若AF=，AN=10，则BM的长为　   　．

23．（12分）已知一次函数y=kx+b的图象经过点M（﹣1，3）、N（1，5）．直线MN与坐标轴相交于点A、B两点．

（1）求一次函数的解析式．

（2）如图1，点C与点B关于x轴对称，点D在线段OA上，连结BD，把线段BD顺时针方向旋转90°得到线段DE，作直线CE交x轴于点F，求的值．

（3）如图2，点P是直线AB上一动点，以OP为边作正方形OPNM，连接ON、PM交于点Q，连BQ，当点P在直线AB上运动时，的值是否会发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．

2014-2015学年湖北省武汉市江岸区八年级（下）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．（3分）在函数y=中，自变量x的取值范围是（　　）

A．x≠1    B．x＞1    C．x＜1    D．x≥1

【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0可知：x﹣1＞0，可求自变量x的取值范围．

【解答】解：根据题意得：x﹣1＞0，

解得x＞1．

故选B．

【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．

2．（3分）下列各点不在函数y=2x+1的图象上的是（　　）

A．（1，3）    B．（﹣3，﹣6）    C．（0，1）    D．（﹣1，﹣1）

【分析】将A，B，C，D数据分别代入y=2x+1，根据图象上点的坐标性质即可得出答案．

【解答】解：A、将（1，3）代入y=2x+1，x=1时，y=3，此点在图象上，故此选项正确，

B．将（﹣3，6）代入y=2x+1，x=﹣3时，y=﹣5，此点不在图象上，故此选项错误，

C．将（0，1）代入y=2x+1，x=0时，y=1，此点在图象上，故此选项正确，

D．将（﹣1，﹣1）代入y=2x+1，x=﹣1时，y=﹣1，此点在图象上，故此选项正确，

故选：B．

【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．

3．（3分）一次函数y=2x+3的图象不经过的象限是（　　）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

【分析】根据k，b的符号确定一次函数y=2x+3的图象经过的象限．

【解答】解：∵k=2＞0，图象过一三象限，b=3＞0，图象过第二象限，

∴直线y=2x+3经过一、二、三象限，不经过第四象限．

故选D．

【点评】本题考查一次函数的k＞0，b＞0的图象性质．需注意x的系数为1，难度不大．

4．（3分）某校篮球课外活动小组21名同学的身高如下表

A．176，176    B．176，177    C．176，178    D．184，178

【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，及中位数的定义，结合所给数据即可得出答案．

【解答】解：身高为176的人数最多，故身高的众数为176；

共21名学生，中位数落在第11名学生处，第11名学生的身高为178，故中位数为178．

故选C．

【点评】本题考查了众数及中位数的知识，解答本题的关键是掌握众数及中位数的定义，在求中位数的时候注意数据的奇偶性．

5．（3分）菱形的周长是16cm，菱形的高是2cm，则菱形其中一个内角的角度是（　　）

A．30°    B．45°    C．60°    D．75°

【分析】首先根据题意画出图形，然后由菱形的周长是16cm，可求得AB=4cm，又由高是2cm，即可求得答案．

【解答】解：如图，∵菱形的周长是16cm，

∴AB=4cm，

∵高是2cm，

∴AE=2cm，AE⊥BC，

∴AE=AB，

∴∠B=30°，

∴∠D=∠B=30°，∠BAC=∠C=150°，

∴菱形的各角为：30°，150°，30°，150°．

故选：A．

【点评】此题考查了菱形的性质，注意掌握数形结合思想的应用是解题关键．

6．（3分）等腰三角形的腰长是10，一腰上的高为6，则底边长为（　　）

A．    B．    C．或    D．或

【分析】解答此题需分两种情况：①当等腰三角形的顶角为锐角时，这时腰上的高在三角形的内部；②当等腰三角形的顶角为钝角时，这时腰上的高在等腰三角形的腰的延长线上；进一步利用勾股定理解答即可．

【解答】解：①当等腰三角形的顶角为锐角时，如图，

在Rt△ABD中，

AD==8，

CD=AC﹣AD=10﹣8=2，

在Rt△BDC中，

BC2=BD2+CD2=62+22=40，

∴BC==2，

②当等腰三角形的顶角为钝角时，如图，

在Rt△ABD中，由勾股定理可得：AD=8，CD=AC+AD=10+8=18，

在Rt△BDC中，

BC2=BD2+CD2=62+182=360；

∴BC==6，

故选：C．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理的运用，此题解答时注意分两种情况讨论，作出图形，结合图形，利用勾股定理进行计算．

7．（3分）已知△ABC的面积是1，A1、B1、C1分别是△ABC三边上的中点，△A1B1C1的面积记为S1；A2、B2、C2分别是△A1B1C1三边上的中点，△A2B2C2的面积记为S2；以此类推，则△A4B4C4的面积S4是（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】由于A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，就可以得出△A1B1C1∽△ABC，且相似比为，就可求出S=s△ABC=×1=，同样地方法得出S=，即可得出答案．

【解答】解：∵A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，

∴A1B1、A1C1、B1C1是△ABC的中位线，

∴△A1B1C1∽△ABC，且相似比为，

∴S△A1B1C1：S△ABC=1：4，且S△ABC=1，

∴S△A1B1C1=，

∵A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，

∴△A1B1C1的∽△A2B2C2且相似比为，

∴S△A2B2C2=，

依此类推：S=，

故选D．

【点评】本题考查了三角形中位线定理的运用，相似三角形的判定与性质的运用，能根据求出的数得出规律是解此题的关键．

8．（3分）已知一次函数y=kx+b经过两点（x1，y1），（x2，y2），若k＜0，则当x1＜x2时，（　　）

A．y1＜y2    B．y1＞y2    C．y1=y2    D．无法比较

【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，进而可得出结论．

【解答】解：∵一次函数y=kx+b中k＜0，

∴y随x的增大而减小．

∵x1＜x2，

∴y1＞y2．

故选B．

【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．

9．（3分）某汽车经销商推出A、B、C、D四种型号的小轿车进行展销，C型号轿车的成交率为50%，其它型号轿车的销售情况绘制如图，根据图中所给出信息，下列判断：

①参展四种型号的小轿车共1000辆；

②参展的D种型号小轿车有250辆；

③A型号小轿车销售的成交率最高．

其中正确的判断有（　　）

A．0个    B．1个    C．2个    D．3个

【分析】①根据C型号轿车销售100辆，成交率为50%，用除法可得参展的C种型号小轿车辆数，再除以C型号轿车参展的百分比即可得参展四种型号的小轿车辆数；

②先计算出参展的D种型号小轿车所占的百分比，再用参展四种型号的小轿车的总辆数乘以参展的D种型号小轿车的百分比即可得参展的D种型号小轿车的辆数；

③计算出4种轿车销售量与参展量的百分比，再比较他们百分比的大小就可以求出哪一种型号的轿车销售情况最好．

【解答】解：①∵100÷50%÷20%=1000（辆），

∴参展四种型号的小轿车共1000辆；

②∵1﹣20%﹣20%﹣35%=25%，

1000×25%=250（辆），

∴参展的D种型号小轿车有250辆；

③由题意得四种型号轿车的成交率分别为：

A：168÷（1000×35%）×100%=48%，

B：98÷（1000×20%）×100%=49%，

C：50%，

D：130÷250×100%=52%．       

∵48%＜49%＜50%＜52%，

∴D种型号的轿车销售情况最好．

故选：C．

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

10．（3分）如图所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=，点E是折线ADC上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（　　）

A．2个    B．3个    C．4个    D．5个

【分析】根据题意，结合图形，分情况讨论：①BP为底边；②BP为等腰三角形一腰长．

【解答】解：①BP为等腰三角形一腰长时，符合点E的位置有2个，是BC的垂直平分线与以B为圆心BA为半径的圆的交点即是点P；

②BP为底边时，C为顶点时，符合点E的位置有2个，是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点即是点P；

③以PC为底边，B为顶点时，这样的等腰三角形不存在，因为以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆没有交点．

故选：C．

【点评】本题考查了矩形的性质以及等腰三角形的判定，需对知识进行推理论证、运算及探究．

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）某次能力测试中，10人的成绩统计如表，则这10人成绩的平均数为　3　．

【解答】解：×（5×3+4×1+3×2+2×1+1×3）

=×（15+4+6+2+3）

=×30

=3．

所以，这10人成绩的平均数为3．

故答案为：3．

【点评】本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求5、4、3、2、1这五个数的算术平均数，对平均数的理解不正确．

12．（3分）已知，，则x2+xy+y2=　10　．

【分析】把所求的式子化成（x+y）2﹣xy的形式，然后代入求解即可．

【解答】解：原式=（x+y）2﹣xy

=（2）2﹣（+1）（﹣1）=12﹣2=10．

故答案是：10．

【点评】本题考查了二次根式的化简求值，正确对所求的式子进行变形是关键．

13．（3分）如图，在△ABC中，AB=BC，AB=12cm，F是AB边上一点，过点F作FE∥BC交AC于点E，过点E作ED∥AB交BC于点D．则四边形BDEF的周长是　24　cm．

【分析】根据平行线的性质证得△AFE、△CDE是等腰三角形，得AF=EF、CD=DE，从而将四边形BDEF的边长转换为AB、AC的长．

【解答】解：∵AB=BC，

∴∠A=∠C；

∵EF∥BC，

∴∠AEF=∠C=∠A，

同理，得：∠DEC=∠A=∠C；

则△AFE、△EDC是等腰三角形，AF=FE、CD=DE；

∴C四边形BDEF=BF+BD+DE+EF=BF+AF+BD+CD=AB+BC=24cm．

故答案为24cm．

【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，能够发现四边形BDEF的周长与AB、AC的关系是解答此题的关键．

14．（3分）把矩形ABCD沿着CE折叠，使得点B落在DB上，若AB=8，BC=10，则折痕线CE=　5　．

【分析】先在Rt△DCF中，求出DF，再在Rt△AEF中，利用勾股定理即可解决问题．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D=90°，

∵△CEF是由△CEB翻折得到，

∴BC=CF=10，∵AB=CD=8，

∴DF==6，

∴AF=AD﹣DF=4，

设BE=EF=x，

在Rt△AEF中，∵AE2+AF2=EF2，

∴（8﹣x）2+42=x2，

∴x=5，

∴在Rt△BEC中，CE===5，

故答案为．

【点评】本题考查矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识，灵活运用勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型．

15．（3分）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的若干分内既进水又出水，之后只出水不进水．每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分）之间的关系如图．则a=　15　．

【分析】首先求出进水管以及出水管的进出水速度，进而利用容器内的水量为等式求出即可．

【解答】解：由图象可得出：

进水速度为：20÷4=5（升/分钟），

出水速度为：5﹣（30﹣20）÷（12﹣4）=3.75（升/分钟），

（a﹣4）×（5﹣3.75）+20=（24﹣a）×3.75

解得：a=15．

故答案为：15．

【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及一元一次方程的应用等知识，利用图象得出进出水管的速度是解题关键．

16．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在直线BC，DC上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠MAN的度数为　60°　．

【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．

【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，

∵∠DAB=120°，

∴∠HAA′=60°，

∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，

∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，

且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，

∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°，

∴∠MAN=60°，

故答案为：60°．

【点评】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．

三、解答题（共7小题，共72分）

17．（14分）计算：

（1）

（2）．

【分析】（1）先进行二次根式的化简，再进行同类二次根式的合并即可；

（2）先进行二次根式的化简，然后进行同类二次根式的合并．

【解答】解：（1）原式=8﹣9+6×

=﹣+2

=；

（2）原式=×5+×3

=4+

=．

【点评】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的化简和同类二次根式的合并．

18．（8分）直线y=kx+b交坐标轴于A（﹣2，0），B（0，3）两点，求不等式kx+b＞0的解集．

【分析】首先画出函数图象，根据图象可得kx+b＞0时，直线在x轴上方，进而可得解集．

【解答】解：如图所示：不等式kx+b＞0的解集为 x＞﹣2．

【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握y=kx+b＞0时，直线在x轴上方，y=kx+b＜0时，直线在x轴下方．

19．（8分）如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥OF分别交AB、BC于点E、F．求证：BE+BF=AD．

【分析】根据正方形的性质可得OB=OC，∠OCB=∠OBA=45°，∠BOC=90°，结合条件OE⊥OF得到∠BOE=∠COF，进而证明△OEB≌△OFC，即可得到BE=CF，于是结论得证．

【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴OB=OC，∠OCB=∠OBA=45°，∠BOC=90°，

∵OE⊥OF，

∴∠BOF+∠COF=∠BOE+∠BOF，

∴∠BOE=∠COF，

在△OEB和△OFC中，

，

∴△OEB≌△OFC，

∴BE=CF，

∴BF+BE=BC，

∴BE+BF=AD．

【点评】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定，解题的关键是证明△OEB≌△OFC，此题难度不大．

20．（10分）今年以来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了不完整的三种统计图表．

对雾霾了解程度的统计表：

（1）本次参与调查的学生共有　400　人，m=　15%　，n=　35%　；

（2）图2所示的扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是多少度；

（3）请补全条形统计图．

【分析】（1）用A的人数除以所占的百分比，计算即可求出被调查学生总人数，用B的人数除以被调查的学生总人数计算即可求出m，再根据各部分的百分比的和等于1计算即可求出n；

（2）用D的百分比乘360°计算即可得解；

（3）求出D的学生人数，然后补全统计图即可．

【解答】解：（1）20÷5%=400，

×100%=15%，

1﹣5%﹣15%﹣45%=35%，

故答案为：400；15%；35%；

（2）360°×35%=126°；

（3）∵D等级的人数为：400×35%=140，

∴补全条形统计图如图所示．

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

21．（10分）玩具加工厂预计生产甲、乙两种玩具产品共50件，已知生产一件甲种玩具需要A种原料3个，B种原料6个，可获利80元；生产一件乙种玩具需要A种原料5个，B种原料5个，可获利100元，已知玩具加工厂现有A种原料220个，B种原料267个，假设生产甲种玩具x个，共获利y元．

（1）请问有几种方案符合生产玩具的要求；

（2）请你写出y与x之间的函数关系，并用函数的知识来设计一个方案使得获利最大，最大利润是多少元？

【分析】（1）根据“生产甲玩具时A原料总数量+生产乙玩具时A原料总数量≤220、生产甲玩具时B原料总数量+生产甲玩具时B原料总数量≤267”列出不等式组，解不等式组可得方案；

（2）根据“总利润=生产甲玩具的总利润+生产乙玩具的总利润”，列出函数关系式，结合（1）中x的范围和函数性质可知获利最大的方案．

【解答】解：（1）根据题意知，生产甲种玩具x个，则乙玩具有（50﹣x）个，

得：，

解得：15≤x≤17，

∵x为整数，

∴x可取15，16，17，

则有如下3中方案符合要求：

①甲玩具15件，乙玩具35件；

②甲玩具16件，乙玩具34件；

③甲玩具17件，乙玩具33件．

（2）根据题意，y=80x+100（50﹣x）=﹣20x+5000，

∵﹣20＜0，

∴y随x的增大而减小，

又∵15≤x≤17，

∴当x=15时，获利最大，最大利润y=﹣20×15+5000=4700元，

即生产甲玩具15件，乙玩具35件时获利最大，最大利润为4700元．

【点评】本题主要考查不等式组的应用和一次函数的应用能力，根据题意找到不等关系和相等关系是解题的关键．

22．（10分）如图1，点E为正方形ABCD的边AB上一点，EF⊥EC，且EF=EC，连接AF．

（1）求∠FAD的度数；

（2）如图2，连接FC交BD于M，求证：AD=AF+2DM；

（3）如图2，连接FC交BD于M，交AD于N．若AF=，AN=10，则BM的长为　　．

【分析】（1）首先在BC上截取BG=BE，连接EG，求出∠BGE=45°，即可求出∠CGE=135°；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△AEF≌△GCE，求出∠EAF=135°，即可求出∠FAD的度数；

（2）首先延长AF、CD交于点H，判断出∠FAD=45°，进而判断出四边形ABDH是平行四边形，推得DH=AB=CD，即可推得DM是△CFH的中位线，所以FH=2DM；然后在等腰直角三角形HAD中，根据AH=AD，可推得AD=AF+2DM．

（3）首先根据AF=8，AN=10，AD=AF+2MD，可得（10+DN）=8+2MD；然后根据AF∥DM，判断出△AFN∽△DMN，即可判断出，据此推得DN、MD的关系，求出MD的长为多少即可．

【解答】（1）解：在BC上截取BG=BE，连接EG，如图1所示：

∵BG=BE，∠EBG=90°，

∴∠BGE=45°，∠CGE=135°，

∵AB=BC，BG=BE，

∴AE=GC，

∵EF⊥EC，

∴∠AEF+∠BEC=90°，

∵∠GCE+∠BEC=90°，

∴∠AEF=∠GCE，

在△AEF和△GCE中，，

∴△AEF≌△GCE（SAS），

∴∠EAF=∠CGE=135°，

∴∠FAD=135°﹣90°=45°；

（2）证明：延长AF、CD交于点H，如图2所示：

由（1）知，∠EAF=135°，

∴∠FAD=135°﹣90°=45°，

∵∠ADB=45°，

∴AH∥BD，

又∵AB∥HD，

∴四边形ABDH是平行四边形，

∴DH=AB=CD，

即D是CH的中点，

∴DM是△CFH的中位线，

∴FH=2DM，

在等腰直角三角形HAD中，

AH=AD，

∵AH=AF+FH=AF+2DM，

∴AD=AF+2DM；

（3）解∵AF=8，AN=10，AD=AF+2DM，

∴（10+DN）=8+2DM，

∵AF∥DM，

∴△AFN∽△DMN，

∴，即，

∴DN=DM，

把DN=DM代入（10+DN）=8+2DM，

整理，解得：DM=，

∴DN=×=，

∴AD=AN+DN=10+=，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD=，∠BAD=90°，

∴BD==AD=，

∴BM=BD﹣DM=﹣=；

故答案为：．

【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．

23．（12分）已知一次函数y=kx+b的图象经过点M（﹣1，3）、N（1，5）．直线MN与坐标轴相交于点A、B两点．

（1）求一次函数的解析式．

（2）如图1，点C与点B关于x轴对称，点D在线段OA上，连结BD，把线段BD顺时针方向旋转90°得到线段DE，作直线CE交x轴于点F，求的值．

（3）如图2，点P是直线AB上一动点，以OP为边作正方形OPNM，连接ON、PM交于点Q，连BQ，当点P在直线AB上运动时，的值是否会发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．

【分析】（1）根据待定系数法即可解决问题．

（2）如图1中，过点E作EP⊥x轴，先证明△BDO≌△DEP，设D（﹣a，0），则E（4﹣a，﹣a），求出直线CE解析式，求出点F坐标，用a的代数式表示DF、AD、EF即可解决问题．

（3）如图2中，连结BM，由△BOM≌△AOP，推出∠MBO=∠PAO=135°，推出∠MBP=90°，推出QB=QP，由此即可解决问题．

【解答】解：（1）∵一次函数y=kx+b的图象经过点M（﹣1，3）、N（1，5），

∴，

解得

∴一次函数解析式为y=x+4．

（2）如图1中，过点E作EP⊥x轴，

∵∠BDO+∠EDP=90°，∠EDP+∠DEP=90°，

∴∠BDO=∠DEP，∵∠DOB=∠DPE=90°

在△BOD和△DPE中，

∴△BDO≌△DEP，设D（﹣a，0），则E（4﹣a，﹣a）

设直线CE解析式是：y=kx+b，则

∴

∴y=x﹣4，

∴F（4，0），DF=4+a，DA=4﹣a，EF=，

∴

（3）如图2中，连结BM，

∵OA=OB，∠POM=∠AOB=90°，

∴∠POA=∠BOM，∠OAB=∠OBA=45°，

∵四边形OPNM是正方形，

∴OP=OM，

在△OBM和△OAP中，

，

∴△BOM≌△AOP，

∴∠MBO=∠PAO=135°，

∴∠MBP=90°

在Rt△MBP中BQ=MP，

在Rt△MOP中MP=OP，

∴==．

【点评】本题考查一次函数综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考压轴题．