广告费投入与销售定价

摘要：在有效的市场条件下，以彩漆为对象来研究广告费用和销售价格的关系，建立模型来确定广告费和销售价格的使得利润达到最大，达到资金运用合理高效的目的。

关键字：遗传算法 线性回归分析 多项式拟合 

一、问题描述：某公司有一批以每桶2元购进的彩漆，为了获得较高的利润，希望以较高的价格卖出，但价格越高，售出量就越少，二者之间的关系由表一给出。于是打算增加广告投入来促销。而广告费与销售量的关系可由销售增长因子来描述。例如，投入3万元的广告费，销售因子为1.85，意味着做广告后的销售量将是未做广告销售量的1.85倍。根据经验，广告费与销售因子的关系如表2，现请你作出决策：投入多少广告费和售价为多少时所获得的利润最大?

表1

        p-----------------------------------------------------------------------------销售价格

        s-----------------------------------------------------------------------------销售量

        a-----------------------------------------------------------------------------广告费

        z----------------------------------------------------------------------------增长因子

        y----------------------------------------------------------------------------利润

三、模型假设：

    1、模型不考虑运输成本，销售费用，管理费用，职工薪酬等因素。

    2、销售量预期有效。

    3、增长因子不会随着广告投入无限增加。

    4、彩漆市价应富有弹性，即当价格增加时，销量不会增加，售价与销量是线性递减关系。

    5、广告费与增长因子是连续的二次关系。

    6、销售商有自由定价的权利。

四、模型建立与求解：

（1）由题目的已知条件可以得到如下的模型

模型分析：由于该模型中的变量有四个，且p和s，a和z，有一定的函数关系，所以令， 

（2）先研究销售价格与销售量的关系，做出散点图后用一次多项式可拟合，程序如下：

s=[41 38    34 32 29 28    25 22 20]*10^3;

>> p=[2.00 2.50    3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 5.50 6.00];

y=polyfit(p,s,1);

yi=polyval(y,p);

plot(p,s,'.',p,yi)

title('销售价格与销售量的关系图');

xlabel('销售价格p');

>> ylabel('销售量s');

y

输出结果：

y =

         1.0e+004 *

   -0.5133  5.0422 

图像分析：从图中可以看出所有的点基本上都在直线两侧，拟合的效果很好，因此可以得出销售价格与销售量的关系为:

(2) 再研究广告费与增长因子的关系，作出散点图然后用二次多项式拟合：

    a=[0    10    20    30    40    50    60    70];

z=[1    1.40 1.70 1.85 1.95 2.00 1.95 1.80];

p=polyfit(a,z,2);

zi=polyval(p,a);

>> a=[0    10    20    30    40    50    60    70];

>> p=polyfit(a,z,2);

>> zi=polyval(p,a);

>> plot(a,z,'.r',a,zi)

>> title('广告费与增长因子的关系');

>> xlabel('广告费a');

>> ylabel('增长因子z');

p

p =

   -0.0004    0.0409    1.0188

    ：

图像分析：从图中可以看出二次函数基本拟合所有的数据点，所以广告费和广告因子的关系为：

（3）从以上过程可以确定利润的模型如下

五、模型的最优值求解：

要求出以上模型的最优解，为了提高精确度，先用遗传算法求出最优解，然后再用fminsearch函数求出最大值。由于fminsearch所求的是最小值，所以要先把模型转换成

首先建立函数文件：

function f=fx1(p)

x(1)=p(1);x(2)=p(2);

f=-((x(1)-2).*(-5133.3*x(1)+50422.2).*(-0.0004*x(2).^2+0.0409*x(2)+1.0188)-x(2)*1000);

调用遗传算法命令：

a=ga(@fx1,2)

Optimization terminated: maximum number of generations exceeded.

a =

5.912917.3969

将a作为初始值代入命令[U,fmax]=fminsearch(@fx1,[ 5.9129   17.3969])

U =

    5.9113   35.2075

fmax =

 -1.14e+005

再将p=5.9113和a=35.2075代入模型得到.也即是当售价为5.9113元，广告投入费为35207.5元时，得到最大利润为16921元。

六、结论分析：由于在广告投入中的投入金额很难精确到一元，售价也不能精确到分，所以销售价格取5.9元，广告投入费用取35000元，再代入模型得到最大利润为16770元

七、模型评价

模型的优点在于形式简单，在条件假设下能够精确制定销售价和广告投入费，使用者容易推广到其它商品的销售中去。

该模型的缺点是所考虑到的因素太少，在实际引用中会存在很大误差，因为除了广告费和进货成本外，销售商还面临着其它各方面的因素，比如运输成本，销售费用，管理费用，职工薪酬等等，还要考虑到销售商是否有制定零售价的权利。