2020-2021学年山西省实验中学七年级(下)期中数学试卷(含解析)

一、选择题（共10小题）.

1．计算x2•x3的结果正确的是（　　）

A．x5    B．x6    C．x8    D．5

2．下列运算不正确的是（　　）

A．4a﹣a＝3a    B．a10÷a2＝a8    C．a3•a4＝a7    D．a2+a3＝a5

3．华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工艺制程，数0.000000007用科学记数法表示为（　　）

A．7×10﹣9    B．7×10﹣8    C．0.7×10﹣9    D．0.7×10﹣8

4．如果“□×2ab＝4a2b”，那么“□”内应填的代数式是（　　）

A．2b    B．2ab    C．a    D．2a

5．若（x+3）（x﹣5）＝x2+mx﹣15，则m的值为（　　）

A．5    B．2    C．﹣5    D．﹣2

6．如图，∠1和∠2是内错角的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

7．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是（　　）

A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2    B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2    

C．a（a+b）＝a2+ab    D．a（a﹣b）＝a2﹣ab

8．如图，点P在直线L外，点A，B在直线l上，PA＝3，PB＝7，点P到直线l的距离可能是（　　）

A．2    B．4    C．7    D．8

9．设a，b是实数，定义一种新运算：a*b＝（a﹣b）2．下面推断正确的是（　　）

A．（﹣a）*b＝a*（﹣b）    B．a*b＝a*（﹣b）    

C．（a*b）2＝a2*b2    D．a*（b+c）＝a*b+a*c

10．小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程S（米）和所用时间t（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（　　）

A．小明家和学校距离1200米    

B．小华乘公共汽车的速度是240米/分    

C．小华乘坐公共汽车后7：50与小明相遇    

D．小明从家到学校的平均速度为80米/分

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．计算：32＝　 　．

12．若a2﹣b2＝﹣，a+b＝﹣，则a﹣b的值为　              　．

13．下表为研究弹簧长度与所挂物体质量关系的实验表格．

14．如图，AB∥CD，点M为CD上一点，MF平分∠CME．若∠1＝57°，则∠EMD的大小为　   　度．

15．一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x（x＞0）厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为　        　．

16．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图3：当∠CAE＝15°时，BC∥DE．则∠CAE其余符合条件的度数为　              　．

三、解答题（本题共7个小题，共52分）

17．（16分）计算题：

（1）2a2b3•（﹣3a）2；

（2）20202﹣2021×2019；

（3）（6x3y4﹣2x2y﹣8xy）÷（﹣2xy）；

（4）（x﹣1）2﹣（x+1）（x﹣3）．

18．先化简再求值（3a﹣2）（3a+2）﹣2a（4a﹣1），其中a＝﹣2．

19．如图，点B是射线AC上一点，利用尺规作BE∥AD，依据是：　            　．（保留作图痕迹，不写作法）

20．如图，AB∥CD，BC平分∠ABD，∠C＝40°．试求∠CBD的度数．

21．某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同种零件，他们一天生产零件y（个）与生产时间t（小时）的函数关系如图所示．

（1）根据图象填空：甲、乙中，　 　先完成一天的生产任务；在生产过程中，　 　因机器故障停止生产　 　小时．

（2）谁在哪一段时间内的生产速度最快？求该段时间内，他每小时生产零件的个数．

22．计算：

（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；

（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；

（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；

…

猜想：（1）（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝　       　．

（2）当（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0时，代数式x2021﹣1＝　       　．

（3）根据上述规律，请你求出32021+32020+…+33+32+3+1的个位数字．

23．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．

小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．

（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为　    　度；

（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；

（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．

附加题（共10分）

24．阅读理解：

若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．

解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80

解决问题：

（1）若x满足（2020﹣x）（x﹣2016）＝2．则（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝　   　；

（2）若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020，求（2021﹣x）（x﹣2018）的值；

（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝20，BC＝12，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为160平方单位，则图中阴影部分的面积和为　   　平方单位．

参

一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入答题卡相应位置．

1．计算x2•x3的结果正确的是（　　）

A．x5    B．x6    C．x8    D．5

解：x2•x3＝x2+3＝x5．

故选：A．

2．下列运算不正确的是（　　）

A．4a﹣a＝3a    B．a10÷a2＝a8    C．a3•a4＝a7    D．a2+a3＝a5

解：A．4a﹣a＝3a，正确，不合题意；

B．a10÷a2＝a8，正确，不合题意；

C．a3•a4＝a7，正确，不合题意；

D．a2+a3无法合并，故计算错误，符合题意；

故选：D．

3．华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工艺制程，数0.000000007用科学记数法表示为（　　）

A．7×10﹣9    B．7×10﹣8    C．0.7×10﹣9    D．0.7×10﹣8

解：数0.00 000 0007用科学记数法表示为7×10﹣9．

故选：A．

4．如果“□×2ab＝4a2b”，那么“□”内应填的代数式是（　　）

A．2b    B．2ab    C．a    D．2a

解：□×2ab＝4a2b，

∴4a2b÷2ab＝2a，

则“□”内应填的代数式是2a．

故选：D．

5．若（x+3）（x﹣5）＝x2+mx﹣15，则m的值为（　　）

A．5    B．2    C．﹣5    D．﹣2

解：（x+3）（x﹣5）

＝x2﹣5x+3x﹣15

＝x2﹣2x﹣15，

∵（x+3）（x﹣5）＝x2+mx﹣15，

∴m＝﹣2，

故选：D．

6．如图，∠1和∠2是内错角的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

解：A、∠1和∠2是内错角，故本选项符合题意；

B、∠1和∠2不是内错角，故本选项不符合题意；

C、∠1和∠2不是内错角，是同旁内角，故本选项不符合题意；

D、∠1和∠2不是内错角，是同位角，故本选项不符合题意；

故选：A．

7．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是（　　）

A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2    B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2    

C．a（a+b）＝a2+ab    D．a（a﹣b）＝a2﹣ab

解：左上角正方形的面积＝（a﹣b）2，

还可以表示为a2﹣2ab+b2，

∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．

故选：B．

8．如图，点P在直线L外，点A，B在直线l上，PA＝3，PB＝7，点P到直线l的距离可能是（　　）

A．2    B．4    C．7    D．8

解：当PA⊥AB时，点P到直线l的距离是PA＝3，

当PA不垂直AB时，点P到直线l的距离小于PA，故点P到直线l的距离可能是2．

故选：A．

9．设a，b是实数，定义一种新运算：a*b＝（a﹣b）2．下面推断正确的是（　　）

A．（﹣a）*b＝a*（﹣b）    B．a*b＝a*（﹣b）    

C．（a*b）2＝a2*b2    D．a*（b+c）＝a*b+a*c

解：A、（﹣a）*b＝（﹣a﹣b）2＝（a+b）2，

a*（﹣b）＝（a+b）2，

故左边等于右边．

B、a*b＝（a﹣b）2，

a*（﹣b）＝（a+b）2，

故左边不等于右边．

C、（a*b）2＝（a﹣b）4，

a2*b2＝（a2﹣b2）2，

故左边不等于右边．

D、a*（b+c）＝（a﹣b﹣c）2＝a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac+2ab，

a*b+a*c＝（a﹣b）2+（a﹣c）2＝a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2，

故左边不等于右边．

故选：A．

10．小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程S（米）和所用时间t（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（　　）

A．小明家和学校距离1200米    

B．小华乘公共汽车的速度是240米/分    

C．小华乘坐公共汽车后7：50与小明相遇    

D．小明从家到学校的平均速度为80米/分

解：由图象可知，小华和小明的家离学校1200米，故A正确；

根据图象，小华乘公共汽车，从出发到到达学校共用了13﹣8＝5（分钟），所以公共汽车的速度为1200÷5＝240（米/分），故B正确；

小明先出发8分钟然后停下来吃早餐，由图象可知在小明吃早餐的过程中，小华出发并与小明相遇然后超过小明，所以二人相遇所用的时间是8+480÷240＝10（分钟），即7：50相遇，故C正确；

小明从家到学校的时间为20分钟，所以小明的平均速度为1200÷20＝60（米/分），故D错误．

故选：D．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．计算：32＝　9　．

解：32＝9．

故填空答案：9．

12．若a2﹣b2＝﹣，a+b＝﹣，则a﹣b的值为　　．

解：因为a2﹣b2＝﹣，

所以（a+b）（a﹣b）＝﹣，

因为a+b＝﹣，

所以a﹣b＝﹣÷（﹣）＝．

故答案为：．

13．下表为研究弹簧长度与所挂物体质量关系的实验表格．

解：设弹簧长度y与所挂物体重量x之间的关系式为y＝kx+b，

将x＝1，y＝10与x＝2，y＝12分别代入解析式中可得：

，

解得，

∴y＝2x+8，

当x＝0时y＝8，即弹簧原来长度为8cm，

x＝3.5时，y＝15，

15﹣8＝7（cm），

故答案为：7．

14．如图，AB∥CD，点M为CD上一点，MF平分∠CME．若∠1＝57°，则∠EMD的大小为　66　度．

解：∵AB∥CD，

∴∠CMF＝∠1＝57°，

∵MF平分∠CME，

∴∠CME＝2∠CMF＝114°．

又∵∠CME+∠EMD＝180°，

∴∠EMD＝180°﹣∠CME＝180°﹣114°＝66°．

故答案为：66．

15．一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x（x＞0）厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为　y＝x2+4x　．

解：由题意得，

y＝（2+x）2﹣22＝x2+4x，

故答案为：y＝x2+4x．

16．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图3：当∠CAE＝15°时，BC∥DE．则∠CAE其余符合条件的度数为　60°或105°或135°　．

解：如图3，当BC∥DE时，∠CAE＝45°﹣30°＝15°；

如图，当AE∥BC时，∠CAE＝90°﹣30°＝60°；

如图，当DE∥AB（或AD∥BC）时，∠CAE＝45°+60°＝105°；

如图，当DE∥AC时，∠CAE＝45°+90°＝135°．

综上所述，旋转后两块三角板至少有一组边平行，则∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）其它所有可能符合条件的度数为60°或105°或135°，

故答案为：60°或105°或135°．

三、解答题（本题共7个小题，共52分）

17．（16分）计算题：

（1）2a2b3•（﹣3a）2；

（2）20202﹣2021×2019；

（3）（6x3y4﹣2x2y﹣8xy）÷（﹣2xy）；

（4）（x﹣1）2﹣（x+1）（x﹣3）．

解：（1）原式＝2a2b3•9a2

＝18a4b3．

（2）原式＝20202﹣（2020+1）×（2020﹣1）

＝20202﹣（20202﹣1）

＝20202﹣20202+1

＝1．

（3）原式＝﹣3x2y3+x+4．

（4）原式＝x2﹣2x+1﹣（x2﹣2x﹣3）

＝x2﹣2x+1﹣x2+2x+3

＝4．

18．先化简再求值（3a﹣2）（3a+2）﹣2a（4a﹣1），其中a＝﹣2．

解：（3a﹣2）（3a+2）﹣2a（4a﹣1）

＝9a2﹣4﹣8a2+2a

＝a2+2a﹣4，

当a＝﹣2时，原式＝（﹣2）2+2×（﹣2）﹣4＝﹣4．

19．如图，点B是射线AC上一点，利用尺规作BE∥AD，依据是：　同位角相等，两直线平行　．（保留作图痕迹，不写作法）

解：如图所示：∠CBE＝∠A，

则BE∥AD，依据是：同位角相等，两直线平行．

故答案为：同位角相等，两直线平行．

20．如图，AB∥CD，BC平分∠ABD，∠C＝40°．试求∠CBD的度数．

解：∵AB∥CD，∠C＝40°，

∴∠ABC＝∠C＝40°，

∵BC平分∠ABD，

∴∠CBD＝∠ABC＝40°．

21．某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同种零件，他们一天生产零件y（个）与生产时间t（小时）的函数关系如图所示．

（1）根据图象填空：甲、乙中，　甲　先完成一天的生产任务；在生产过程中，　甲　因机器故障停止生产　2　小时．

（2）谁在哪一段时间内的生产速度最快？求该段时间内，他每小时生产零件的个数．

解：（1）甲、乙中，甲先完成一天的生产任务；在生产过程中，甲因机器故障停止生产2小时

故答案为：甲，甲，2；

（2）甲在4﹣7时的生产速度最快，

∵，

∴他在这段时间内每小时生产零件10个．

22．计算：

（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；

（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；

（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；

…

猜想：（1）（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝　xn+1﹣1　．

（2）当（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0时，代数式x2021﹣1＝　±1　．

（3）根据上述规律，请你求出32021+32020+…+33+32+3+1的个位数字．

解：（1）（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x2+x+1）＝xn+1﹣1；

故答案为：xn+1﹣1；

（2）（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1＝0，

解得x＝±1；

故答案为：±1；

（3）32021+32020+…+33+32+3+1

＝（3﹣1）（32021+32020+…+33+32+3+1）

＝（32022﹣1）

因为31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，

35的个位数字为3，36的个位数字为9，37的个位数字为7，38的个位数字为1…，

2022÷4＝505...2，

∴32022的个位数字是9，

所以原式的个位数字是4．

23．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．

小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．

（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为　110　度；

（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；

（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．

【解答】（1）解：过点P作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴PE∥AB∥CD，

∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，

∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，

∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，

∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．

（2）∠APC＝α+β，

理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，

∵AB∥CD，

∴AB∥PE∥CD，

∴α＝∠APE，β＝∠CPE，

∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝α+β；

（3）如图所示，当P在BD延长线上时，

∠CPA＝α﹣β；

如图所示，当P在DB延长线上时，

∠CPA＝β﹣α．

附加题（共10分）

24．阅读理解：

若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．

解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80

解决问题：

（1）若x满足（2020﹣x）（x﹣2016）＝2．则（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝　12　；

（2）若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020，求（2021﹣x）（x﹣2018）的值；

（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝20，BC＝12，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为160平方单位，则图中阴影部分的面积和为　384　平方单位．

解：（1）设2020﹣x＝a，x﹣2016＝b，则（2020﹣x）（x﹣2016）＝ab＝2，a+b＝（2020﹣x）+（x﹣2016）＝4，

所以（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×2＝12；

故答案为：12；

（2）设2021﹣x＝a，x﹣2018＝b，则（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝a2+b2＝2020，a+b＝（2021﹣x）+（x﹣2018）＝3，

所以（2021﹣x）（x﹣2018）＝ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]＝×（32﹣2020）＝﹣；

答：（2021﹣x）（x﹣2018）的值为﹣；

（3）由题意得，FC＝（20﹣x），EC＝（12﹣x），

∵长方形CEPF的面积为160，

∴（20﹣x）（12﹣x）＝160，

∴（20﹣x）（x﹣12）＝﹣160，

∴阴影部分的面积为（20﹣x）2+（12﹣x）2，

设20﹣x＝a，x﹣12＝b，则（20﹣x）（x﹣12）＝ab＝﹣160，a+b＝（20﹣x）+（x﹣12）＝8，

所以（20﹣x）2+（x﹣12）2＝（20﹣x）2+（12﹣x）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝82﹣2×（﹣160）＝384；

故答案为：384．