高数下册测试题答案

《高等数学》（下册）测试题一

一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号中填上所选字母）

1．设有直线

及平面，则直线（  A  ）

A．平行于平面；               B．在平面上；

C．垂直于平面；               D．与平面斜交.

2．二元函数在点处（   C     ）

A．连续、偏导数存在；       B．连续、偏导数不存在；

C．不连续、偏导数存在；     D．不连续、偏导数不存在.

3．设为连续函数，，则＝（  B  ）

A．；     B．；   C．    D．.

4．设是平面由，，所确定的三角形区域，则曲面积分

        ＝（    D     ）

A．7；         B．；         C．；         D．.

5．微分方程的一个特解应具有形式（    B     ）

A．；  B．；   C．；    D．.

二、填空题（每小题3分，本大题共15分）

1．设一平面经过原点及点，且与平面垂直，则此平面方程为；

2．设，则＝；

3．设为正向一周，则0 ；

4．设圆柱面，与曲面在点相交，且它们的交角为，则正数 ；

5．设一阶线性非齐次微分方程有两个线性无关的解，若也是该方程的解，则应有1  .

三、（本题7分）设由方程组确定了，是，的函数，求及与.

解：方程两边取全微分，则

解出

从而

四、（本题7分）已知点及点，求函数在点处沿方向的方向导数. 

解： 

， 

从而

五、（本题8分）计算累次积分  ）. 

解：依据上下限知，即分区域为

作图可知，该区域也可以表示为

从而

六、（本题8分）计算，其中是由柱面及平面围成的区域.

解：先二后一比较方便， 

七．（本题8分）计算，其中是抛物面被平面所截下的有限部分.

解：由对称性

从而

八、（本题8分）计算，是点到点在上半平面上的任意逐段光滑曲线.

解：在上半平面上

且连续，

从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，取

九、（本题8分）计算，其中为半球面上侧. 

解：补取下侧，则构成封闭曲面的外侧

十、（本题8分）设二阶连续可导函数，适合，求． 

解： 

由已知

即

十一、（本题4分）求方程的通解. 

解：解：对应齐次方程特征方程为

非齐次项，与标准式

比较得,对比特征根，推得，从而特解形式可设为

代入方程得

十二、（本题4分）在球面的第一卦限上求一点，使以为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小. 

解：设点的坐标为，则问题即在求最小值。

令，则由

推出，的坐标为

附加题：（供学习无穷级数的学生作为测试）

1．判别级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？

解：由于，该级数不会绝对收敛，

显然该级数为交错级数且一般项的单调减少趋于零，从而该级数条件收敛

2．求幂级数的收敛区间及和函数.

解： 

从而收敛区间为， 

3．将展成以为周期的傅立叶级数.

解：已知该函数为奇函数，周期延拓后可展开为正弦级数。

《高等数学》（下册）测试题二

一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号中填上所选字母）

1．设，且可导，则为（  D   ）

A．；；                    B．；

C．；                  D．．

2．从点到一个平面引垂线，垂足为点，则这个平面的方

程是（  B    ）

A．；               B．；

C．；               D．．

3．微分方程的通解是（  D    ）

A．；     B．；

C．；    D．．

4．设平面曲线为下半圆周，则曲线积分等于（ A ）

A．；                         B．；

C．；                        D．．

5．累次积分＝（  A   ）

A．；                       B．；

C．；                      D．．

二．填空题（每小题5分，本大题共15分）

1．曲面在点处的切平面方程是；.

2．微分方程的待定特解形式是；

3．设是球面的外测，则曲面积分

＝．

三、 一条直线在平面：上，且与另两条直线L1：及L2：（即L2：）都相交，求该直线方程．（本题7分）

解：先求两已知直线与平面的交点，由

由

由两点式方程得该直线： 

四、求函数在点处的梯度及沿梯度方向上函数的方向导数．（本题7分）

解： 

沿梯度方向上函数的方向导数

五、做一个容积为1立方米的有盖圆柱形桶，问尺寸应如何，才能使用料最省？（本题8分）

解：设底圆半径为，高为，则由题意，要求的是在条件下的最小值。

由实际问题知，底圆半径和高分别为才能使用料最省

六、设积分域D为所围成，试计算二重积分．（本题8分）

解：观察得知该用极坐标， 

七、计算三重积分，式中为由所确定的固定的圆台体．（本题8分）

解：解：观察得知该用先二后一的方法

八、设在上有连续的一阶导数，求曲线积分，其中曲线L是从点到点的直线段．（本题8分）

解：在上半平面上

且连续，

从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，

取折线

九、计算曲面积分，其中，为上半球面：．（本题8分）

解：由于，故

为上半球面，则

原式

十、求微分方程的解．（本题8分）

解： 

由，得

十一、试证在点处不连续，但存在有一阶偏导数．（本题4分）

解：沿着直线， 

依赖而变化，从而二重极限不存在，函数在点处不连续。

而

十二、设二阶常系数线性微分方程的一个特解为，试确定常数，并求该方程的通解．（本题4分）

解：由解的结构定理可知，该微分方程对应齐次方程的特征根应为，否则不能有这样的特解。从而特征方程为

因此

为非齐次方程的另一个特解， 

故，，通解为

附加题：（供学习无穷级数的学生作为测试）

1．求无穷级数的收敛域及在收敛域上的和函数．

解： 

由于在时发散，在时条件收敛，故收敛域为

看，

则

从而

2．求函数在处的幂级数展开式． 

解： 

3．将函数展开成傅立叶级数，并指明展开式成立的范围．

解：作周期延拓， 

从而

《高等数学》（下册）测试题三

一、填空题

1．若函数在点处取得极值，则常数．

2．设，则． 

3．设S是立方体的边界外侧，则曲面积分

  3  ．

4．设幂级数的收敛半径为，则幂级数的收敛区间为．

5．微分方程用待定系数法确定的特解（系数值不求）的形式为．

二、选择题

1．函数在点处（ D  ）．

  （A）无定义；                           （B）无极限；

  （C）有极限但不连续；                   （D）连续．

2．设，则（  B  ）．

（A）；              （B）；

  （C）；                     （D）．

3．两个圆柱体，公共部分的体积为（  B  ）．

  （A）；         （B）；

  （C）；         （D）．

4．若，，则数列有界是级数收敛的（  A   ）．

（A）充分必要条件；                    （B）充分条件，但非必要条件；

（C）必要条件，但非充分条件；           （D）既非充分条件，又非必要条件．

5．函数（为任意常数）是微分方程的（  C   ）．

（A）通解；                                （B）特解；

  （C）是解，但既非通解也非特解；            （D）不是解．

三、求曲面上点处的切平面和法线方程．

解： 

切平面为

法线为

四、求通过直线的两个互相垂直的平面，其中一个平面平行于直线．

解：设过直线的平面束为

即

第一个平面平行于直线，

即有

从而第一个平面为

第二个平面要与第一个平面垂直，

也即

从而第二个平面为

五、求微分方程的解，使得该解所表示的曲线在点处与直线相切．

解：直线为，从而有定解条件，

特征方程为

方程通解为，由定解的初值条件

，由定解的初值条件

从而，特解为

六、设函数有二阶连续导数，而函数满足方程

试求出函数．

解：因为

特征方程为

七、计算曲面积分

，

其中是球体与锥体的公共部分的表面，，，是其外法线方向的方向余弦．

解：两表面的交线为

原式，投影域为，

用柱坐标

原式

另解：用球坐标

原式

八、试将函数展成的幂级数（要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛区间）．

解： 

九、判断级数的敛散性．

解： 

当，级数收敛；当，级数发散；

当时级数收敛；当时级数发散

十、计算曲线积分，其中为在第一象限内逆时针方向的半圆弧．

解：再取，围成半圆的正向边界

则 原式

十一、求曲面：到平面：的最短距离．

解：问题即求在约束下的最小值

可先求在约束下的最小值点

取

时，

这也说明了是不可能的，因为平面与曲面最小距离为。