平面几何入门(12)

叶中豪（老封）

知识要点

几何作图是平面几何四大部分之一。学习几何作图必须先学会作比较简单、经常应用的图形，即学会基本作图，它们是解较复杂作图题的依据和基础。熟练地运用基本作图方法，还能有利于确实正确的证题思路，帮助证题。

基本作图  

（1）作已知线段的垂直平分线。

（2）把已知线段n等分。

（3）作已知角的平分线。

（4）作一角等于已经角。

（5）过已知点作已知直线的垂线和平行线。

（6）利用三角形全等法则构作三角形。 注：边边角也允许，有两解两已。

解作图题的步骤  

1．解作图题一般应先“审题”，弄清题中的已知条件和求作的图形，画出草图，标上字母进行分析，找出作图方法；然后按照题目的要求结合草图写出已知、求作；再认真画出求作的图形，并写出作法。

2．较复杂的三角形作图问题，大都归结为首先作出最简单的“奠基三角形”，并在此基础上完成全部作图。

三角形奠基法  根据题中的已知条件，通过分析找出一个能够直接作图的三角形，以奠定全部作图的基础。

数学鉴赏

几何三大问题  

大约在二千四百多年前，在古希腊盛传着下列三大作图问题：

（1）立方倍积问题——求作一立方体，使它的体积是一已知立方体的体积的两倍。

（2）三等分角问题——把一个已知角三等分。

（3）化圆为方问题——求作一正方形，使它的面积等于一已知圆的面积。

这三个作图题是著名的古典难题。人们一开始就试图寻求这三大问题的正面解答，但一直未能获得成功。十九世纪中叶，法国数学家伽罗瓦在他死后的确1846年发表的论文里，证明了五次以上的代数方程一般不具有代数解（即高次方程的根一般不能通过关于方程的系数的根式来表示），并提出了伽罗瓦理论。应用伽罗瓦理论可以证明，这三大问题是不能用尺规给出解答的。这样，几何三大问题也就彻底解决了。

例题和习题

1．已知三角形的两边及其中一边上的中线，作三角形。

2．已知一边和这边上的中线和高，作三角形。

3．已知斜边及两直角边的差，求作直角三角形。

4．已知一边，另一边上的高和中线，求作三角形。

5．已知底边与一腰的和及一底角，作等腰三角形。

6．已知三角形的一边c，另外两边之和l，以及其中一边上的高ha，求作这三角形。

7．已知直角三角形的一直角边a和另一直角边与斜边之和l，求作这直角三角形。

8．已知直角三角形的斜边c和两条直角边之和l，求作这直角三角形。

9．已知：△ABC中，∠B＝2∠C，且AB＝c，AC＝b。求作△ABC。

10． 求作△ABC，使它的两边AC和AB分别等于已知长b和c，且使∠B＝3∠C。

11．已知△ABC中，∠B＝3∠C，且AC＝b，AB＝c，求△ABC面积。

练习

1．  按下列条件作△ABC，已知：

（1）∠α、ha、c；

（2）a、∠α、hc；

（3）a、ma、hc。

（注：ha为a边上的高，ma为a边上的中线，hc为c边上的高，为∠α为∠A。）

2．  按下列条件作等腰三角形，已知：

（1）一腰与一腰上的高；

（2）底边上的中线和顶角；

（3）底边与腰上的高。