北师大版九年级数学下册第二章检测试卷

分

一、选择题(每小题3分，共30分) 1．下面的函数是二次函数的是( )

A ．y ＝3x ＋1

B ．y ＝x 2＋2x

C ．y ＝x 2

D ．y ＝2

x

2．抛物线y ＝2x 2＋1的顶点坐标是( )

A ．(2，1)

B ．(0，1)

C ．(1，0)

D ．(1，2)

3．将抛物线y ＝(x －2)2－8向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为( )

A ．y ＝(x ＋1)2－13

B ．y ＝(x －5)2－3

C ．y ＝(x －5)2－13

D ．y ＝(x ＋1)2－3

4．已知二次函数y ＝a (x －1)2＋3，当x ＜1时，y 随x 的增大而增大，则a 的取值范围是( )

A ．a ≥0

B ．a ≤0

C ．a ＞0

D ．a ＜0

5．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为( )

A ．y ＝－3(x －1)2＋3

B ．y ＝3(x －1)2＋3

C ．y ＝－3(x ＋1)2＋3

D ．y ＝3(x ＋1)2＋3

第5题图 第6题图

6．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴相交于(－2，0)和(4，0)两点，当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围是( )

A ．x ＜－2

B ．－2＜x ＜4

C ．x ＞0

D ．x ＞4

7．某产品进货单价为90元，按100元一件出售时能售出500件．若每件涨价1元，则销售量就减少10件．则该产品能获得的最大利润为( )

A ．5000元

B ．8000元

C ．9000元

D ．10000元

8．若二次函数y ＝x 2＋mx 的图象的对称轴是直线x ＝3，则关于x 的方程x 2＋mx ＝7的解为( )

A ．x 1＝0，x 2＝6

B ．x 1＝1，x 2＝7

C ．x 1＝1，x 2＝－7

D ．x 1＝－1，x 2＝7

9．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，那么一次函数y ＝ax ＋b 的图象大致是( )

第9题图第10题图

10．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则|a－b＋c|＋|2a＋b|的值为() A．a＋b B．a－2b C．a－b D．3a

二、填空题(每小题3分，共24分)

11．把二次函数y＝x2－12x化为形如y＝a(x－h)2＋k的形式为________________．

12．已知A(4，y1)，B(－4，y2)是二次函数y＝(x＋3)2－2的图象上两点，则y1________y2(填“>”“<”或“＝”)．

13．当a＝________时，函数y＝(a－1)xa2＋1＋x－3是二次函数．

14．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过(1，2)和(－1，－6)两点，则a＋c＝________．15．如图，某涵洞的截面是抛物线型，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O到水面的距离CO＝2.4m，在图中直角坐标系内涵洞截面所在抛物线的表达式是______________．16．若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为______________．

第15题图第17题图第18题图17．如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，C点在斜边上．设矩形的一边AB＝x m，矩形的面积为y m2，则y的最大值为________．18．已知二次函数y＝x2－4ax＋4a2＋a－1(a为常数)，当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a＝t1，a＝t2，a＝t3，a＝t4时二次函数的图象，它们的顶点在一条直线上，则这条直线的表达式是________________．

三、解答题(共66分)

19．(8分)已知抛物线y＝x2－4x＋c，其图象经过点(0，9)．

(1)求c的值；

(2)若点A(3，y1)、B(4，y2)在该抛物线上，试比较y1、y2的大小．

20．(8分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：

求：(1)这个二次函数的解析式；(2)这个二次函数图象的顶点坐标及上表中m的值．

21．(8分)如图，二次函数y＝(x＋2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(－1，0)及点B.

(1)求二次函数与一次函数的解析式；

(2)根据图象，写出满足(x＋2)2＋m≥kx＋b的x的取值范围．

22．(10分)某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间定价增加10x元(x为整数)．

(1)直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式；

(2)设宾馆每天的利润为w元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大？最大利润是多少？

23．(10分)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．

(1)若苗圃园的面积为72平方米，求x的值；

(2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．

24．(10分)设二次函数y1，y2的图象的顶点坐标分别为(a，b)、(c，d)，当a＝－c，b ＝2d，且开口方向相同时，称y1是y2的“反倍顶二次函数”．

(1)请写出二次函数y＝x2＋x＋1的一个“反倍顶二次函数”；

(2)已知关于x的二次函数y1＝x2＋nx和y2＝nx2＋x，函数y1＋y2恰是y1－y2的“反倍顶二次函数”，求n的值．

25．(12分)综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)．

(1)求抛物线的解析式，并分别求出点B和点E的坐标；

(2)试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE.若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

参与解析

1．B 2.B 3.D 4.D 5.A 6.B7.C8.D9.A

10．D解析：观察函数图象，∵图象过原点，∴c＝0.∵抛物线开口向上，∴a＞0.∵

抛物线的对称轴0＜－

b

2a

＜1，∴－2a ＜b ＜0.∴|a －b ＋c |＝a －b ，|2a ＋b |＝2a ＋b ，∴|a －b ＋c |＋|2a ＋b |＝a －b ＋2a ＋b ＝3a .故选D.

11．y ＝(x －6)2－36 12.＞ 13.－1 14.－2

15．y ＝－15

4

x 2

16．－1或2或1 解析：∵函数y ＝(a －1)x 2－4x ＋2a 的图象与x 轴有且只有一个交点，∴当函数为二次函数时，16－4(a －1)×2a ＝0，解得a 1＝－1，a 2＝2；当函数为一次函数时，a －1＝0，解得a ＝1.故a 的值为－1或2或1.

17．300

18．y ＝1

2x －1 解析：y ＝x 2－4ax ＋4a 2＋a －1＝(x －2a )2＋a －1，∴抛物线顶点坐标为

(2a ，a －1)．设x ＝2a ①，y ＝a －1②，①－②×2，消去a 得x －2y ＝2，即y ＝1

2x －1.

19．解：(1)当x ＝0时，y ＝c ＝9，∴c 的值为9.(3分)

(2)由(1)可知抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋9.当x ＝3时，y 1＝9－4×3＋9＝6；当x ＝4时，y 2＝16－4×4＋9＝9.(6分)∵6＜9，∴y 1＜y 2.(8分)

20．解：(1)将(－1，－5)，(0，1)，(2，1)代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪

⎧a －b ＋c ＝－5，c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝1，解

得⎩⎪⎨⎪

⎧a ＝－2，b ＝4，c ＝1.

∴这个二次函数的解析式为y ＝－2x 2＋4x ＋1.(4分) (2)由y ＝－2x 2＋4x ＋1＝－2(x －1)2＋3，故其顶点坐标为(1，3)．(6分)当x ＝4时，m ＝－2×16＋16＋1＝－15.(8分)

21．解：(1)∵抛物线y ＝(x ＋2)2＋m 经过点A (－1，0)，∴0＝1＋m ，∴m ＝－1，∴抛物线解析式为y ＝(x ＋2)2－1＝x 2＋4x ＋3，(2分)∴点C 的坐标为(0，3)，抛物线的对称轴为直线x ＝－2.又∵B ，C 关于对称轴对称，∴点B 的坐标为(－4，3)．(4分)∵y ＝kx ＋b 经过

点A ，B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，－4k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝－1.

∴一次函数的解析式为y ＝－x －1.(6分) (2)由图象可知，满足(x ＋2)2＋m ≥kx ＋b 的x 的取值范围为x ＜－4或x ＞－1.(8分)

22．解：(1)y ＝50－x (0≤x ≤50，x 为整数)．(3分)

(2)w ＝(120＋10x －20)(50－x )＝－10x 2＋400x ＋5000＝－10(x －20)2＋9000.(6分)∵a ＝－10＜0，∴当x ＝20时，w 取得最大值，最大值为9000，此时每个房间定价为120＋10x ＝320.(9分)

答：当每间房价定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是9000元．(10分)

23．解：(1)根据题意，得(30－2x )x ＝72，解得x 1＝3，x 2＝12.∵30－2x ≤18，∴x ≥6，∴x ＝12.(3分)

(2)设苗圃园的面积为y 平方米，则y ＝x (30－2x )＝－2x 2＋30x .由题意得30－2x ≥8，∴x ≤11.由(1)可知x ≥6，∴x 的取值范围是6≤x ≤11.(5分)∵a ＝－2＜0，对称轴为直线x ＝

－b 2a ＝－302×（－2）＝152，∴当x ＝152时，y 取最大值，最大值为－2×⎝⎛⎭⎫1522＋30×152＝112.5；

(8分)当x ＝11时，y 取最小值，最小值为－2×112＋30×11＝88.即当平行于墙的一边长不小于8米时，这个苗圃园的面积的最大值为112.5平方米，最小值为88平方米．(10分)

24．解：(1)∵y ＝x 2

＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122

＋34，∴二次函数y ＝x 2＋x ＋1的顶点坐标为⎝⎛⎭

⎫－12，34，(2分)∴二次函数y ＝x 2＋x ＋1的“反倍顶二次函数”的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫

12，32，∴它的一个反倍顶二次函数的解析式为y ＝x 2－x ＋7

4

(答案不唯一)．(4分)

(2)y 1＋y 2＝x 2＋nx ＋nx 2＋x ＝(n ＋1)x 2＋(n ＋1)x ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫x 2＋x ＋14－n ＋1

4，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－12

，－n ＋14(6分)，y 1－y 2＝x 2＋nx －nx 2－x ＝(1－n )x 2＋(n －1)x ＝(1－n )⎝⎛⎭⎫x 2－x ＋14－1－n 4，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫1

2，－1－n 4，(8分)由于函数y 1＋y 2恰是y 1－y 2的“反倍顶二次函数”，则－

2×1－n 4＝－n ＋14，解得n ＝1

3

.(10分)

25．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2

＋bx －8经过点A (－2，0)，D (6，－8)，∴⎩⎪⎨

⎪⎧4a －2b －8＝0，36a ＋6b －8＝－8，

解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－3.∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－3x －8.(3分)∵y ＝12x 2－3x －8＝12(x －3)2－25

2

，∴

抛物线的对称轴为直线x ＝3.又∵抛物线与x 轴交于A ，B 两点，点A 的坐标为(－2，0)，∴点B 的坐标为(8，0)．(5分)设直线l 的解析式为y ＝kx .∵直线l 经过点D (6，－8)，∴6k ＝－8，∴k ＝－43，∴直线l 的解析式为y ＝－4

3x .∵点E 在抛物线的对称轴上，∴点E 的横坐

标为3.又∵点E 为直线l 与抛物线对称轴的交点，∴点E 的纵坐标为－4

3×3＝－4，∴点E

的坐标为(3，－4)．(9分)

(2)抛物线上存在点F 使△FOE ≌△FCE ，此时点F 的纵坐标为－4，∴1

2x 2－3x －8＝－4，解

得x ＝3±17，∴点F 的坐标为(3＋17，－4)或(3－17，－4)．(12分)