高考数学一轮复习---直线与圆、圆与圆的位置关系知识点与题型复习

一、基础知识

1．直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)

(1)圆的切线方程常用结论

①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.

②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.

③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.

(2)直线被圆截得的弦长

弦心距d、弦长l的一半l及圆的半径r构成一直角三角形，且有r2＝d2＋.

三、考点解析

考法(一)　直线与圆的位置关系的判断

例、直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　)

A．相交　　　　    　B．相切            C．相离           D．不确定

[解题技法]

判断直线与圆的位置关系的常见方法：

(1)几何法：利用d与r的关系．

(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．

(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．

考法(二)　直线与圆相切的问题

例、(1)过点P(2,4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为(　　)

A．3x＋4y－4＝0   B．4x－3y＋4＝0   C．x＝2或4x－3y＋4＝0   D．y＝4或3x＋4y－4＝0

(2)已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0上存在两点关于直线l：x＋my＋1＝0对称，经过点M(m，m)作圆C的切线，切点为P，则|MP|＝________.

考法(三)　弦长问题

例、(1)若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为(　　)

A.             B．1             C.              D.

(2)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为(　　)

A．4π          B．2π            C．9π             D．22π

跟踪练习：

1．已知圆的方程是x2＋y2＝1，则经过圆上一点M的切线方程是________．

2．若直线kx－y＋2＝0与圆x2＋y2－2x－3＝0没有公共点，则实数k的取值范围是________．

3．设直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋2x－my＝0相交于A，B两点，若点A，B关于直线l：x＋y＝0对称，则|AB|＝________.

例、已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)

A．内切　　　　　　B．相交             C．外切            D．相离

变式练习：

1．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝(　　)

A．21　　　　　B．19               C．9               D．－11

2.若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为________．

[解题技法]　

几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤：

(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；

(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1＋r2，|r1－r2|；

(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．

课后作业

1．若直线2x＋y＋a＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则a的值为(　　)

A．±　　　　　　　B．±5             C．3              D．±3

2．与圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，C2：x2＋y2－14x－2y＋14＝0都相切的直线有(　　)

A．1条              B．2条           C．3条            D．4条

3．直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，则直线的倾斜角为(　　)

A.或              B．－或         C．－或         D.

4．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为(　　)

A．2x＋y－5＝0       B．2x＋y－7＝0    C．x－2y－5＝0     D．x－2y－7＝0

5．若圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0上有且仅有三个点到直线x＋ay＋1＝0的距离为1，则实数a的值为(　　)

A．±1               B．±            C．±            D．±

6．过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为(　　)

A．y＝－          B．y＝－          C．y＝－        D．y＝－

7．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．

8．若P(2,1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为________．

9．过点P(－3,1)，Q(a,0)的光线经x轴反射后与圆x2＋y2＝1相切，则a的值为________．

10．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是________．

11．已知圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和圆C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.

(1)求证：圆C1和圆C2相交；

(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．

12．已知圆C经过点A(2，－1)，和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上．

(1)求圆C的方程；

(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．

提高练习

1．过圆x2＋y2＝1上一点作圆的切线，与x轴、y轴的正半轴相交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　)

A.             B.            C．2             D．3

2．在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若·＝0，则点A的横坐标为________．

3．已知圆C：x2＋(y－a)2＝4，点A(1,0)．

(1)当过点A的圆C的切线存在时，求实数a的取值范围；

(2)设AM，AN为圆C的两条切线，M，N为切点，当|MN|＝时，求MN所在直线的方程．