高二数学直线方程试题答案及解析

1. 直线和直线的交点为,则过两点,的直线方程为_____________.

【答案】

【解析】两直线和的交点为, 所以是直线上的点，将点的坐标代入直线方程，得到整理一下，则可看成而分别可由代入因为,即为相异的两点.两点确定一条直线，所以可以认为为所求直线方程.

【考点】直线的方程.

2. 已知直线l经过点P(-2,1)

（1）若直线l的方向向量为(-2,-1)，求直线l的方程；

（2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求此时直线l的方程.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或x+y+1=0

【解析】（1）已知直线的方向向量利用方向向量设方程时可设为：,然后根据直线过点P(-2,1)来得直线方程.（2）可先设直线的斜率，然后表示直线方程；根据直线方程来表示直线在两坐标轴上的截距，根据截距相等列出方程即可.

试题解析：（1）直线斜率为

　　得

（2）或x+y+1=0.

【考点】函数及其性质的应用.

3. 已知直线经过点.

（1）若直线的方向向量为，求直线的方程；

（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求此时直线的方程.

【答案】（1）（2）或

【解析】（1）由直线的方向向量可得直线的斜率，根据点斜式可得直线方程。（2）注意讨论截距是否为0，当截距均为0时，直线过原点，设直线方程为，将点代入即可求得，当截距不为0时可设直线为，同样将点代入即可求得。

（1）由的方向向量为，得斜率为，

所以直线的方程为：（6分）

（2）当直线在两坐标轴上的截距为0时，直线的方程为；（9分）

当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设为代入点得直线的方程为.

【考点】1直线的方向向量；2直线方程的点斜式和截距式。

4. （本小题满分13分）已知抛物线的焦点为，是抛物线上横坐标为4、且位于轴上方的点，到抛物线的准线的距离为5，过作垂直于轴，垂足为，的中点为．

(1)求抛物线的方程；

(2)过作，垂足为，求点的坐标．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据抛物线的标准方程，先写出抛物线的准线方程，进而由抛物线的定义得到，进而可确定，从而可写出抛物线的方程；（2）由（1）先确定，，随之确定，进而写出直线的方程，进而由得到，进而写出直线的方程，最后联立直线、的方程即可求得交点的坐标.

试题解析：（1）抛物线的准线为，于量，所以

∴抛物线方程为

（2）由（1）可得点的坐标是， 由题意得

又∵， ∴，由可得

则的方程为，的方程为

解方程组，所以.

【考点】1.抛物线的标准方程及其几何性质；2.直线的方程；3.两直线的交点问题.

5. 已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.

(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；

(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．

【答案】（1）y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0；（2）.

【解析】（1）圆的方程化为标准方程，求出圆心与半径，再分类讨论，设出切线方程，利用直线是切线建立方程，即可得出结论；

（2）先确定P的轨迹方程，再利用要使|PM|最小，只要|PO|最小即可.

试题解析：(1)将圆C配方得：(x＋1)2＋(y－2)2＝2.

①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，由直线与圆相切得：y＝(2±)x.

②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y－a＝0，由直线与圆相切得：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.故切线方程为y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.

(2)由|PO|＝|PM|，得：

＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2⇒2x1－4y1＋3＝0.即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上，当|PM|取最小值时即|OP|取得最小值，直线OP⊥l.

∴直线OP的方程为：2x＋y＝0.解方程组得P点坐标为.

【考点】直线和圆的方程的应用．

6. 已知的顶点，的平分线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．

（1）求顶点的坐标；

（2）求的面积．

【答案】（1）点C的坐标为；（2）．.

【解析】（1）因为直线,求出，进而求出直线AC的方程，直线AC与CD联立即可求出顶点的坐标；

（2）由（1）可求出，再求出B点的坐标，由点到直线的距离公式可求出的高，进而可以求出的面积．

试题解析：(1)直线,则,

直线AC的方程为,                        2分

由

所以点C的坐标．.                         4分

(2),所以直线BC的方程为,            5分

,即．.                7分

,                    8分

点B到直线AC:的距离为.               9分

则．.                        10分

【考点】点到直线的距离、直线方程.

7. 直线与两坐标轴围成的三角形面积等于__________.

【答案】

【解析】令，则，令，则，所以

【考点】求直线的横纵截距

8. 光线从点射出，到轴上的点后，被轴反射，这时反射光线恰好过点,求所在直线的方程及点的坐标．

【答案】直线方程为：；.

【解析】试题分析:先求出点关于轴的对称点,然后根据直线两点式方程求出的直线方程为.

试题解析：点关于轴的对称点.

因为点在直线上，，所以的直线方程为：.

化简后得到的直线方程为：.

【考点】直线方程.

9. 过点(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程是(　　) 

【解析】由两直线垂直的性质可知，所求的直线的斜率k=-2，所求直线的方程为y-3=-2（x+1）即2x+y-1=0，故选B

【考点】本题考查了直线的方程及位置关系

点评：如果两条直线的斜率分别是和，则这两条直线垂直的充要条件是

10. （本小题满分12分）

矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点M (2,0),AB边所在直线的方程为:,若点在直线AD上.

（1）求点A的坐标及矩形ABCD外接圆的方程；

（2）过点的直线与ABCD外接圆相交于A、B两点,若,求直线m的方程.

【答案】(1) ；（2）或 。

【解析】(1)∵AC⊥AD 且  ∴

∴直线AD的方程为： 即        ………2分

由 解得 即A(0,-2)                  ………4分

∵ABCD是矩形  ∴ABCD外接圆的圆心为对角线AC与BD的交点，即M(2,0),

半径r="|AM|=2" . 故其方程为                 ………6分

（2）①当直线m的斜率不存在时，其方程为x="0," m与圆M的交点为A(0,-2),B(0,2)

满足|AB|=4， ∴x=0符合题意。                              ………8分

②当直线m的斜率存在时，设m的方程为y=kx-1,即kx-y-1=0，则圆心(2,0)到直线m的距离为： 解得：

∴此时m的方程为：

故所求m的方程为：或                    ………12分

【考点】本题主要考查直线方程，圆的方程，直线与圆的位置关系。

点评：典型题，涉及求圆的问题，往往利用定义法—即求圆心、半径，或利用“待定系数法”。本题中求切线方程是一道易错题，应该注意到，自圆外一点作圆的切线有两条，防止遗漏“斜率”不存在的切线。

11. 已知原点O（0，0），则点O到直线x+y+2=0的距离等于            ．

【答案】.

【解析】由点到直线的距离公式知.

【考点】点到直线的距离.

点评：P,则点P到直线l的距离为：.

12. （本题满分8分）已知A（1，2）、B（-1，4）、C（5，2），

(1）求线段AB中点坐标；

(2）求ΔABC的边AB上的中线所在的直线方程。

【答案】(1）（0,3）(2) 

【解析】(1）由中点坐标公式可知，AB中点坐标为.                 ……3分

(2)由直线方程的两点式可知, ，                           ……6分

化简得, 为所求直线方程                                ……8分

(第2)小题不用两点式求出正确结果也得满分5分)

【考点】本小题主要考查中点坐标公式的应用和直线方程的求法.

点评：直线方程有五种形式，用哪种方程求解要根据题目条件来定，但是最后一般都要化成一般式.

13. （本题满分14分）

在平行四边形中，，点是线段的中点，线段与交于点，

（1）求直线的方程

（2）求点的坐标．

【答案】（1）                (2)

【解析】向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的．

（1）根据平行四边形中，，点是线段的中点，得到直线CM的方程。

（2）在平行四边形ABCD中，点M是线段AB的中点，得到两个三角形相似，对应边成比例，得到向量之间的关系，设出要求点的坐标，根据向量之间的关系得到向量坐标之间的关系，求出坐标

14. 已知直线l过点 且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程

为         ；

【答案】

【解析】因为当直线过原点时，直线方程为,当直线不过原点是，设直线方程为

，将点代入可知c=-3,故填写

15. （本题8分）已知直线l1：2x－y＋2＝0与l2：x＋2y－4＝0，点P(1, m)．

（Ⅰ）若点P到直线l1, l2的距离相等，求实数m的值；

（Ⅱ）当m＝1时，已知直线l经过点P且分别与l1, l2相交于A, B两点，若P恰好

平分线段AB，求A, B两点的坐标及直线l的方程．

【答案】（Ⅰ）m＝－1或m＝； （Ⅱ）x＋7y－8＝0。

【解析】(I)根据点到直线的距离公式建立关于m的方程，求出m的值.

（II）设A(a, 2a＋2), B(4－2b, b)，因为P（1，1）为AB的中点，根据中点坐标公式可得关于a,b的方程，解出a,b的值.所以可得A、B的坐标，进而得到直线l的方程.

（Ⅰ）由题意得，…………………………………1分

解得m＝－1或m＝；………………………………………………2分

（Ⅱ）设A(a, 2a＋2), B(4－2b, b)，则

 解得，………………………………2分

∴，∴，……………………2分

∴l：，即x＋7y－8＝0………………………………1分

16. 在直角坐标系中，射线OA: x－y=0（x≥0），

OB: x+2y=0（x≥0），过点P(1,0)作直线分别交射线OA、OB于A、B两点.

（1）当AB中点为P时，求直线AB的方程；

（2）当AB中点在直线上时，求直线AB的方程.

【答案】（1），即（2）

【解析】本试题主要是考查了直线的方程的求解，以及对称点的坐标运用。

（1）因为射线OA: x－y=0（x≥0），OB: x+2y=0（x≥0），过点P(1,0)作直线分别交射线OA、OB于A、B两点，结合中点公式得到交点的坐标。进而得到直线方程

（2）分别对于直线AB斜率存在与否进行分类讨论，然后联立方程组的思想得到交点坐标，利用中点公式得到结论。

解：（1）因为分别为直线与射线及的交点， 所以可设，又点是的中点，

所以有即∴A、B两点的坐标为，……4分

∴，……….5分

所以直线AB的方程为，即………..6分

（2）①当直线的斜率不存在时，则的方程为，易知两点的坐标分别为所以的中点坐标为，显然不在直线上,

即的斜率不存在时不满足条件. ……….8分

②当直线的斜率存在时，记为，易知且，则直线的方程为

分别联立及

可求得两点的坐标分别为

所以的中点坐标为……….10分

又的中点在直线上,所以解得

所以直线的方程为，即…………13分

17. 设点A(－1,2),B(2,－2),C(0,3),且点M（a,b）(a0)是线段AB上一点，则直线MC的斜率k的取值范围是(     ) 

【解析】此题考查斜率的计算公式、数形结合思想的应用；如下图：由已知得到，点在线段上运动，所以直线MC的斜率的边界值是线段的斜率，所以满足或者，所以

18. 直线绕着它与轴的交点顺时针旋转所得的直线方程为___________。

【答案】

【解析】直线与x轴交点是(1,0).设倾斜角为，所以是锐角，则旋转后直线倾斜角是，斜率是

，故旋转后直线方程是：

19. 已知直线y＝x＋b的横截距在[-2,3]范围内，则该直线在y轴上的纵截距大于1的概率是 

【解析】依题意可得，，解得，所以直线在y轴上的纵截距，其大于1的概率为，故选A

20. 无论取何值，直线经过一定点，则该定点的坐标是 （    ）. 

【解析】直线方程化为令得：，与无关；故选A

21. 一条直线经过点且与两点的距离相等,则直线的方程是（   ） 

【解析】直线AB斜率为AB中点为则所以直线方程为：即或

故选A

22. 直线与直线垂直，则直线的方程可能是（ ） 

【解析】本题考查的是直线中的垂直关系。由条件可知斜率为，所以与其垂直的直线斜率为，应选A。

23. 直线经过，且在轴上的截距相等，则直线方程为________

【答案】或

【解析】略

24. 过点且与直线垂直的直线方程是（　　） 

【解析】本题考查直线的位置关系

若直线与直线垂直，则有；

与直线垂直的直线的方程为

设与直线垂直的直线方程是，由直线过点

得，解得

所以所求直线的方程为

故正确答案为A

25. 若直线沿x轴正方向平移2个单位，再沿y轴负方向平移1个单位，又回到原来的位置，则直线的斜率=_______

【答案】

【解析】略

26. (本小题满分12分)

△ABC中，A（– 4，2）．

（1）若∠ACB的平分线CD所在直线方程为，B（3，1），求点C的坐标；

（2）若两条中线所在直线分别为，求直线BC的方程．

【答案】（1）C（2，4）

（2）

【解析】解：(1) 设C（m，2m），则

∵CB到CD的角等于CD到CA的角

∴

∴m = 2

∴C（2，4）··········································································· 6分

∴

∴

∴B（2，4），C（4，0）

∴BC方程为··································· 12分

27. 、已知函数，则这个函数在点处的切线方程是 

【解析】略

28. P、Q分别为与上任意一点，则的最小值为 

【解析】略

29. （本小题6分）

如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为, 点

在边所在直线上．求：

（1）边所在直线的方程；

（2）边所在的直线方程.                                 

【答案】（1）

（2）

【解析】解：（1）由题意：为矩形，则，

又边所在的直线方程为：，

所在直线的斜率，

而：点在直线上.

边所在直线的方程为：…………………………（3分）

（2）为矩形两对角线的交点，则点到直线和直线的距离相等

又//，可令的直线方程为：.

而M到直线AB的距离

M到直线BC的距离为，

即：或，又，，

DC边所在的直线方程为：…………………………（3分）

30. 直线关于直线对称的直线方程是　　　　　          （ 　 ） 

【解析】略

31. 直线经过点且在轴、轴上截距互为相反数的直线方程是         

【答案】2x-y=0或x-y+1=0

【解析】略

32. 已知点，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的

取值范围是 （    ） 

【解析】略

33. 直线L经过点（2，1），且在两坐标轴上截距相等,这样的直线共有_________条.

【解析】略

34. 光线从点（―1，3）射向x轴，经过x轴反射后过点（4，6），则反射光线所在的直线方程

一般式是         

【答案】9x-5y-6="0      "

【解析】略

35. 不论实数取何值，直线总经过定点      

【答案】（2，1）；

【解析】略

36. 方程所确定的直线必经过的定点坐标是       ．

【答案】（0，3）

【解析】略

37. 过点且垂直于直线 的直线方程为（   ） 

【解析】本题考查直线斜率,直线垂直的条件,直线方程

直线的斜率为因为所求直线垂直直线,所以所求直线斜率为又所求直线过点,则由直线方程的点斜式得所求直线方程为

,即故选A

38. 若直线：，与：互相垂直，则的值为（ ） 

【解析】本题考查两直线的垂直条件.

直线斜率为直线斜率为因为所以，即，解得故选D

39. 已知直线在轴和轴上的截距相等，则a的值是（ ） 

【解析】当截距都为0时，即；当截距都不为0即时，直线方程可变形为：，由已知有得，所以答案选D.

【考点】直线的方程

40. 若曲线与直线（）有两个公共点，则的取值范围是________

【答案】a>2

【解析】依题意在坐标系中画出图形，如图，

数形结合可知，当a>2时，满足题意.

【考点】数形结合求直线交点

41. 直线的倾斜角的取值范围是_________________

【答案】 

【解析】直线的斜率为，当时，；当时，，

∴，故倾斜角的取值范围是.

【考点】直线的倾斜角与斜率

42. 点是直线上的一个动点，则有最___（填大或小）值，的取值范围为____________.

【答案】小，

【解析】因，所以有最小值，的取值范围为

【考点】二次函数最值

43. （本小题10分）如图直线过点（3,4）, 与轴、轴的正半轴分别交于A、B两点，△ABC的面积为24. 点为线段上一动点，且交于点．

（Ⅰ）求直线斜率的大小； 

（Ⅱ）若时，请你确定点在上的位置，并求出线段的长；

（Ⅲ）在轴上是否存在点，使△为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）PQ=4；（Ⅲ）见解析

【解析】（Ⅰ）利用△ABC的面积为24设出直线方程即可获解；（Ⅱ）与相似利用相似比；（Ⅲ）有关直线与圆锥曲线位置关系的探索性问题，一般是先假设存在满足题意的元素，经过推理论证，如果得到可以成立的结果，就可作出存在的结论；若得到与已知条件、定义、公理、定理、性质相矛盾的结果，则说明假设不存在．

试题解析：（1）解：当直线斜率不存在时，易知不符合题意.所以设直线方程是：                    1分

因为A、B是直线与x轴、y轴正半轴的交点，

所以，               2分

又因为,所以

解得.                      3分

（2）解：由（1）知直线的方程为：即：，

此时B（0，8）                        4分

因为,所以所以

因为PQ//OB所以与相似，

故所以PQ=4              5分

所以P点在线段AB的中点的时候，.      6分

（3）存在点M（0,）

理由：设点M（0，b）Q（a,0）,则P（a，）       7分

由题意知且即      9分

解得故存在点M（0,）                 10分

【考点】解析几何的综合应用

44. 求过点（2，3）且在x轴和y轴截距相等的直线的方程                 ．

【答案】.

【解析】当直线过原点时，当直线不过原点时，可设方程为,把代入方程得，

所以方程为.

【考点】直线方程.

45. 过点，在轴、轴上的截距分别为，且满足的直线方程为            ．

【答案】或  

【解析】当截距为0时，设直线方程为，将代入得，所以；当截距不为0，设直线方程为，将代入得，所以．

【考点】直线的方程．

46. 经过点M（1，1）且在两轴上截距相等的直线是（  ） 

【解析】若直线过原点，则在两坐标轴上的截距都为0，在两坐标轴上的截距相等，此时直线方程为y＝x；

若直线不过原点时，设直线在两坐标轴上的截距为a，由，代入点（1，1）的坐标可得：a＝2，∴直线方程为x＋y＝2；故选D．

【考点】直线的截距．

点评：解本题的关键是掌握直线的截距式方程不能表示过原点的直线，注意直线过原点时在两个坐标轴上的截距都是0也是相等的．

47. 如图，已知三角形的顶点为，，，求：

（1）AB边上的中线CM所在直线的方程；

（2）求△ABC的面积．

【答案】（1）直线CM的方程为：2x＋3y－5＝0；（2）△ABC的面积为11．

【解析】（1）AB中点M的坐标是 

中线CM所在直线的方程是，

即2x＋3y－5＝0；                6分

（2）        8分

直线AB的方程是

点C到直线AB的距离是      12分

所以△ABC的面积是           14分

【考点】考查了求直线方程，两点间的距离，点到直线的距离公式．

点评：解本题的关键是由A、B两点的坐标求出AB中点的坐标，利用两点式求出直线的方程，利用两点间的距离公式求出三角形的一条边长，再利用点到直线的距离公式求出这条边上的高，求出三角形的面积．

48. 光线从点（―1，3）射向x轴，经过x轴反射后过点（4，6），则反射光线所在的

直线方程的一般式是                  ．

【答案】9x－5y－6＝0．

【解析】根据反射的性质可知，点（－1，3）关于x轴的对称点（－1，－3）也在反射光线上，∴反射光线所在的直线方程为：，整理可得：9x－5y－6＝0．

【考点】考查了直线的一般方程．

点评：解本题的关键是找出反射光线上的两个点，求出直线的一般式方程．

49. 如图，已知三角形的顶点为，，，求：

（1）AB边上的中线CM所在直线的方程；

（2）求△ABC的面积．

【答案】（1）直线CM的方程为：2x＋3y－5＝0；（2）△ABC的面积为11．

【解析】（1）AB中点M的坐标是 

中线CM所在直线的方程是，

即2x＋3y－5＝0；                6分

（2）        8分

直线AB的方程是

点C到直线AB的距离是      12分

所以△ABC的面积是           14分

【考点】考查了求直线方程，两点间的距离，点到直线的距离公式．

点评：解本题的关键是由A、B两点的坐标求出AB中点的坐标，利用两点式求出直线的方程，利用两点间的距离公式求出三角形的一条边长，再利用点到直线的距离公式求出这条边上的高，求出三角形的面积．

50. 不论m为何实数，直线mx－y＋3＝0 恒过定点___________________（填点的坐标）

【答案】

【解析】将直线变形为,由直线方程的点斜式可知直线过定点.

【考点】直线过定点问题.