第8章光学双稳性及其不稳定性

本章内容：

光学双稳性是具有反馈的非线性光学系统的特性。主要介绍：

一、光学双稳性：主要介绍光学双稳态的定义；F-P型光学双稳器件原理：包括吸收型和折射型本征光学双稳性，以及电光型混合光学双稳性。

二、光学不稳定性：主要讨论光学双稳态的稳定性与不稳定性：双反馈不稳定性和延时不稳定性，以及周期倍增和光学混沌现象。

8.1  光学双稳性

8.1.1 光学双稳性的基本概念

1. 光学双稳性（Optical Bistability）

●光学双稳性定义：

如果一个光学系统在给定的输入光强下，存在着两种可能的输出光强状态，而且可以实现这两个光强状态间的可恢复性开关转换，则称该光学系统具有光学双稳性。

●光学双稳特性曲线：

透射光强是入射光强的二值和多值函数。

输出光强与输入光强的关系是一种类似于铁磁性或铁电性的滞后回线，有以下两个特征：

(1) 延滞性：透射光总是滞后于入射光，延滞性决定其系统的稳定特性，来源于负反馈作用。

(2) 突变性：两状态间的快速开关转换，这种两状态间的快速转换特性，起源于正反馈作用。

反馈在光学双稳性中起着关键性作用。

光学双稳性一般是指光强的双稳性，有时也被推广用于其他物理量，如频率的双稳性等。

2．光学双稳器件（Optical Bistable Devices）

光学双稳器件——具有光学双稳性的光学装置;具有反馈的非线性光学器件。

光双稳器件＝光学非线性＋反馈机制

构成光双稳器件的三要素：非线性介质，反馈系统，入射光能。

最简单的光学双稳器件——在F-P光腔中放置一块非线性介质。

F-P型光学双稳器件像一个激光器。

光双稳器件与激光器比较

●按反馈方式分类，光双稳器件主要可分为：

（1）全光型——纯光学反馈器件。

    例如，含有非线性介质的F-P标准具。

（2）混合型——混合反馈器件。

    例如：具有反馈的电光调制器，及其他电光、磁光、声光器件。

●按非线性机制分类，光双稳器件可以分为：

1吸收型——由非线性吸收引起。

2色散型——由非线性折射引起。

3热光型——由热致非线性引起。

●还可按腔型分为有腔型和无腔型；按源型分为有源型和无源型等。

8.1.2 光学双稳性的基本原理

1.吸收型光学双稳性

吸收型光学双稳性是在FP腔中放置一可饱和吸收体构成 

介质的吸收系数作为光强的函数：                    

                            (8.1.1)

式中，－线性吸收系数；－介质中的光强；－饱和光强。

设和—器件的入射光强和透射光强；—器件厚度，透射率为

                        (8.1.2) 

    当，，由(8.1.1)，，，器件处于低态，曲线的斜率较小，为；

    当，，由(8.1.1)，，，器件处于高态。曲线的斜率为45o。

                     吸收型光双稳特性

2．折射型全光双稳性

折射型全光双稳性是在F-P腔中放置一光克尔介质构成。

对光克耳介质，折射率为

                                (8.1.3)

对F－P干涉仪，介质内光强可近似表示为

                                    (8.1.4)

式中为F-P腔反射镜的反射率（设两反射率近似相等）。

将式 (8.1.4) 代入式（8.1.3）则有

                                   (8.1.5)

式中                         

下图绘出F-P干涉仪多光束干涉的光路图。

两相邻透射光间的相位差为

                        (8.1.6)

代入式（8.1.5），可得到

                                (8.1.7)

其中

                    ， 

因此透射率与相位差的关系表为

                            (8.1.8)

这里和的关系为直线，直线的斜率为入射光强的倒数。

式（8.1.8）称为反馈关系式。

F－P干涉仪的透射率与相位差之间还有一个周期性的关系

                        (8.1.9)

式中和为反射镜的反射率和透射率。式（8.1.9）称为调制关系。F－P标准具的关系如下图所示。图中为透射峰的周期，为半峰值宽度，为初始相位差。

将公式（8.1.8）和（8.1.8）联立，可以用作图法得到两个曲线相交的工作点。

当逐步增加入射光强，由（8.1.8），直线斜率逐渐减少，两曲线的焦点依次为:。 然后逐步减小入射光强，直线斜率逐渐增加，两曲线的焦点依为:。

器件双稳特性的工作范围就在直线和之间，在这个范围内，对应一个入射光强，两曲线有三个焦点，，。其中是不稳定的；和是稳定的。也就是对应一个入射光强，存在着两个稳定的透射光强状态。这样，就得到折射型光学双稳性的特性曲线。

    可以证明其中曲线是不稳定的。图中可见滞后于，在点和点发生开启和关闭的跳变。

也可以用解析法得到双稳曲线。在峰值附近，可近似写为，方程（8.1.8）则表示为

                        (8.1.10)

另一方面，据（8.1.7）得到

                        (8.1.11)

从下图中示出的峰值附近的相位关系（峰值处）

可见，式（8.1.11）应取负号，代入式（8.1.10），得到

                    (8.1.12)

这是的三次方程。

    令    ，， 和，

则有

                    (8.1.13)

对于不同的初始相位（不同的k），存在着不同的折射型光学双稳曲线

。

不同下的折射型本征双稳特性曲线

图中R =0.8,左图中=0.183相应于右图中的G=，是双稳的临界情况。曲线的斜率决定着系统的性质：

当 ，或，    无增益、无双稳；

当 ，    或，        微分增益；

当 ，或，光双稳性（负斜率区）。

 为求双稳阈值条件，由求拐点位置

得到 

因此，微分增益与光双稳的临界点为

为满足上式，要求，得极值。即，或，利用F－P标准具的精细度公式，

对微分增益                                           （8.1.14)

     对双稳性                                            (8.1.15)

用的精细度的定义, 实现双稳的条件是

                            (8.1.16)

初始相移必须适当选择，以使相移大小大于半宽度。

将及 代入式（8.1.13）得到由此拐点坐标为

                    (8.1.17)

    由以上分析可以得到对折射型光双稳器件的如下结论：

       （1）要适当选择初相移才能满足阈值条件；

   （2）较好的FP精细度可以减少所需相移量；

         （3）要有足够强的入射光强才能满足阈值条件；

（4）较大的非线性折射系数可降低阈值光强。

下图是1982年美国H.M.Gibbs等人由Bell实验室制备的半导体量子阱室温运转光学双稳器件。这是做在GaAs衬底上的两端面镀有反射膜的GaAs-AlGaAs多量子阱折射型光双稳器件。处于激子峰波长的光来自700－870nm氪离子激光泵浦的可调谐染料激光器，自有小孔的衬底端入射器件。

GaAs-AlGaAs多量子阱室温运转光双稳器件

示波器显示出入射三角波形、透射滞后波形和双稳回线，见下图所示。

GaAs-AlGaAs多量子阱器件的光双稳特性：

(a) 光双稳特性， (b) 输入光波形，(c) 输出光波形

3．电光混合型光双稳性

电光混合型光双稳器件是靠一个电光调制器实现电光混合反馈的，一般分为双光束干涉型和多光束干涉型两种。

1）电光非线性F-P型光双稳性  

将电光晶体调制器置于F-P腔中，部分输出光被探测器转换成电信号，通过放大器加在晶体的电极上，调制晶体的折射率和相位。

设晶体介质单程损耗为A，F－P多光束干涉透射率公式为

，                        (8.1.18)

其中                  

，            (8.1.19)    

式（8.1.18）是调制关系。

另由线性反馈过程有； 有电光普克尔效应得到，因此

                            (8.1.20)

式（8.1.20）是反馈关系。联立方程（8.1.18）和（8.1.20）得到光学双稳曲线。

2）偏振电光调制型光双稳性

    将一电光调制器置于两块正交的偏振器和之间构成光强调制器。由探测器接受输出光信号转换成电压信号，部分输出接于示波器的输入端，另一部分通过放大器加于电光晶体的电极上，反馈调制光的折射率和相位。输入光来自激光器，通过一旋转的偏振片使输入光强周期性的变化，输入光强信号由转换成电信号接于示波器的输入端。在示波器上可观察到光双稳曲线。

被反馈调制的晶体中的e光和o光发生干涉。两光束相位差正比于调制电压

                        (8.1.21)

式中为晶体的半波电压。电光调制器的透射率与相位差的关系为

。        (8.1.22)

考虑线性反馈过程，则有

                                (8.1.23)

联立式（8.1.22）和（8.1.23）则可得光双稳性。

3）电光Mach-Zehnder干涉仪型

这也是一种双光束干涉情况。一个条形光波导电光调制器置于干涉仪两臂之一，以改变两臂光束间的相位差。光电反馈是通过探测器和放大器（可调初相移）加在电光调制器的电极上。半导体激光器输出光强的周期性变化由驱动激光器的电调制器实现。输入与输出光强的双稳关系由探测器和转变为电信号输入示波器显示。

混合型M-Z干涉仪光纤双稳器件的实验装置图

两束光在耦合器中相遇，并发生干涉，总输出光强可表为

                        (8.1.24) 

这里是入射光强，常数依赖于耦合器的插入损耗和两束光的分数比；是对比度，定义为；是光强为和的两光束的相位差。式（8.1.24）表明输出光强是相位差的余弦函数。

假设两束光的初始相位差为，输出光强通过线性光探测器转化为电压信号，施加在电光调制器的两电极上，引起光的相位差的变化，而，因此我们得到

                              (8.1.25)

或                                                                (8.1.26)

其中是依赖于探测器、放大器、电光晶体参数的比例常数。因此，可得到和的另一种直线关系。由（8.1.24）式和（8.1.26）式得到的关系的两种关系曲线。

若周期性地改变输入光强，使反馈直线与调制余弦曲线相交于a-b-c-d.。和间的光学双稳曲线就可获得，如下图所示。

电光Mach-Zehnder干涉仪的光双稳特性

多稳态

8. 2 光学双稳性的不稳定性

8.2.1 光学双稳性的稳定性

（a）——全光的光学双稳器件，由非线性介质和光学反馈构成，

（b）——混合光学双稳器件，由电光调制器与电光反馈构成。

在稳态条件下，光学双稳性的调制作用和反馈作用可分别表为

调制作用                                            (8.2.1)

反馈作用                                            (8.2.2)

由式（8.2.1）和（8.2.2），与的反馈关系：

                                             (8.2.3)

对两类干涉仪型光学双稳器件，与的调制关系：

① 多光束干涉型（F-P干涉仪）             

                            (8.2.4)

② 双光束干涉型（M-Z干涉仪）

                                      (8.2.5)

式（8.2.3）和（8.2.4）、（8.2.5）联立，用作图法可得光学双稳态特性。 

曲线上各点稳定性如何？

——证明正斜率是稳定的；负斜率是不稳定的。

考虑动力学行为，令和为时间的函数，（ 8.2.1）和（8.2.2）改为

                                (8.2.6)

                             (8.2.7)

式中与分别为调制系统和反馈系统的时间常数。

令，，则以上耦合方程简化为

                               (8.2.8)  

                             (8.2.9)

采用线性近似法，将在平衡点处展开，

取线性项（取前两项），并设

                                (8.2.10)

                                (8.2.11)

其中为平衡点的值，满足(8.2.1)和(8.2.2)。将(8.2.10)和(8.2.11)代入(8.2.8)与(8.2.9)，再应用(8.2.1)和(8.2.2)，得

                (8.2.12)

                        (8.2.13)

此为常系数微分方程，欲解方程需先求其特征方程之根。特征方程为

                    (8.2.14)

                   (8.2.15)

      (8.2.16)

根据常系数微分方程的稳定性理论，由特征方程的根的性质可判断解是否稳定。例如，常系数微分方程为

有特征方程    

当特征根是实数，有通解         

当，零解（x=0,y=0）收敛，是稳定的；

当，零解发散，是不稳定的；

当中有一个大于0，零解也不稳定，称为鞍解。

结论：如果特征方程的根都有负的实部，那么零解是稳定的，而且是渐进稳定的；如果特征方程有一个具有正实部的根，那么零解是不稳定的。

对于特征根（8.2.16），若，则实根，不稳定。

将式（8.2.1）改为，代入式（8.2.2）得

                                (8.2.17)

两边微分得

                                     (8.2.18)

即

                        (8.2.19)

因此不稳定条件为

                    (8.2.20)

即为不稳定条件。

对于根，，皆为负实根，为稳定的。即满足

                    (8.2.21)

即为稳定条件。

综合以上分析，结论是：光学双稳曲线的负斜率区不稳定，正斜率区稳定。

事实上，我们可以定义一个稳定度S，它是相对输出光强对相对输入光强之比。

            (8.2.22)

由式（8.2.20），有

                            (8.2.23)

所以当稳定，当则不稳定，如图8. 2. 2所示。

8.2.2光学双稳性的不稳定性

在入射光不变条件下产生复现脉动、自脉冲、周期振荡、混沌等现象称为光学双稳性的不稳定性。可以分为三类：

Macall不稳定性——复现脉动（Regeneration pulsations）

起因：两种符号不同、时间常数不同的非线性折射率机制共同作用。或称双反馈机制。

Ikeda不稳定性——倍周期振荡和混沌(Chaos)

起因：延时反馈造成的不稳定性，形成倍周期振荡直至混沌。

Bonifacio不稳定性——自脉冲（Self-pulsing）

起因：环腔中，模间竞争和干涉形成倍周期振荡，直至混沌发生。

研究不稳定性（混沌）的意义：

(1) 了解激光技术中的噪声与混沌的区别。

(2) 可将连续光变成脉冲光，或将脉冲光进一步压缩成窄脉冲。

(3) 利用混沌同步，可用于混沌保密通信。

(4) 可作为研究非平衡态统计力学的一个手段。

以下我们以Macall不稳定性与Ikeda不稳定性为例，说明光学双稳性的不稳定性。

1.  McCall不稳定性——双反馈不稳定性

1978年McCall在数学上证明了一个光学双稳系统若具有两种符号相反的、时间常数不同的非线性机制，则在恒定入射光强下，可能产生一种弛豫振荡输出光的现象。

Okada用混合双稳装置演示了双反馈不稳定性。实验装置如下。

实验中，有两个反馈电路，分别由探测器和电阻，电容以及和，组成。通过改变电容，可改变反馈时间；通过改变放大器的增益和光电转换因子k，从而改变反馈量。设介质的响应速度远快于反馈速度。由动力学方程

                            (8.2.24)

                        (8.2.25)

令，，及；由，有，则动力学方程

                                        (8.2.26)

                    (8.2.27)

设，，，两边微分（8.2.26）和（8.2.27）得到

            (8.2.28)

            (8.2.29)

设                      

            (8.2.30)

则得矩阵方程

                                (8.2.31) 

解特征方程                                        (8.2.32)

                    (8.2.33)

设，其中

                              (8.2.34)

当，（）时，系统为稳定周期振荡。此时为实数,是振荡的角频率。令，由，即，可得振荡角频率

                                            (8.2.35)

角频率随和的变化而变化。为实数，要求，或

，     

，     

即                         ，      ，                

或者要求

，     

，     

即要求                     

，  ，

当, 振荡条件为            

                    (8.2.36)

     当, 振荡条件为      

                    (8.2.37)

综上所述，得到如下结论：

（1）要求，即要求两反馈电路的输出是反相的。

（2）要求，因为，时，为虚数，无振荡。即要求两时间常数不相同。   

（3）当时，只有单反馈时才成立。因为由式(8.2.35)，为虚数，无振荡。

（4）当时，两反馈相互抵消，但振荡依然存在，，且允许，。

（5）的取值范围：；的取值范围：；的取值范围：。

McCall不稳定性可作如下定性解释：两个反馈对器件提供正负不同的反馈，由于它们的时间常数不同，导致在不同时刻只有一种反馈起主导作用，周期性交替，造成输出光强时起时伏的复现脉动现象。

2．Ikeda不稳定性——延时不稳定性

1978年Ikada指出，在延时反馈条件下，即使光学双稳态的上支（正微分增益区）在一定条件下也会变成不稳定的，透射光呈现周期振荡直至混沌。也可以用混合双稳装置演示延时不稳定性，实验装置如图8.2.5。该装置由电光混合双稳装置和一个由计算机控制的延时系统组成。图中是探测器，是放大器，分别是模数和数模转换器，为延时调节器。

系统响应时间通过来调节，调节范围是。计算机延时为，其取样周期为160。

设为未加反馈的初始相移，与光电转换系数，为相移，为调制度，为峰值透射率，则动力学方程为

                    (8.2.38)

                (8.2.39)

实验结果是：

当时，例如，，得到正常的光学双稳特性。

当时，例如，， 在双稳曲线上支出现周期

                                 (8.2.40)

的振荡，即周期倍增，分岔，最后出现混沌（内含周期窗口）。

关于光学双稳性的周期倍增过程的形成，可进行以下理论分析：

由式（8.2.38）和（8.2.39）， 因，有

                (8.2.41)

令，，，，得到如下迭代方程

                    (8.2.42)

由于，即, 追踪在迭代中的变化，则可知输出光强的变化规律。其中，取不同的，意味着取不同的入射光强。分别取，，，可得图8.2.6所示的周期倍增过程：（a）连续, (b) 2倍周期, (c) 4倍周期等。

(a) 连续

(b)  2倍周期

(b) 4倍周期

下图示出两张光学双稳性的周期倍增的实验照片:  

(a) 

(b) 

改变入射光强和反馈增益，可改变光学双稳性，使其从上支或下支出发，实现“连续运转振荡分岔（周期倍增）混沌”的变化过程。图8.2.8示出三种不同条件下的光学双稳性由稳态通向混沌不同过程的实验照片。

(a)上支由稳态通向混沌的过程

（b）下支由稳态通向混沌的过程

(c)上、下支同时由稳态通向混沌的过程