免费 2010中考数学压轴题特训详解及中考易错题集锦

1、（安徽）按右图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：

（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；

（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。

（1）若y与x的关系是y＝x＋p(100－x)，请说明：当p＝时，这种变换满足上述两个要求；

（2）若按关系式y=a(x－h)2＋k　(a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）

【解】（1）当P=时，y=x＋,即y=。

∴y随着x的增大而增大，即P=时，满足条件（Ⅱ）……3分

又当x=20时，y==100。而原数据都在20～100之间，所以新数据都在60～100之间，即满足条件（Ⅰ），综上可知，当P=时，这种变换满足要求；……6分

（2）本题是开放性问题，答案不唯一。若所给出的关系式满足：（a）h≤20；（b）若x=20,100时，y的对应值m，n能落在60～100之间，则这样的关系式都符合要求。

如取h=20,y=,……8分

∵a＞0，∴当20≤x≤100时，y随着x的增大…10分

令x=20,y=60，得k=60              　   ①

令x=100,y=100，得a×802＋k=100         ②

由①②解得，    ∴。………14分

2、（常州）已知与是反比例函数图象上的两个点．

（1）求的值；

（2）若点，则在反比例函数图象上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由，得，因此．    2分

（2）如图1，作轴，为垂足，则，，，因此．

由于点与点的横坐标相同，因此轴，从而．

当为底时，由于过点且平行于的直线与双曲线只有一个公共点，

故不符题意．    3分

当为底时，过点作的平行线，交双曲线于点，

过点分别作轴，轴的平行线，交于点．

由于，设，则，，

由点，得点．

因此，

解之得（舍去），因此点．

此时，与的长度不等，故四边形是梯形．    5分

如图2，当为底时，过点作的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为．

由于，因此，从而．作轴，为垂足，

则，设，则， 

由点，得点，

因此．

解之得（舍去），因此点．

此时，与的长度不相等，故四边形是梯形．    7分

如图3，当过点作的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为时，

同理可得，点，四边形是梯形．    9分

综上所述，函数图象上存在点，使得以四点为顶点的四边形为梯形，点的坐标为：或或．    10分

3、（福建龙岩）如图，抛物线经过的三个顶点，已知轴，点在轴上，点在轴上，且．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）写出三点的坐标并求抛物线的解析式；

（3）探究：若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点，是否存在是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点坐标；不存在，请说明理由．

解：（1）抛物线的对称轴………2分

（2）       …………5分

把点坐标代入中，解得………6分

…………………………………………7分

（3）存在符合条件的点共有3个．以下分三类情形探索．

设抛物线对称轴与轴交于，与交于．

过点作轴于，易得，，， 

1以为腰且顶角为角的有1个：．

    8分

在中， 

    9分

②以为腰且顶角为角的有1个：．

在中，    10分

    11分

③以为底，顶角为角的有1个，即．

画的垂直平分线交抛物线对称轴于，此时平分线必过等腰的顶点．

过点作垂直轴，垂足为，显然．

．

    于是    13分

    14分

注：第（3）小题中，只写出点的坐标，无任何说明者不得分．

4、（福州）如图12，已知直线与双曲线交于两点，且点的横坐标为．

（1）求的值；

（2）若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积；

（3）过原点的另一条直线交双曲线于两点（点在第一象限），若由点为顶点组成的四边形面积为，求点的坐标．

解：(1)∵点A横坐标为4 ,  ∴当  = 4时， = 2 .

∴ 点A的坐标为（ 4，2 ）.                                 

∵ 点A是直线      与双曲线      （k>0）的交点 ,

∴ k = 4 ×2 = 8 .                  

(2) 解法一：如图12-1，

∵ 点C在双曲线上，当= 8时， = 1

∴ 点C的坐标为 ( 1, 8 ) .                                

过点A、C分别做轴、轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMON .

S矩形ONDM= 32 ， S△ONC = 4 ， S△CDA = 9， S△OAM =  4 .               

S△AOC= S矩形ONDM - S△ONC - S△CDA - S△OAM = 32 - 4 - 9 - 4 = 15 .      

解法二：如图12-2，

过点  C、A分别做轴的垂线，垂足为E、F，

∵ 点C在双曲线上，当= 8时， = 1 .

∴ 点C的坐标为 ( 1, 8 ).           

∵ 点C、A都在双曲线上 ,

∴ S△COE = S△AOF  = 4  。                             

∴ S△COE + S梯形CEFA = S△COA + S△AOF .

∴ S△COA = S梯形CEFA  .                                

∵ S梯形CEFA =×（2+8）×3 = 15 ,   

∴ S△COA = 15 .                      

（3）∵ 反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形 ,

∴ OP=OQ，OA=OB .

∴ 四边形APBQ是平行四边形 .

∴ S△POA =  S平行四边形APBQ =   ×24 = 6  . 

设点P的横坐标为（> 0且）,

得P (,   ) .

过点P、A分别做轴的垂线，垂足为E、F，

∵ 点P、A在双曲线上，∴S△POE = S△AOF  = 4 .

若0＜＜4，如图12-3，

∵ S△POE + S梯形PEFA = S△POA + S△AOF,

∴ S梯形PEFA = S△POA = 6 .

∴.

解得= 2， = - 8(舍去) .

∴ P（2，4）.                      

若＞ 4，如图12-4，

∵ S△AOF+ S梯形AFEP = S△AOP + S△POE,

∴ S梯形PEFA = S△POA = 6 .

 ∴，

解得= 8， = - 2 (舍去) .

∴ P（8，1）.

∴ 点P的坐标是P（2，4）或P（8，1）. 

5、（甘肃陇南）如图，抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，点P是它的

顶点，点A的横坐标是3，点B的横坐标是1．

(1)求、的值；

(2）求直线PC的解析式；

(3）请探究以点A为圆心、直径为5的圆与直线

PC的位置关系，并说明理由．(参考数：，，)

解： (1)由已知条件可知： 抛物线经过A(-3，0)、B(1，0)两点．

∴            ……………………………………2分

解得．                 ………………………3分

  (2) ∵，  ∴ P(-1，-2)，C．      …………………4分

设直线PC的解析式是，则  解得． 

∴ 直线PC的解析式是．        …………………………6分

说明：只要求对，不写最后一步，不扣分．

    (3) 如图，过点A作AE⊥PC，垂足为E．

设直线PC与轴交于点D，则点D的坐标为(3，0)． ………………………7分

在Rt△OCD中，∵ OC=，，

∴．   …………8分

∵ OA=3，，∴AD=6．  …………9分

∵ ∠COD=∠AED=90o，∠CDO公用，

∴ △COD∽△AED．        ……………10分

∴， 即． ∴．       …………………11分

∵，

∴ 以点A为圆心、直径为5的圆与直线PC相离．      …………12分

6、（贵阳）如图14，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为的扇形．

（1）求这个扇形的面积（结果保留）．（3分）

（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由．（4分）

（3）当的半径为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．（5分）

解：（1）连接，由勾股定理求得：

    1分

    2分

（2）连接并延长，与弧和交于，

    1分

弧的长：    2分

圆锥的底面直径为：    3分

，不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．    4分

（3）由勾股定理求得： 

弧的长：    1分

圆锥的底面直径为：    2分

且

    3分

即无论半径为何值，    4分

不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．

7、（河南）如图，对称轴为直线x＝的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．

（1）求抛物线解析式及顶点坐标；

（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）①当四边形OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形？

②是否存在点E，使四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

8、（湖北黄岗）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，且∠AOC=60°，点B的坐标是，点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动，设秒后，直线PQ交OB于点D.

（1）求∠AOB的度数及线段OA的长；

（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；

（3）当时，求t的值及此时直线PQ的解析式；

（4）当a为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与相似？当a 为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与不相似？请给出你的结论，并加以证明.

9、（湖北荆门）如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．

(1)设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；

(2)如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；

(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．

解：(1)由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，则∠BPE=90°．∴∠OPE＋∠APB=90°．又∠APB＋∠ABP=90°，∴∠OPE=∠PBA．

∴Rt△POE∽Rt△BPA．…………………………………………………………2分

∴．即．∴y= (0＜x＜4)．

且当x=2时，y有最大值．…………………………………………………4分

(2)由已知，△PAB、△POE均为等腰三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)．……6分

设过此三点的抛物线为y=ax2＋bx＋c，则∴

y=．…………………………………………………………8分

(3)由(2)知∠EPB=90°，即点Q与点B重合时满足条件．……………………9分

直线PB为y=x－1，与y轴交于点(0，－1)．

将PB向上平移2个单位则过点E(0，1)，

∴该直线为y=x＋1．……………………………………………………………10分

由得∴Q(5，6)．

故该抛物线上存在两点Q(4，3)、(5，6)满足条件．……………………………12分

中考易错题集锦

1．如图，矩形中， cm， cm，点为边上的任意一点，四边形也是矩形，且，则          ．

2 ．5月23日8时40分，哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区进发，途中除3次因更换车头等原因必须停车外，一路快速行驶，经过80小时到达成都．描述上述过程的大致图象是（    ）

3   如图，将沿折叠，使点与边的中点重合，下列结论中：①且；②；

③；

④，正确的个数是（    ）

A．1        B．2        C．3        D．4

4  如图，在四边形ABCD中，动点P从点A开始沿A   B    C    D

的路径匀速前进到D为止。在这个过程中，△APD的面积S随时间t的变

化关系用图象表示正确的是（   ）

5如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合.展开后，折痕DE分别交AB、AC于点E、G.连接GF.下列结论：①∠AGD=112.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD=S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG.其中正确结论的序号是                .

6  福娃们在一起探讨研究下面的题目：

函数（为常数）的图象如左图，

如果时，；那么时，

函数值（    ）

A．        B．        

C．        D．

参考下面福娃们的讨论，请你解该题，你选择的答案是（    ）

贝贝：我注意到当    

时，．

晶晶：我发现图象的对

称轴为．

欢欢：我判断出．

迎迎：我认为关键要判断的符号． 

妮妮：可以取一个特殊的值． 

7  正方形中，是边上一点，以为圆心、为半径的半圆与以为圆心，为半径的圆弧外切，则的值为（    ）

A．        B．       C．        D． 

8  一个函数的图象如图，给出以下结论：

①当时，函数值最大；

②当时，函数随的增大而减小；

③存在，当时，函数值为0．

其中正确的结论是（    ）A．①②        B．①③        C．②③        D．①②③

9．函数在同一直角坐标系内的图象大致是       （      ）

10  如图，水平地面上有一面积为的扇形AOB，半径OA=，且OA与地面垂直.在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止，则O点移动的距离为（    ）A、B、  C、  D、

11   在Rt△ABC内有边长分别为的三个正方形，则满足的关系式是（   ） 

A、    B、C、   D、

12  古尔邦节，6位朋友均匀地围坐在圆桌旁共度佳节．圆桌半径为60cm，每人离圆桌的距离均为10cm，现又来了两名客人，每人向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使8人都坐下，并且8人之间的距离与原来6人之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．设每人向后挪动的距离为x，根据题意，可列方程（　　）

A．            

B．

C．            

D．

13   如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，

则该半圆的半径为（　 　）．

A．  cm       B．  9 cm   C． cm    D． cm

14  如图，为的四等分点，动点从圆心出发，沿路线作匀速运动，设运动时间为（s）．，则下列图象中表示与之间函数关系最恰当的是（    ）

15  如图，边长为的正内有一边长为的内接正

，则的内切圆半径为                ．

16   如图，⊙O的半径为2，点A的坐标为（2，），直线AB为⊙O的切线，

B为切点．则B点的坐标为   

A．　　　B．      C．   D．  

17 如图，将边长为1的正三角形沿轴正方向连续翻转2008次，点依次落在点的位置，则点的横坐标为        ．

18  如图①，，，，为四个等圆的圆心，A，B，C，D为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是             ；如图②，，，，，为五个等圆的圆心，A，B，C，D，E为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是             ．

19  课题研究小组对附着在物体表面的三个微生物（课题小组成员把他们分别标号为1，2，3）的生长情况进行观察记录．这三个微生物第一天各自一分为二，产生新的微生物（分别被标号为4，5，6，7，8，9），接下去每天都按照这样的规律变化，即每个微生物一分为二，形成新的微生物（课题组成员用如图所示的图形进行形象的记录）．那么标号为100的微生物会出现在（    ）

A．第3天        B．第4天        C．第5天        D．第6天

20如图所示，AB是⊙O的直径，AD＝DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有　　

A．2个      B．3个     C．4个       D．5 个  

21.有一个附有进出水管的容器，每单位时间进、出的水量

都是一定的.设从某一时刻开始5分钟内只进水不出水，在接着的2分钟内只出水不进水，又在随后的15分钟内既进水又出水，刚好将该容器注满.已知容器中的水量y升与时间x分之间的函数关系如图所示.则在第7分钟时，容器内的水量为      升.A.15      B.16     C.17      D.18

21.如图，⊙O1、⊙O2内切于P点，连心线和⊙O1、⊙O2分别交于A、B两点，过P点的直线与⊙O1、⊙O2分别交于C、D两点，若∠BPC=60º，AB=2，则CD=    . 

A.1          B.2         C.         D. 

22.已知:如图所示,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=-1，与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，且OB=OC，

则下列结论正确的个数是      . ①b=2a   ②a-b+c>-1 ③0A.1个      B.2个     C.3个       D.4个

23.已知:如图,∠ACB=90º,以AC为直径的⊙O交AB于D点，过D作⊙O的切线交BC于E点，EF⊥AB于F点，

连OE交DC于P，则下列结论:其中正确的有     .

①BC=2DE；           ②OE∥AB;         ③DE=PD；         ④AC•DF=DE•CD. 

A.①②③    B.①③④   C.①②④    D.①②③④

24   已知:如图，直线MN切⊙O于点C，AB为⊙O的直径，

延长BA交直线MN于M点，AE⊥MN，BF⊥MN，E、F

分别为垂足，BF交⊙O于G，连结AC、BC，过点C作

CD⊥AB，D为垂足,连结OC、CG.

下列结论：其中正确的有     .

①CD=CF=CE；        ②EF2=4AE•BF;

③AD•DB=FG•FB；     ④MC•CF=MA•BF. 

A.①②③   B.②③④   C.①③④  D.①②③④

25  如图，M为⊙O上的一点,⊙M与⊙O相交于A、

B两点，P为⊙O上任意一点，直线PA、PB分别交

⊙M于C、D两点，直线CD交⊙O于E、F两点，连

结PE、PF、BC，下列结论：其中正确的有     .

①PE=PF；  ②PE2=PA·PC;  ③EA·EB=EC·ED；

④（其中R、r分别为⊙O、⊙M的半径）. 

A.①②③    B.①②④   C.②④    D.①②③④

1  如图，菱形中，，，将菱形

绕点按顺时针方向旋转，则图中由，，， 

围成的阴影部分的面积是        ．

1  9     2D  3B   4B   5（1，4，5）  6 C   7D    8 C   9 C   10 C   11 A   12 A    13C  14 C

15．  16D   17 2008  

18   18．，，如图①  （提示：答案不惟一，过与交点O的任意直线都能将四个圆分成面积相等的两部分）；

，，如图②  （提示：答案不惟一，如，，，等均可）．

19 C 

20 D    25