1.（重庆八中高2010级高三（上）第一次）已知在数列中，，其中，
是函数的一个极值点.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，求证：.
解答. (1) 由题意得： ，即
故，则当时，数列是以
为首项，为公比的等比数列，所以 由
此式对也成立，所以――――――――6分
（2），因为，所以，
则 ，有
故
―――――――12分
2.（南充高中2010届高三第二次）已知函数
f(x)=，其中n．
（1）求函数f(x)的极大值和极小值；
（2）设函数f(x)取得极大值时x=，令=23，=，若
p≤ =。……2分 令 ，从而x1 当n为奇数时f(x)的增减如下表 （2）由（1）知f(x)在x=时取得最大值。所以=， =23=， =。 ，即； 所以实数p和q的取值范围分别是，。……14 3.(2010届扬州市高三数学学情调研测试) 已知数列，设 ，数列。 （1）求证：是等差数列； （2）求数列的前n项和Sn； （3）若一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围。 解答：（1）由题意知， ∴数列的等差数列 （2）由（1）知， 于是 两式相减得 （3） ∴当n=1时， 当∴当n=1时，取最大值是 又 即 4.(安徽省野寨中学2010届高三第二次)已知函数. （1）若在[0，2]上是增函数，是方程的一个实根，求证：； （2）若的图象上任意不同两点的连线斜率小于1，求实数的取值范围. 解答：（1） 由题可知在[0，2]上恒成立. 当时此式显然成立，； 当时有恒成立，易见应当有， 可见在[0，2]上恒成立，须有 又 （2）设是图象上的两个不同点，则 此式对于恒成立，从而 此式对于也恒成立，从而 注：用导数方法求解略，按相应步骤给分. 5.(衡阳市八中2010届高三第二次数学（理科）设函数＞， (1) 求函数的极大值与极小值； (2) 若对函数的，总存在相应的，使得成立，求实数a的取值范围. 解答(1)定义域为R ∴：极大值为，极小值为 (2)依题意，只需在区间上有 ∴在↑，↓取小值或 又 ∴当＜＜时，当时， 又在↓ ∴ 式即为 ＜＜ 或 ＜＜ 解的 （无解） ∴ 6.(辽宁省东北育才学校2010届高三第一次模拟（数学理） 已知函数 （Ⅰ）为定义域上的单调函数，求实数的取值范围； （Ⅱ）当时，求函数的最大值； （Ⅲ）当时，且，证明：. 解答：（1）， ∴ 因为对，有 ∴不存在实数使，对恒成立 ………2分 由恒成立，∴， 而，所以 经检验，当时，对恒成立。 ∴当时，为定义域上的单调增函数 ………4分 （2）当时，由，得 当时，，当时， ∴在时取得最大值，∴此时函数的最大值为 ………7分 （3）由（2）得，对恒成立，当且仅当时取等号 当时，，∵， ∴ ∴ 同理可得 ， ∴ ………12分 法二：当时（由待证命题的结构进行猜想，辅助函数，求差得之），在上递增 令 在上总有，即在上递增 当时， 即 令由（2）它在上递减 ∴ 即 ∵ ∴，综上成立 ………12分 其中 7.(银川一中2010届高三年级第二次) 已知 （Ⅰ）当且有最小值为2时，求的值； （Ⅱ）当时，有恒成立，求实数的取值范围 解答（1）= 又， 当，解得 当， 解得，舍去 所以 （2），即 ，，，， ，依题意有 而函数 因为，，所以 8.(广东省广州市2010届第二次调研数学试题（理科） 等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上. （1）求r的值； （11）当b=2时，记 求数列的前项和 解答:因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得, 当时,, 当时,, 又因为{}为等比数列, 所以, 公比为, 所以 （2）当b=2时，, 则 相减,得 所以 9.(广东省广州市2010届第二次调研数学试题（理科） .设函数有两个极值点，且 （I）求的取值范围，并讨论的单调性； （II）证明： 解答: （I） 令，其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得 ⑴当时，在内为增函数； ⑵当时，在内为减函数； ⑶当时，在内为增函数； （II）由（I）， 设， 则 ⑴当时，在单调递增； ⑵当时，，在单调递减。 故． www.ks5u.com w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 10(湖北黄冈中学2010届8月份月考数学试题（理科）已知是定义在[-1,1]上的奇函数，且，若任意的，当时，总有． （1）判断函数在[-1,1]上的单调性，并证明你的结论； （2）解不等式：； （3）若对所有的恒成立，其中（是常数），求实数的取值范围． 解答（1）在上是增函数，证明如下： 任取，且，则，于是有，而，故，故在上是增函数； （2）由在上是增函数知： ， 故不等式的解集为． （3）由（1）知最大值为，所以要使对所有的恒成立，只需成立，即成立． ①当时，的取值范围为； ②当时，的取值范围为； ③当时，的取值范围为R． w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 11.(湖北黄冈中学2010届8月份月考数学试题（理科）已知 （1）若函数时有相同的值域，求b的取值范围； （2）若方程在（0，2）上有两个不同的根x1、x2，求b的取值范围，并证明 解答（1）当时，的图象是开口向上对称轴为的抛物线， ∴的值域为，∴的值域也为的充要条件 是， 即b的取值范围为 （2），由分析知 不妨设 因为上是单调函数，所以在上至多有一个解. 若，即x1、x2就是的解，，与题设矛盾. 因此，由，所以； 由所以 故当时，方程上有两个解. 由消去b，得 由 12.(湖北省黄冈中学2010届高三10月份) 已知数列中，，且． (Ⅰ) 求数列的通项公式； (Ⅱ) 令，数列的前项和为，试比较与的大小； (Ⅲ) 令，数列的前项和为．求证：对任意， 都有 ． 解：(Ⅰ)由题知， ， 由累加法，当时， 代入，得时， 又，故． ．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （II）时，． 方法1：当时，；当时，； 当时，． 猜想当时，． ．．．．．．．．．．．．．．．．6分 下面用数学归纳法证明： ①当时，由上可知成立； ②假设时，上式成立，即. 当时，左边 ，所以当时成立． 由①②可知当时,． 综上所述：当时,；当时, ； 当时,． ．．．．．．．．．．．．．．．10分 方法2： 记函数 所以 ．．．．．．．．．6分 则 所以． 由于，此时； ，此时； ，此时； 由于，，故时，，此时． 综上所述：当时，；当时,． ．．．．．．．．．．．10分 （III） 当时， 所以当时 ＋． 且 故对，得证． ．．．．．．．．．．．．．．．．．14分 13.(湖北省部分重点高中2010届高三联考（数学理）已知二次函数（为常数且），满足条件，且方程有等根． (Ⅰ)求的解析式； (Ⅱ)设的反函数为,若对恒成立，求实数的取值范围； (Ⅲ)是否存在实数，使的定义域和值域分别为和，如果存在，求出 的值，如果不存在，说明理由． 解：(Ⅰ) ∵，∴ ，又方程有等根 有等根， ∴ …………………3分 （Ⅱ）由（I）得 ． ………………5分 对恒成立对 ， 解得 的取值范围是 ………………9分 （Ⅲ）∵为开口向下的抛物线，对称轴为， 1 当时，在上是减函数，∴ (*)， 两式相减得：，∵，上式除以得：，代入 (*) 化简得：无实数解． 2 当时，在上是增函数，∴ ， 3 当时，对称轴，与矛盾综合上述知，存在满足条件． …………………13分 14. (湖北省部分重点高中2010届高三联考（数学理已知函数（其中为自然对数的底数），。 （Ⅰ）若在处的切线与直线平行，试用表示，并求此时在上的最大值； （Ⅱ）若时方程在上恰有两个相异实根，求的取值范围； （Ⅲ）在，时,求使的图象恒在图象上方的最大自然数。 解：（Ⅰ），，由得，………2分 此时， ①当时，，在上为增函数，则此时； ②当时，，在上为增函数，故在上为增函数，则此时； ③当时，，在上为增函数，在上为减函数， 若，即时，故在上为增函数，在上为减函数，则此时， 若，即时，在上为增函数，则此时； 综上所述：当时；当时； ………………6分 （Ⅱ），，故在上单调递减；在上单调递增；故在上恰有两个相异实根，………10分 （Ⅲ）恒成立（），因为故在上单调递减；在上单调递增；故（）， 设，则，故在上单调递增；在上单调递减； 而，且， 故存在使，且时，时，又 故时使的图象恒在图象的上方的最大自然数； ………14分 15.(湖北省荆州中学2010届高三九月数学卷（理科） 如果是函数的一个极值，称点是函数的一个极值点.已知函数 （1）若函数总存在有两个极值点，求所满足的关系； （2）若函数有两个极值点，且存在，求在不等式表示的区域内时实数的范围. （3）若函数恰有一个极值点，且存在，使在不等式表示的区域内，证明：. 解：（1） 令得 又 ………………3分 （2）在有两个不相等的实根. 即 得 ………………7分 （3）由① ①当在左右两边异号 是的唯一的一个极值点 由题意知 即 即 存在这样的的满足题意 符合题意 ………………9分 ②当时，即 这里函数唯一的一个极值点为 由题意 即 即 ………………………………13分 综上知：满足题意 的范围为. ……………………………14分 16.(湖南省师大附中2010届高三第二次数学理试题 21.(本小题满分13分) 已知数列是首项为，公差为的等差数列，是首项为，公比为的等比数列，且满足，其中. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若数列与数列有公共项，将所有公共项按原顺序排列后构成一个新数列，求数列的通项公式； （Ⅲ）记（Ⅱ）中数列的前项之和为，求证： . 【解】（Ⅰ）由题设. （1分） 由已知，所以.又b＞0，所以a＜3. （2分） 因为，则.又a＞0，所以b＞2，从而有. （3分） 因为，故. （4分） （Ⅱ）设，即. （5分） 因为，则，所以. （6分） 因为，且b∈N*，所以，即，且b＝3. （7分） 故. （8分） （Ⅲ）由题设，. （9分） 当时，，当且仅当时等号成立，所以. （11分） 于是. （12分） 因为S1＝3，S2＝9，S3＝21，则 . (13分) 17.(湖南师大附中2010届高三第三次试卷) 如图，在以点O为圆心，AB为直径的半圆中，D为半圆弧的中点， P为半圆弧上一点，且AB＝4，∠POB＝30°，双曲线C以A，B为焦点且经过点P. （Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求双曲线C的方程； （Ⅱ）设过点D的直线l与双曲线C相交于不同两点E、F， 若△OEF的面积不小于2，求直线l的斜率的取值范围. 【解】（Ⅰ）方法一：以O为原点，AB、OD所在直线分别 为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则 点A(－2，0），B(2，0），P(，1). （2分） 设双曲线实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则 2a＝｜PA｜－｜PB｜＝，2c＝|AB|＝4. （3分） 所以a＝，c＝2，从而b2＝c2－a2＝2. （4分） 故双曲线C的方程是. （5分） 方法二：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则 点A(－2，0），B(2，0），P(，1). （2分） 设双曲线C的方程为＞0，b＞0），则. （3分） 解得a2＝b2＝2，故双曲线C的方程是 （5分） (Ⅱ)据题意可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程得，，即 (1－k2)x2－4kx－6＝0. （6分） 因为直线l与双曲线C相交于不同两点E、F，则 即 （7分） 设点E(x1，y1），F(x2，y2)，则x1＋x2＝. （8分） 所以｜EF｜＝ ＝ 分） 又原点O到直线l的距离d＝. （10分） 所以S△DEF= （11分）因为S△OEF，则（12分） 综上分析，直线l的斜率的取值范围是[－，－1)(－1，1)(1，]. （13分）
所以当x=时，y极大=；当x=1时，y极小=0. ……5分x （-∞，0） 0 （0，） （，1） 1 （0，+∞） + 0 + 0 — 0 + 无极值 极大值 极小值
所以当x=时，y极大=。……8分x （-∞，0） 0 （0，） （，1） 1 （0，+∞） + 0 + 0 — 0 — 无极值 极大值 无极值
令，且 -3 — 0 + 0 — ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
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