2009年浙江省高等数学(微积分)竞赛试题及参

（文专类）

一、计算题（每小题12分，满分60分）

1.求极限

解  ===

==

2．计算不定积分

解==

3．设，求

解

=

4．设，，求此曲线的拐点

解， 

， 

令得

当时，，

当时，，

当时，，

因此拐点为

5．已知极限，求常数的值

解== =1

于是， 

由，得

   另解

                          ＝1

二、（满分20分）设，证明：当时， 

证 设

则，，

由且，知当时，。

又设

则，

所以,

从而,不等式得证.

三、（满分20分）设，求的最小值

证  当时，，，故当时单调增加；

当时，，故当时单调减少； 

    当时， 

，

=。

由得。当时，，当时，， 

故是的极小值点，又

=，故的最小值为 

四、（满分20分）

=

五、（满分15分）设，证明：

（1）为偶函数；（2）

证 （1）

（2）=

六、（满分15分）设为连续函数，且，证明在上方程有唯一解

证  设，

则在上连续，在内可导， 

，当时，，是方程的解；

当时，，由零点定理，得至少存在一点使，即方程至少有一解。

又，故在上严格单调递增，因此在上方程有唯一解