2019-2020学年辽宁省沈阳市郊联体高一上学期期末考试数学试题解析

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A．    B．    C．[0，3]    D．[0.1]

答案：C

解二次不等式，得到集合A,利用被开方数大于等于0，求得B,然后根据交集的定义求解.

解：

，即，解得，,

要使有意义，则，,

,

故选C.

点评：

本题考查集合的交集，涉及一元二次不等式的解法和函数的定义域，属基础题，难度较易.

2．“”是“”的

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件    C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

答案：B

因但．

3．已知，则（    ）

A．13    B．1    C．    D．

答案：C

由于向量的坐标已知，所以直接利用公式求的模.

解：

解：因为，

所以，

故选：C

点评：

此题考查的是已知向量的坐标求向量的模，属于基础题.

4．某饮料公司在对全世界所有人均（即人均纯收入）在0.5~8千美元的地区销售该公司饮料的情况调查时发现：该饮料在人均处于中等地区的年人均销售量最大，然后向两边递减．下列几个模拟函数中用哪个模拟函数来描述人均饮料销售量与地区的人均关系更合适？（表示人均，单位：千美元，表示年人均饮料的销售量，单位：L）（    ）

A．    B．

C．且    D．且

答案：A

根据题意，分析选项四个函数的单调性即可判断.

解：

解：因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销量最多，然后向两边递减，所以用来模拟比较合适，故选项正确.而选项表示的函数在区间上是单调函数，所以不合适.

故选：.

点评：

本题考查数学建模，理解不同函数模型的实际含义，解题关键是实际问题数学化，属于基础题.

5．已知，则下列不等式成立的是（    ）

A．    B．    C．    D．

答案：D

举特例分析可否定ABC,利用指数函数的性质可判定D成立.

解：

当时，满足但是,故A错误；

同时,故B错误；

无意义，故C错误；

由于函数是R上的单调减函数，时有成立，故D正确.

故选D.

点评：

本题考查不等式的基本性质，比较大小，涉及指数、对数函数的性质，属基础题，难度较易.

6．已知幂函数的图象关于轴对称，且与轴、轴均无交点，则的值为（    ）

A．    B．0    C．1    D．2

答案：C

利用幂函数的性质可得，且为偶数，，解出即可．

解：

由题意可得：且为偶数，， 

解得，且为偶数，， 

∴． 

故选：C．

点评：

本题考查了幂函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

7．已知，，，则、、的大小关系为（    ）

A．    B．    C．    D．

答案：D

利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与和的大小关系，由此可得出、、的大小关系.

解：

对数函数为上的减函数，则，即；

指数函数为上的减函数，则；

对数函数为上的增函数，则.

因此，.

故选：D.

点评：

本题考查指数式与对数式的大小比较，一般利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题.

8．某同学参加数学知识竞赛，需回答3个问题，假设这名同学答对第一个问题的概率为0.8，答对第二个问题的概率为0.7，答对第三个问题的概率为0.6，且各题答对与否相互之间没有影响，则这名同学至少答对一道题的概率为（    ）

A．0.976    B．0.6    C．0.024    D．0.336

答案：A

记这名同学答对第一个问题为事件，答对第二个问题为事件，答对第三个问题为事件，则这名同学至少答对一道题为事件，根据事件的乘法公式和对立事件的概率公式可得结果.

解：

记这名同学答对第一个问题为事件，答对第二个问题为事件，答对第三个问题为事件，则这名同学至少答对一道题为事件，且事件、、相互，

则，，，

所以

.

故选：A.

点评：

本题考查了事件的乘法公式和对立事件的概率公式，属于基础题.

9．已知函数（且）在区间上是减函数，则实数的取值范围是（    ）

A．    B．    C．    D．

答案：B

令，可知内层函数在区间上为减函数，则外层函数为增函数，结合对任意的恒成立可求得实数的取值范围.

解：

令，由于且，内层函数在区间上为减函数，

所以，外层函数为增函数，则有，

由题意可知，不等式对任意的恒成立，，解得.

综上所述，实数的取值范围是.

故选：B.

点评：

本题考查利用指数型复合函数的单调性求参数，解题时要注意偶次根式被开方数在所给的区间上恒为非负数的，考查计算能力，属于中等题.

10．函数的图象大致是（    ）

A．    B．

C．    D．

答案：B

通过函数在处函数有意义，在处函数无意义，可排除A、D；通过判断当时，函数的单调性可排除C，即可得结果.

解：

当时，，函数有意义，可排除A；

当时，，函数无意义，可排除D；

又∵当时，函数单调递增，

结合对数函数的单调性可得函数单调递增，可排除C；

故选：B.

点评：

本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.

11．已知函数的值域为，那么实数的取值范围是（    ）

A．    B．[-1，2）    C．（0，2）    D．

答案：B

先求出函数的值域，而的值域为，进而得，由此可求出的取值范围.

解：

解：因为函数的值域为，而的值域为，

所以，解得，

故选：B

点评：

此题考查由分段函数的值域求参数的取值范围，分段函数的值域等于各段上的函数的值域的并集是解此题的关键，属于基础题.

12．已知定义在上的奇函数，满足，当时，，则函数在区间上的所有零点之和为（    ）

A．    B．    C．    D．

答案：D

推导出函数是周期为的周期函数，且该函数的图象关于直线对称，令，可得出，转化为函数与函数图象交点横坐标之和，数形结合可得出结果.

解：

由于函数为上的奇函数，则，，

所以，函数是周期为的周期函数，且该函数的图象关于直线对称，

令，可得，则函数在区间上的零点之和为函数与函数在区间上图象交点横坐标之和，如下图所示：

由图象可知，两个函数的四个交点有两对关于点对称，

因此，函数在区间上的所有零点之和为.

故选：D.

点评：

本题考查函数零点之和，将问题转化为两个函数的交点，结合函数图象的对称性来求解是解答的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.

二、填空题

13．福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01，02，03，…，32，33，这33个两位号码中选取，小明利用如图所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方式是从第1行第9个数字开始，从左到右依次选取2个数字，则第四个被选中的红色球号码是______

答案：16

从第1行第9个数字6开始，依次取两位数码，根据是否在01到33中来判断是否选中，从而可得第四个被选中的红色球号码.

解：

从第1行第9个数字6开始依次取两位数码，符合要求的前4个数码依次为：17,12,33,16，

故第四个被选中的红色球号为16：

故答案为：16.

点评：

本题考查随机数表，利用该表进行随机抽样时，注意按规则抽取即可，本题属于基础题.

14．已知，，则的最小值为______

答案：4

根据绝对值不等式可求的最小值.

解：

因为，当且仅当或时等号成立.

所以的最小值为4.

故答案为：4.

点评：

本题考查绝对值不等式的应用，绝对值不等式指及，我们常利用它们求含绝对值符号的代数式的最值，注意等号成立的条件.

15．已知是奇函数，当时，，若，则______

答案：2

由题意结合奇函数的性质可得，再由对数的运算性质即可得解.

解：

因为是奇函数，当时，，，

所以，即，

所以，解得.

故答案为：.

点评：

本题考查了函数奇偶性的应用，考查了对数运算性质的应用及运算求解能力，属于基础题.

16．设函数，对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是______

答案：

把不等式恒成立，转化为在恒成立，利用基本不等式求得的最小值，进而得到，结合一元二次不等式的解法，即可求解.

解：

由题意，函数，

因为对于，不等式恒成立，

即在恒成立，

即在恒成立，

又由，当且仅当，即时，等号成立，

所以，即，即，

解得或，即实数的取值范围是.

故答案为：.

点评：

本题主要考查了不等式的恒成立问题，一元二次不等式的解法，以及基本不等式求最值的综合应用，着重考查转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.

三、解答题

17．在平行四边形中，，

（1）若为上一点，且，用基底表示；

（2）若，，且与平行，求实数的值.

答案：（1）；（2）．

（1）根据三角形法则和共线定理即可求出结果；

（2）首先根据坐标运算求出与的坐标表示，再根据平面向量平行的坐标运算公式，列出关于方程，即可求出结果.

解：

解：（1）

（2）因为，

所以

由于

则

所以.

点评：

本题主要考查了平面向量的三角形法则、共线定理、以及平面向量坐标运算再向量平行中的应用，属于基础题.

18．农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从种植有甲、乙两种麦苗的两块试验田中各抽取6株麦苗测量株高，得到的数据如下（单位：）：

甲：9，10，11，12，10，20

乙：8，14，13，10，12，21

（1）用茎叶图表示这些数据：

（2）分别计算两组数据的中位数、平均数与方差，并由此估计甲、乙两种麦苗株高的平均数及方差．

答案：（1）答案见解析；（2）两组数据中甲种麦苗株高的中位数为，平均数为12，方差为；乙种麦苗株高的中位数为，平均数为13，方差为；由此估计甲种麦苗株高的平均数为12，方差为，乙种麦苗株高的平均数为13，方差为．

（1）直接由已知数据画茎叶图即可；

（2）由于每组有6个数，所以中位数为最中间两个数的平均数，平均数和方差直接利用公求解，然后利用样本估计总体的情况

解：

解：（1）茎叶图如图所示

（2）甲种麦苗株高的中位数

甲种麦苗株高的平均数

甲种麦苗株高的方差

乙种麦苗株高的中位数

乙种麦苗株高的平均值

乙种麦苗株高的方差

由此估计甲种麦苗株高的平均数为12，方差为，

乙种麦苗株高的平均数为13，方差为

点评：

此题考查了茎叶图，利用样本的中位数、平均数、方差来估计总体的情况，属于基础题.

19．是定义在上的奇函数，且

（1）求，的值；

（2）判断函数的单调性（不需证明），并求使成立的实数的取值范围.

答案：（1），；（2）是定义在上的奇函数；的取值范围是[0，1)．

（1）由于是定义在上的奇函数，且，可得，从而可求出，的值，或利用奇函数的定义先求出的值，再用求出的值；

（2）由于为奇函数，所以可化为，

利用函数在上为增函数可得，再结合和可求出的取值范围.

解：

解：（1）法一：是定义在上的奇函数，

则，得，解得，

经检验，时，是定义在上的奇函数，

法二：是定义在上的奇函数，

则，

即，则，

所以，又因为，得，

所以，.

（2）由（1）知，在上是增函数，

又因为是定义在上的奇函数，

由，

得，

所以，即①，

又，即②，

，即③，

由①②③得解得．故的取值范围是[0，1).

点评：

此题考查奇函数的性质，函数的单调性，利用奇函数的性质和单调性解不等式，属于中档题.

20．某市为了了解校园安全教育系列活动的成效，对全市高中生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化，现随机抽取部分高中生的答卷，统计结果如下，对应的频率分布直方图如图所示．

（1）求、的值；

（2）估计该市高中生测试成绩评定等级为“合格”的概率；

（3）在抽取的答卷中，用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的答卷中抽取5份，再从这5份答卷中任取2份，求恰有1份评定等级为“不合格”的概率

答案：（1），；（2）；（3）．

（1）先由图表求出样本容量，从而可求出的值，再利用频率=频数/样本容量，求出[40，60）的频率，再除以组距20就得到的值；

（2）用60分以上的频数除以样本容量可得到等级为“合格”的频率，用此频率来估计概率即可；

（3）先分层抽样的性质求出评定等级为“合格”和“不合格”的答卷各为3份，2份，然后列出从5份中抽取2份的所有可能，进而可求出所求的概率.

解：

解：（1）由表格可知样本容量为

所以，即

由，即

（2）（或）

由此估计该市高中生测试成绩等级为“合格”的概率是

（3）合格的有72人、不合格的有48人抽样比

故从评定等级为“合格”的答卷中抽取的份数为，记为、、

从评定等级为“不合格”的答卷中抽取的份数为，记为、

则从5份答卷中抽取2份，基本事件

共10个基本事件

记事件：恰有1份评定等级为“不合格”

共6个基本事件

则从这5份答卷中抽取2份，恰有1份评定等级为“不合格”的概率为

点评：

此题考查了频率分布直方图的应用问题，考查了用频率估计概率，考查了列举法计算基本事件数和发生的概率，属于基础题.

21．已知在区间上的最大值为，最小值为.

（1）求的表达式；

（2）设，若，不等式成立，求的取值范围．

答案：（1）；（2）．

（1）先求出二次函数的对称轴方程，然后根据开口方向讨论其单调性，由最大最小值确定出的值；

（2）由（1）结果先化简出表达式，根据已知条件转化为求函数的最大值问题，利用换元法即可求出函数的最大值，即得到的取值范围.

解：

解：（1）的对称轴为.

当时，在上为增函数，

则即解得，故.

当时，在上为减函数，

则即解得，由于，所以这组解舍去.

综上，.

（2）

若，不等式成立，即成立

即.

令，则，，当时，，故.

即的取值范围为.

点评：

本题考查二次函数的单调性、不等式恒成立问题，关键在于不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，属于中档题.

22．已知且

（1）求函数的定义域及其零点；

（2）若关于的方程在区间[0，1）内有解，求实数的取值范围．

答案：（1）定义域为，零点为0；（2）分类讨论，答案见解析．

（1）求定义域要求真数大于0，列不等式组可得结果，求零点令函数值为0，解方程可在定义域内得函数的零点；

（2）利用函数零点（方程有根)求参数范围问题，可构造新函数，转化为两个函数有交点问题，也可利用函数的单调性，确定参数的取值范围.

解：

解：（1）由得，

故的定义域为，

由，即，

得，

得，

解得或，

由于，故的零点为0；

（2）方法一：

在区间[0，1）内有解，即， 

令，，，在（0，1]为减函数，

则，即，

当时，，

时，；

方法二：

由方程在区间[0，1）内有解，即与在有交点，

．令，，，

在（0，1]为减函数，，，

当时，，即，

∴，

当时，，即，

∴；

方法三：

，

当时，在[0，1）上为增函数，此时，故此时

当时，在[0，1）上为减函数，此时，故此时，

综上时，，时.

点评：

本题考查求函数的定义域及其零点，利用函数零点（方程有根)求参数范围，考查运算求解能力、转化与化归思想、分类与整合思想，是难题.