2023年新高考二卷数学(含答案详解)

2023年全国新高考Ⅱ卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 在复平面内，()()13i 3i +−对应的点位于（ ）

．

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象

限

2. 设集合{}0,A a =

−，{}1,2,22B a a =−−，若A B ⊆

，则=a （ ）．

A. 2

B. 1

C.

2

3

D. 1−

3. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）． A 45

15

400200C C ⋅种

B. 2040

400200C C ⋅种 C 30

30

400200C C ⋅种

D. 40

20

400200C C ⋅种

4. 若()()21

ln

21

x f x x a x −=++为偶函数，则=a （ ）． A. 1−

B. 0

C.

12

D. 1

5. 已知椭圆2

2:13

x C y +=

的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于A ，B 两点，若1F AB △ 面积是2F AB △ 面积的2倍，则m =（ ）． A.

2

3

B.

C. D. 23

−

6. 已知函数()e ln x

f x a x =−在区间()1,2上单调递增，则a 的最小值为（ ）．

A. 2e

B. e

C. 1e −

D. 2e −

7. 已知α

为锐角，cos α=，则sin 2α=（ ）．

A.

B.

C.

D.

8. 记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =−，6221S S =，则8S =（ ）．

..

B. 85

C. 85−

D. 120−

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，AB 为底面直径，120APB ∠=°，2PA =，点C 在底面圆周上，且二面角P AC O −−为45°，则（ ）． A. 该圆锥的体积为π B.

该圆锥的侧面积为

C. AC =

D. PAC △

10. 设O

为坐标原点，直线)1y x −过抛物线()2

:20C y px p =

>的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则（ ）． A 2p =

B. 8

3

MN =

C. 以MN 为直径的圆与l 相切

D. OMN 为等腰三角形

11. 若函数()()2

ln 0b c

f x a x a x x =+

+≠既有极大值也有极小值，则（ ）． A. 0bc >

B. 0ab >

C. 280b ac +>

D. 0ac <

12. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互．发送0时，收到1的概率为

(01)αα<<，收到0的概率为1α−；发送1时，收到0的概率为(01)ββ<<，收到1

的概率为1β−. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.

A. 采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l ，0，1的概率为

2(1)(1)αβ−−

B. 采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)ββ−

C. 采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为23(1)(1)βββ−+−

D. 当00.5α<<时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知向量a ，b

满足a b −=

，2a b a b +=− ，则b = ______． 14. 底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．

15. 已知直线:10l x my −+=与()2

2:14C x y −+= 交于A ，B 两点，写出满足“ABC

的.

面积为

8

5

”的m 的一个值______． 16. 已知函数

()()sin f x x ωϕ=+，如图A ，B 是直线1

2

y =与曲线()y f x =的两个交点，若π

6

AB =

，则()πf =______．

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABC

，D 为BC 中点，且1AD =．

（1）若π

3

ADC ∠=，求tan B ； （2）若228b c +=，求,b c ．

18. {}n a 为等差数列，6,2,n n n a n b a n − = 为奇数

为偶数

，记n S ，n T 分别为数列{}n a ，{}n b 的前n

项和，432S =，316T =． （1）求{}n a 的通项公式； （2）证明：当5n >时，n n T S >．

19. 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

的

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于c 的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为

()p c ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q c ．假设数据在组内均匀分布，

以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．

（1）当漏诊率()0.5p c =％时，求临界值c 和误诊率()q c ； （2）设函数()

()()f c p c q c =+，当[]95,105c ∈时，求()f c 的解析式，并求()f c 在

区间[]95,105的最小值．

20. 如图，三棱锥A BCD −中，DA DB DC ==，BD CD ⊥，

60ADB ADC ∠=∠= ，E 为BC 的中点．

（1）证明：BC DA ⊥；

（2）点F 满足EF DA =

，求二面角D AB F −−的正弦值．

21. 已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为()

−

（1）求C 的方程；

（2）记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点()4,0−的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点P ．证明:点P 在定直线上. 22. （1）证明：当01x <<时，sin x x x x 2−<<； （2）已知函数()(

)2

cos ln 1f x ax x

=−−，0x =是()f x 极大值点，求a 的取值范围。

2023年全国新高考Ⅱ卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 在复平面内，()()13i 3i +−对应的点位于（ ）

．

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象

限 【答案】A 【解析】

【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断. 【详解】因为()()2

13i 3i 38i 3i 68i +−=+−=+，

则所求复数对应的点为()6,8，位于第一象限. 故选：A.

2. 设集合{}0,A a =

−，{}1,2,22B a a =−−，若A B ⊆

，则=a （ ）．

A. 2

B. 1

C.

2

3

D. 1−

【答案】B 【解析】

【分析】根据包含关系分20a −=和220a −=两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为A B ⊆，则有：

若20a −=，解得2a =，此时{}0,2A =

−，{}1,0,2B =，不符合题意；

若220a −=，解得1a =，此时{}0,1A =

−，{}1,1,0B

=−，符合题意； 综上所述：1a =. 故选：B.

3. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）． A. 4515

400200C C ⋅种 B. 2040

400200C C ⋅种 C. 3030

400200C C ⋅种 D. 40

20

400200C C ⋅种

【答案】D 【解析】

【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.

【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取400

6040600

×

=人，高中部共抽取200

6020600

×

=， 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有40

20

400200C C ⋅种. 故选：D. 4. 若()()21

ln

21

x f x x a x −=++为偶函数，则=a （ ）． A. 1− B. 0

C.

12

D. 1

【答案】B 【解析】

【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出a 值，再检验即可.

【详解】因为()f x 为偶函数，则 1

(1)(1)(1)ln (1)ln 33

f f a a =−∴+=−+，

，解得0a =， 当0a =时，()21ln 21

x x x f x −=+，()()21210x x −+>，解得1

2x >或12x <−，

则其定义域为1

2

x x

或12x <− ，关于原点对称.

()()()()()()()1

21

21

2121ln ln ln ln 21

21

2121f x x x x x x x x x f x x x x x −−−+

−=−−− =

=== −+−++ −

−， 故此时()f x 为偶函数. 故选：B.

5. 已知椭圆2

2:13

x C y +=

的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于A ，B 两点，若1F AB △ 面积是2F AB △ 面积的2倍，则m =（ ）． A.

2

3

B.

C. D. 23

−

【答案】C 【解析】

【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用0∆>，求出m 范围，再根据三角形面积比得到关于m 方程，解出即可.

【详解】将直线y x m =+与椭圆联立22

13

y x m x y =+

+= ，消去y 可得2246330x mx m ++−=， 的

因为直线与椭圆相交于

,A B 点，则(

)

2

2

3604433m m −×−∆=>，解得22m −<<， 设1F 到AB 距离12,d F 到AB 距离2d

，易知(

))

12,F F ，

则1d =

2d =

122F AB F AB S S =

，解得m =

或−（舍去）， 故选：C.

6. 已知函数()e ln x

f x a x =−在区间()1,2上单调递增，则a 的最小值为（ ）．

A. 2e

B. e

C. 1e −

D. 2e −

【答案】C 【解析】

【分析】根据()1

e x

f x a x

′=−

≥()1,2上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【详解】依题可知，()1

e 0x

f x a x

′=−

≥在()1,2上恒成立，显然0a >，所以1e x x a ≥，

设()()e ,1,2x

g x x x =∈，所以()()1e 0x

g x x =+>′，所以()g x 在()1,2上单调递增，

()()1e g x g >=，故1e a ≥

，即11

e e

a −≥=

，即a 的最小值为1e −． 故选：C ．

7. 已知α

为锐角，cos α=，则sin 2α=（ ）．

A.

B.

C.

D.

【答案】D

的

【解析】

【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．

【详解】因为2

cos 12sin 2α

α=−，而α为锐角，

解得：sin

2α

=

故选：D ．

8. 记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =−，6221S S =，则8S =（ ）． A. 120 B. 85

C. 85−

D. 120−

【答案】C 【解析】

【分析】方法一：根据等比数列的前n 项和公式求出公比，再根据48,S S 的关系即可解出；

方法二：根据等比数列的前n 项和的性质求解．

【详解】方法一：设等比数列{}n a 的公比为q ，首项为1a ，

若1q =，则61126323S a a S =

=×=，与题意不符，所以1q ≠； 由45S =−，6221S S =可得，

(

)4

1151a q q

−=−−，()()6

21

1112111a q a q q

q

−−=

×

−−①，

由①可得，24121q q ++=，解得：24q =， 所以8S =

()()

()()8411411151168511a q a q q q q

−−=×+=−×+=−−−．

故选：C ．

方法二：设等比数列{}n a 的公比为q ，

因为45S =−，6221S S =，所以1q ≠−，否则40S =， 从而，24286,,,S S S S S S S −−−成等比数列，

所以有，()()2

2225215S S S −−=+，解得：21S =−或25

4

S =

， 当21S =−时，24286,,,S S S S S S S −−−，即为81,4,16,21S −−−+，

易知，821S +=

−，即885S =−； 当254

S =

时，()()()22

41234122110S a a a a a a q q S =+++=++=+>，

与45S =−矛盾，舍去． 故选：C ．

【点睛】本题主要考查等比数列的前n 项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握48,S S 的关系，从而减少相关量的求解，简化运算．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，AB 为底面直径，120APB ∠=°，2PA =，点C 在底面圆周上，且二面角P AC O −−为45°，则（ ）．

A. 该圆锥的体积为π

B. 该圆锥的侧面积为

C. AC =

D. PAC △

【答案】AC 【解析】

【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A 、B 选项的正确性，利用二面角的知识判断C 、D 选项的正确性.

【详解】依题意，120APB ∠=°，2PA =，所以1,OP OA OB ===

A 选项，圆锥的体积为2

1

π1π3

××

×=

，A 选项正确； B

选项，圆锥的侧面积为π2，B 选项错误； C 选项，设D 是AC 的中点，连接,OD PD ，

则,AC OD AC PD ⊥⊥，所以PDO ∠是二面角P AC O −−的平面角， 则45PDO ∠=°，所以1OP OD ==，

故AD CD ==AC =，C 选项正确；

D 选项，

PD

，所以122

PAC S =×=

，D 选项错误. 故选：AC.

10. 设O 为坐标原点，直线)1y x −过抛物线()2

:20C y px p =

>的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则（ ）． A. 2p =

B. 8

3

MN =

C. 以MN 为直径的圆与l 相切

D. OMN 为等腰三角形

【答案】AC 【解析】

【分析】先求得焦点坐标，从而求得p ，根据弦长公式求得MN ，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案.

【详解】A 选项：直线)1y x −过点()1,0，所以抛物线()2

:20C y px p =>的焦点()1,0F ，

所以1,

2,242

p

p p ===，则A 选项正确，且抛物线C 的方程为24y x =. B 选项：设()()1122,,,M x y N x y ，

由)214y x y x

− = 消去y 并化简得()()231033310x x x x −+=−−=，

解得

1213,3x x ==，所以12116

3233

MN x x p =++=++=，B 选项错误. C 选项：设MN 的中点为A ，,,M N A 到直线l 的距离分别为12,,d d d ， 因为()()12111

222

d d d MF NF MN =

+=+=， 即A 到直线l 的距离等于MN 的一半，所以以MN 为直径的圆与直线l 相切，C 选项正确.

D 选项：直线)1y x −0y +=，

O

0y +=的距离为d =

，

所以三角形OMN 的面积为

11623×

由上述分析可知)1213113y y −=−−

，

所以OM =

所以三角形OMN 不是等腰三角形，D 选项错误. 故选：AC.

11. 若函数()()2ln 0b c

f x a x a x x

=+

+≠既有极大值也有极小值，则（ ）． A. 0bc > B. 0ab >

C. 280b ac +>

D. 0ac <

【答案】BCD 【解析】

【分析】求出函数()f x 的导数()f x ′，由已知可得()f x ′在(0,)+∞上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.

【详解】函数2

()ln b c

f x

a x x x =++的定义域为(0,)+∞，求导得2233

22()a b c ax bx c

f x x x x x

−−′=−−=， 因为函数()f x 既有极大值也有极小值，则函数()f x ′在(0,)+∞上有两个变号零点，而

0a ≠，

因此方程220ax bx c −−=有两个不等的正根12,x x ，

于是21212Δ80020b ac b x x a c x x a =+>

+=>

=−> ，即有280b ac +>，0ab >，0ac <，显然20a bc <，即

0bc <，A 错误，BCD 正确.

故选：BCD

12. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互．发送0时，收到1

的概率为

(01)αα<<，收到0的概率为1α−；发送1时，收到0的概率为(01)ββ<<，收到1

的概率为1β−. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.

A. 采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l ，0，1的概率为

2(1)(1)αβ−−

B. 采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1概率为2(1)ββ−

C. 采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为23(1)(1)βββ−+−

D. 当00.5α<<时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 【答案】ABD 【解析】

【分析】利用相互事件的概率公式计算判断AB ；利用相互事件及互斥事件的概率计算判断C ；求出两种传输方案的概率并作差比较判断D 作答.

【详解】对于A ，依次发送1，0，1，则依次收到l ，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，

它们相互，所以所求概率为2(1)(1)(1)(1)(1)βαβαβ−−−=−−，A 正确； 对于B ，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l ，0，1的事件， 是发送1接收1、发送1接收01接收1的3个事件的积， 它们相互，所以所求概率为2(1)(1)(1)βββββ−⋅⋅−=

−，B 正确；

对于C ，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，

它们互斥，由选项B 知，所以所求的概率为2

2

3

2

3C (1)(1)(1)(12)βββββ−+−=−+，C

错误；

对于D ，由选项C 知，三次传输，发送0，则译码为0的概率2(1)(12)P αα=−+， 单次传输发送0，则译码为0的概率1P α′=−，而00.5α<<，

因此2(1)(12)(1)(1)(12)0P P αααααα′−=−+−−=−−>，即P P ′>，D 正确. 故选：ABD

【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互事件的积是解题的关键.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

的

13. 已知向量a ，b

满足a b −=

，2a b a b +=− ，则b = ______．

【答案】 【解析】

【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令c a b =−

，结合数量积的运算律运算求解.

【详解】法一：因为2a b a b +=− ，即()(

)

2

2

2a b

a b +=−

，

则2222244a a b b a a b b +⋅+=−⋅+ ，整理得220a a b −⋅=

，

又因为a b −=

，即()

2

3a b −=

，

则222

23a a b b b −⋅+ ，所以b = .

法二：设c a b =−

，则2,22c a b c b a b c b =+=+−=+ ， 由题意可得：()(

)

2

222c b

c b +=+

，则2222

4444c c b b c c b b +⋅+=+⋅+ ，

整理得：22

c b = ，即b

c ==

14. 底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______． 【答案】28 【解析】

【分析】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方法二：根据台体的体积公式直接运算求解. 【详解】方法一：由于

21

42

=，而截去的正四棱锥的高为3，所以原正四棱锥的高为6， 所以正四棱锥的体积为()1

446323

×××=

， 截去的正四棱锥的体积为()122343

×××=

， 所以棱台的体积为32428−=.

方法二：棱台的体积为(1

31283

××+=

. 故答案为：28.

15. 已知直线:10l x my −+=与()2

2:14C x y −+= 交于A ，B 两点，写出满足“ABC

面积为

8

5

”的m 的一个值______． 【答案】2（11

2,2,,2

2

−−中任意一个皆可以） 【解析】

【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长AB ，以及点C 到直线AB 的距离，结合面积公式即可解出．

【详解】设点C 到直线AB 的距离为d

，由弦长公式得AB =，

所以12ABC S d =××=△

d =

或d =，

由d

=

=，解得：2m =±或1

2

m =±．

故答案为：2（11

2,2,,22

−−

中任意一个皆可以）． 16. 已知函数

()()sin f x x ωϕ=+，如图A ，B 是直线1

2

y =与曲线()y f x =的两个交点，若π

6

AB =

，则()πf =______．

【答案】【解析】

【分析】设1211,,,22A x B x

，依题可得，21π6x x −=，结合1sin 2x =的解可得，

()212π3x x ω−=，从而得到ω的值，再根据2π03f

=

以及()00f <，即可得

2()sin 4π3f x x

=

−

，进而求得()πf ． 【详解】设1211,,,22A x B x

，由π6AB =可得21π6x x −=，

由1sin 2x =

可知，π2π6

x

k =+或5π

2π6x k =+，Z k ∈，由图可知， ()215π2π

π663x x ωϕωϕ+−+=

−=，即()212π3

x x ω−=，4ω∴=． 因为28ππsin 033f ϕ

=+=

8ππ3k ϕ+=

，即8ππ3k ϕ=−+，Z k ∈． 所以82()sin 4ππsin 4ππ33f x x k x k

=

−+=−+

，

所以

()2sin 4π3f x x

=−

或()2sin 4π3f x x =−−

，

又因为()00f <，所以

2()sin 4π3f x x

=−

，()2πsin 4ππ3f ∴=−

故答案为：． 【点睛】本题主要考查根据图象求出ω以及函数()f x 的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键．

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABC

，D 为BC 中点，且1AD =．

（1）若π

3

ADC ∠=，求tan B ； （2）若228b c +=，求,b c ． 【答案】（1

； （2）2b c ==. 【解析】

【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出a ，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出a ，作出BC 边上的高，利用直角三角形求解作答.

（2）方法1，利用余弦定理求出a ，再利用三角形面积公式求出ADC ∠即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a ，再利用三角形面积公式求出ADC ∠即可求解作答. 【小问1详解】

方法1：在ABC 中，因为D 为BC 中点，π

3

ADC ∠=，1AD =，

则111

sin 1222ADC ABC S AD DC ADC a a S =

⋅∠=×=== 4a =，

在ABD △中，2π

3

ADB ∠=，由余弦定理得2222cos c BD AD BD AD ADB =+−⋅∠， 即2

1

41221()72

c =+−×××−=

，解得c =

，则

cos B =，

sin B ，

所以sin tan cos B

B

B == 方法2：在AB

C 中，因为

D 为BC 中点，π3

ADC ∠=，1AD =，

则1111

sin 12222ADC ABC S AD DC ADC a a S =

⋅∠=××===

.

4a =，

在ACD 中，由余弦定理得2222cos b CD AD CD AD ADB =+−⋅∠，

即2

14122132

b =+−×××

=

，解得b =，有2224AC AD CD +==，则π2CAD ∠=， π6C =

，过A 作AE BC ⊥于E

，于是3

cos ,sin 2

CE AC C AE AC C ====，52

BE =

，

所以tan AE

B BE =

=. 【小问2详解】

方法1：在ABD △与ACD 中，由余弦定理得

222211

121cos(π)42

11

121cos 42

c a a ADC b a a ADC =+−×××−∠ =+−×××∠

，

整理得

2

22122

a b c +=+，而228b c +=

，则a =，

又1

1sin 2ADC S ADC =

×∠= sin 1ADC ∠=，而0πADC <∠<，于是π

2

ADC ∠=，

所以2b c ==.

方法2：在ABC 中，因为D 为BC 中点，则2AD AB AC =+ ，又CB AB AC =−

， 于是2222224()()2()16AD CB AB AC AB AC b c +=++−=+=

，即2416a +=

，解得

a =，

又1

1sin 2ADC S ADC =

×∠= sin 1ADC ∠=，而0πADC <∠<，于是π

2

ADC ∠=，

所以2b c ==. 18. {}n a 为等差数列，6,2,n n n a n b a n − =

为奇数

为偶数

，记n S ，n T 分别为数列{}n a ，{}n b 的前n

项和，432S =，316T =． （1）求{}n a 的通项公式； （2）证明：当5n >时，n n T S >．

【答案】（1）23n

a n =+； （2）证明见解析. 【解析】

【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，用1,a d 表示n S 及n T ，即可求解作答. （2）方法1，利用（1）的结论求出n S ，n b ，再分奇偶结合分组求和法求出n T ，并与n S 作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出n S ，n b ，再分奇偶借助等差数列前n 项和公式求出n T ，并与n S 作差比较作答. 【小问1详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ，而6,21

,N 2,2n n n a n k b k a n k

∗−=− =

∈ = ， 则112213316,222,626b a b a a d b a a d =−==+=−=+−，

于是41314632

441216S a d T a d =+= =+−= ，解得15,2a d =

=，1(1)23n a a n d n =+−=+， 所以数列{}n a 的通项公式是23n

a n =+. 【小问2详解】 方法1：由（1）知，2(523)

42n

n n S n n ++==+，23,21,N 46,2n n n k b k n n k ∗−=− =∈

+=

， 当n 为偶数时，12(1)34661n n b b n n n −+=−−++=+，

213(61)37

2222

n n n T n n ++=

⋅=+，

当5n >时，2

23

71

()(4)(1)02

22n n

T S n n n n n n −=+−+=−>，因此n n T S >， 当n 为奇数时，22113735

(1)(1)[4(1)6]52222

n n n T T b n n n n n ++=−=+++−++=+−， 当5n >时，2

23

51(5)(4)(2)(5)02

22

n n T S n n n n n n −=+−−+=+−>，因此n n T S >， 所以当5n >时，n n T S >.

方法2：由（1）知，2

(523)42n

n n S n n ++==+，23,21,N 46,2n n n k b k n n k ∗−=− =∈ +=

， 当n 为偶数时，

21312412(1)3144637()()222222

n n n n n n n T b b b b b b n n

−−+−−++=+++++++=

⋅+⋅=+ ，

当5n >时，2

23

71()(4)(1)02

22

n n

T S n n n n n n −=+−+=−>，因此n n T S >， 当n 为奇数时，若3n ≥，则

132411231144(1)61

()()2222

n n n n n n n T b b b b b b −−+−++−+−=+++++++=

⋅+⋅ 235522n n =

+−，显然111T b ==−满足上式，因此当n 为奇数时，235

522

n T n n =+−， 当5n >时，2

23

51

(5)(4)(2)(5)02

22

n n T S n n n n n n −=+−−+=

+−>，因此n n T S >， 所以当5n >时，n n T S >.

19. 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于c 的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为

()p c ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q c ．假设数据在组内均匀分布，

以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．

（1）当漏诊率()0.5p c =％时，求临界值c 和误诊率()q c ； （2）设函数()

()()f c p c q c =+，当[]95,105c ∈时，求()f c 的解析式，并求()f c 在

区间[]95,105的最小值．

【答案】（1）97.5c =，() 3.5%q c =； （2）0.0080.82,95100

()0.010.98,100105c c f c c c −+≤≤ = −<≤

，最小值为0.02．

【解析】

【分析】（1）根据题意由第一个图可先求出c ，再根据第二个图求出97.5c ≥的矩形面积即可解出；

（2）根据题意确定分段点100，即可得出()f c 的解析式，再根据分段函数的最值求法即可解出． 【小问1详解】

依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为50.0020.5%×>，所以95100c <<，

所以()950.0020.5%c −×=

，解得：97.5c =， ()()0.0197.59550.0020.035 3.5%q c =×−+×==．

【小问2详解】 当[95,100]c ∈时，

()()()(95)0.002(100)0.0150.002f c p c q c c c =+=−×+−×+×

0.0080.820.02c =−+≥；

当(100,105]c ∈时，

()()()50.002100)0.012(105)0.002f c p c q c c c =+=×+×+−×

0.010.980.02c =−>,

故0.0080.82,95100

()0.010.98,100105c c f c c c −+≤≤ =

−<≤

，

所以()f c 在区间[]95,105的最小值为0.02．

20. 如图，三棱锥A BCD −中，DA DB DC ==，BD CD ⊥，

60ADB ADC ∠=∠= ，E 为BC 的中点．

（1）证明：BC DA ⊥；

（2）点F 满足EF DA =

，求二面角D AB F −−的正弦值．

【答案】（1）证明见解析； （2

． 【解析】

【分析】（1）根据题意易证BC

⊥平面ADE ，从而证得BC DA ⊥；

（2）由题可证⊥AE 平面BCD ，所以以点E 为原点，,,ED EB EA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，再求出平面,ABD ABF 的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出． 【小问1详解】

连接,AE DE ，因为E 为BC 中点，DB DC =，所以DE BC ⊥①，

因为DA DB DC ==，60ADB ADC ∠=∠= ，所以ACD 与ABD △均为等边三角形，

AC AB ∴=，从而AE BC ⊥②，由①②，AE DE E = ，,AE DE ⊂平面ADE ，

所以，BC

⊥平面ADE ，而AD ⊂平面ADE ，所以BC DA ⊥．

【小问2详解】

不妨设2DA DB DC ===，BD CD ⊥

，BC DE AE ∴===

．

2224AE DE AD ∴+==，AE DE ∴⊥，又,AE BC DE BC E ⊥=

，,DE BC ⊂平面BCD AE ∴⊥平面BCD ．

以点E 为原点，,,ED EB EA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

设(0,0,0)D A B E ，

设平面DAB 与平面ABF 的一个法向量分别为()()11112222,,,,,n x y z n x y z ==

，

二面角D AB F −−平面角为θ,

而(AB = ，

因为(EF DA ==

，所以(F

，即有()

AF =

，

111100 = ∴−=

，取11x =，所以1(1,1,1)n = ；

22200−=

=

，取21y =，所以2(0,1,1)n = ，

所以，12

12

cos n n n n θ⋅==

，从而sin θ=

=

所以二面角D AB F −−

． 21. 已知双曲线C

的中心为坐标原点，左焦点为()

−

（1）求C 的方程；

（2）记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点()4,0−的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点P ．证明:点P 在定直线上.

【答案】（1）22

1416

x y −=

（2）证明见解析. 【解析】

【分析】（1）由题意求得,a b 的值即可确定双曲线方程；

（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线1MA 与2NA 的方程，联立直线方程，消去y ，结合韦达定理计算可得21

23

x x +=−−，即交点的横坐标为定值，据此可证得点P 在定直线=1x −上. 【小问1详解】

设双曲线方程为()22

2210,0x y a b a b

−=>>

，由焦点坐标可知c =，

则由c e

a

==可得2a =

，4b ，

双曲线方程22

1416

x y −=

. 【小问2详解】

由(1)可得()()122,0,2,0A A −，设()()1122,,,M x y N x y ，

显然直线的斜率不为0，所以设直线MN 的方程为4x my =

−，且11

22

m −<<， 与221416

x y −=联立可得()22

4132480m y my −−+=

，且2(43)0m ∆=+>， 为

则

1212223248

,4141

m y y y y m m +==−−，

直线1MA 的方程为()1

122y y

x x ++，直线2NA 的方程为()2

222

y y x x −−， 联立直线1MA 与直线2NA 的方程可得：

()()()()()212112121

1212121

222222266y x y my my y y y y x x y x y my my y y +−−+++==−−=−−

11222112

2

4832162221414141484836141

m

m m y y m m m m m y y m m −⋅

−⋅++−−−=

==−×−−−−， 由

21

23

x x +=−−可得=1x −，即1P x =−， 据此可得点P 在定直线=1x −上运动.

【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.

22. （1）证明：当01x <<时，sin x x x x 2−<<； （2）已知函数()(

)2

cos ln 1f x ax x =−−，若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范

围．

【答案】（1）证明见详解（2

）(

)

,−∞+∞

【解析】

【分析】（1）分别构建()()sin ,0,1F x x x x =

−∈，()()2

sin ,0,1G x x x x x =−+∈，求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可得结果；

（2）根据题意结合偶函数的性质可知只需要研究()f x 在()0,1上的单调性，求导，分类讨论202a <<和22a

≥，结合（1）中的结论放缩，根据极大值的定义分析求解.

【详解】（1）构建()()sin ,0,1F x x x x =−∈，则()1cos 0F x x ′=

−>对()0,1x ∀∈恒成立， 则()F x 在()0,1上单调递增，可得()()00F x F >=

， 所以()sin ,0,1x x x >∈； 构建()(

)()2

2sin sin ,0,1G x x x x

x x x x =−−=

−+∈，

则()()21cos ,0,1G x x x x ′=−+∈，

构建

()()(),0,1g x G x x ′=∈，则()2sin 0g x x ′=−>对()0,1x ∀∈恒成立， 则()g x 在()0,1上单调递增，可得()()00g x g >=

， 即()0G x ′

>对()0,1x ∀∈恒成立，

则()G x 在()0,1上单调递增，可得()()00G x G >=

， 所以()2

sin ,0,1x x x x >−∈；

综上所述：sin x x x x 2−<<.

（2）令210x −>，解得11x −<<，即函数()f x 的定义域为()1,1−， 若0a =，则()(

)()2

ln 1,1,1f x x

x =−−∈−，

因为ln y u =−在定义域内单调递减，21y x =−在()1,0−上单调递增，

在()0,1上单调递减， 则()(

)2

ln 1f x x =

−−在()1,0−上单调递减，在()0,1上单调递增，

故0x =是()f x 的极小值点，不合题意，所以0a ≠.

当0a ≠时，令0b a =>

因为()()()()(

)2

2

2

cos ln 1cos ln 1cos ln 1f x ax x a x x bx x

=−−=−−=−−，

且()()()()

()2

2

cos ln 1cos ln 1f x bx x bx x f x −=−−−−=

−−=

，

所以函数()f x 在定义域内为偶函数，

由题意可得：()()22sin ,1,11

x

f x b bx x x =

−−∈′−−， （i ）当202b <≤时，取1min ,1m b =

，()0,x m ∈，则()0,1bx ∈，

由（1）可得()()()2222222

222sin 111x b x b x x f x b bx b x x x x +−′=−−>−−=

−−−， 且22220,20,10b x b x >−≥−>，

第25页/共25页

所以()()

2222201x b x b f x x +−′>>−，

即当()()0,0,1x m ∈⊆时，()0f x '>，则()f x 在()0,m 上单调递增，

结合偶函数的对称性可知：()f x 在(),0m −上单调递减，

所以0x =是()f x 的极小值点，不合题意；

（ⅱ）当22b >时，取()10,0,1x b ∈⊆ ，则()0,1bx ∈，

由（1）可得()()()2233223222222sin 2111x x x f x b bx b bx b x b x b x b x b x x x ′=−−

<−−−=−+++−−−−， 构建()33223212,0,h x b x b x b x b x b =

−+++−∈ ， 则()3223132,0,h x b x b x b x b

′=−++∈

， 且()33100,0h b h b b b ′′=>=−>

，则()0h x ′>对10,x b ∀∈ 恒成立， 可知()h x 在10,b 上单调递增，且()21020,20h b h b =−<=>

， 所以()h x 在10,b 内存在唯一的零点10,n b ∈ ，

当()0,x n ∈时，则()0h x <，且20,10x x >−>，

则()()3322322201x f x b x b x b x b x

′<−+++−<−， 即当()()0,0,1x n ∈⊆时，()0f x ′<，则()f x 在()0,n 上单调递减，

结合偶函数的对称性可知：()f x 在(),0n −上单调递增，

所以0x =是()f x 的极大值点，符合题意；

综上所述：22b >，即22a >

，解得a >

a <， 故a

的取值范围为(

)

,−∞+∞

. 【点睛】关键点睛：

1.当202a <≤时，利用()sin ,0,1x x x <∈，换元放缩；

2.当22a ≥时，利用()sin ,0,1x x x x 2−<∈，换元放缩。