平移旋转翻折补形找辅助线的位置

在证明几何题时，经常要添加辅助线，但如何添加辅助线，怎样找到辅助线的位置，对有些题目是一件比较困难的事情。本文从全等变换和构造基本图形的角度，结合一道习题，谈一下采用平移、旋转、翻折、补形的办法，先找出辅助线的位置，再恰当地作出辅助线，最后使问题得到解决的技巧。

题目：如图1,△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，且BD=CE，连接DE交BC于F。求证：DF=EF. 分析：欲证DF=EF，图中没有全等三角形、等腰三角形等基本图形，我们用平移、旋转、翻折、补形等手段构造出基本图形，然后加以证明。

一、平移  

 假设DF=EF成立，将△BDF平移到△FGE的位置（如图2），我们就找到了第1种要添加的辅助线的位置。可惜的是，现在我们还不知道DF与EF是否相等，所以不能按上述平移的办法添加辅助线。但这样做的好处是，帮助我们找到了要添加的辅助线的位置，使我们看到了证明此题的前景。怎样才能得到如图2的辅助线呢？我们应该这样处理：过F点作FG∥AB，过E点作EG∥BC，交FG于G，这样就加好了辅助线（以下二、三部分添加的辅助线的方法都是如此，不再重复叙述），然后证明△BDF≌△GFE即可。

   证明：过F点作FG∥AB，过E点作EG∥BC，交FG于G。则∠FGE=∠B ∠CEG=∠ACB又∵AB=AC    ∴∠B=∠ACB∴∠FGE=∠CEG， 于是四边形FGEC是等腰梯形，∴FG=CE   又BD=CE ∴BD= FG△BDF和△FGE中，∵EG∥BC∴∠DFB=∠FEG  又根据以上所证知：∠FGE=∠B，BD= FG 故△BDF≌△GFE  ∴DF=EF. 

当然，我们也可以把△CEF平移到图3的位置，类似地证出结论。

二、旋转  

 如图4，作△CEF关于F点的中心对称图形：把△CEF绕点F旋转1800到△DGF的位置，于是我们就找到了第2种要添加的辅助线的位置。

 证明：过点D作DG∥AE，交BC于G，则有∠DGB=∠ACB，

又AB=AC ∴∠B=∠ACB，故∠B=∠DGB  ，∴DB=DG，  

又已知BD=CE ∴DG=CE 在△DGF和△CEF中，

∵DG∥AE∴∠DGF=∠FCE   ∠GDF=∠E  DG=CE（已证）   

∴△DGF≌△ECF    故DF=EF.

如图5，此题也可将△DBF绕点F旋转1800到△EFG的

位置，而得到证明。

注：此题辅助线的添法，利用了基本图形6的特点：AB∥CD ，△ABE和△CDE关于E点成中心对称图形。作三角形关于某点的中心对称图形是添加辅助线的常用方法！

 三、翻折

如图7，将△CEF沿直线BC 翻折到△CGF的位置，则FG=FE，欲证DF=EF，只需证DF=GF，

自然想到连DG，于是得到了第3种添加辅助线的方法。

证明：过D作DG∥BC，过C作CG∥AB交DG于G，

连FG。则四边形BCGD是平行四边形，∴BD=CG，

又BD=CE∴CG=CE。在△CGF和△CEF中，

∵CG∥AB ∠GCF＋∠B=1800，∠ECF+∠ACB=1800， 

又AB=AC∴∠B=∠ACB故∠GCF=∠ECF  则

CG=CE

∠GCF=∠ECF   ∴△CGF≌△CEF

FC=FC

∴∠1=∠2 ，    GF=EF。 又DG∥BC  则∠1=∠4 ∠2=∠3

∴∠3=∠4   故DF=GF    从而DF=EF成立。

 当然，此题也可象图8那样将△BDF沿BC边翻折

到△BGF的位置，使我们想到类似的添加辅助线的办法。

 四、补形

如图9，欲证DF=EF，联想三角形中位线定理，（或平行线等分线段定理）过E点作EG∥CB，交AB的延长线于G，将原图“补”成能用成三角形中位线定理（或平行线等分线段定理的）图形。我们可以得到第4种添加辅助线的方法。

证明：过E点作EG∥CB，交AB的延长线于G，

∴∠ABC=∠AGE∠ACB=∠AEG，又∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB则∠AGE=∠AEG，从而四边形

BGEC是等要梯形。∴BG=CE，由已知知：BD=CE，    

∴BG=BD，又EG∥CB，∴DF=EF。

此题的另外一种添加辅助线的办法，如图10，过D做DG∥BC，交AC于G。证法和上面的类似。