2011年内蒙古赤峰中考数学试题及答案

数    学

（满分150分，考试时间120分钟）

一、选择题（每小题所给出的四个选项中，只有一个正确选项，请将正确选项的标号填入题后的括号内。每小题3分，共24分。）

1. （2011内蒙古赤峰，1，3分）－4的相反数是                  （    ）

A．            B．－             C．4              D．－4

【答案】C

2. （2011内蒙古赤峰，2，3分）下列运算正确的是               （    ）

A．     B．2m+3n=5mn  C．    D． 

【答案】A

3. （2011内蒙古赤峰，3，3分）下列图形中，∠1一定大于∠2的是（    ）

【答案】C

4. （2011内蒙古赤峰，4，3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ）    

   A．    B．C．D．

【答案】B

5.（2011内蒙古赤峰，5，3分）在下面四个几何体中，主视图、俯视图、左视图都相同的几何体的个数是                                                             （    ）

A．1个                B．2个                C．3个               D．4个

【答案】B

6. （2011内蒙古赤峰，6，3分）在体育课上，初三年级某班10名男生“引体向上”的成绩（单位：次）分别是：9，14，10，15，7，9，16，10，11，9，这组数据的众数、中位数、平均数依次是 （    ）

A．10，8，11            B．10，8，9            C．9，8，11            D．9，10，11

【答案】D

7. （2011内蒙古赤峰，7，3分）早晨，小张去公园晨练，下图是他离家的距离y(千米)与时间t(分钟)的函数图象，根据图象信息，下列说法正确的是                                            （    ）

A．小张去时所用的时间多于回家所用的时间        B．小张在公园锻炼了20分钟        

C．小张去时的速度大于回家的速度                D．小张去时走上坡路，回家时走下坡路

【答案】C    

8. （2011内蒙古赤峰，8，3分）如图，在△ABC中，AB=20㎝，AC=12㎝，点P从点B出发以每秒3㎝的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2㎝的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是                   （    ）

A． 2.5            B．3秒        C．3.5秒            D．4秒

【答案】D

二、填空题：（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）

9. （2011内蒙古赤峰，9，3分）分解因式： _____________。

【答案】

10.（2011内蒙古赤峰，10，3分）太阳的半径约是697 000 000米，用科学记数法表示为_____________。

【答案】

11.（2011内蒙古赤峰，11，3分）已知点A（－5，a），B(4，b)在直线y=-3x+2上，则a______b。（填“＞”、“＜”或“=”号）

【答案】＞

12.（2011内蒙古赤峰，12，3分）如图：AD是△ABC的中线，∠ADC=60°，BC=6，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在点处，连结B，那么B的长为_____________。

【答案】3

13.（2011内蒙古赤峰，13，3分）对甲、乙、丙三名射击手进行20次测试，平均成绩都是8.5环，方差分别是，，在这三名射击手中成绩比较稳定的是____________

【答案】甲

14.（2011内蒙古赤峰，14，3分）化简的结果是____________。

【答案】1

15.（2011内蒙古赤峰，15，3分）如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A、B两点，PC切半圆于点C，已知PC=3，PB=1，则该半圆的半径为_____________。

【答案】4

16. （2011内蒙古赤峰，16，3分）如图，EF是△ABC的中位线，将△AEF 沿AB方向平移到△EBD的位置， 点D在BC上，已知△AEF的面积为5，则图中阴影部分的面积为_____________。

【答案】10

三、解答题：（本大题共9个小题，满分102分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17. （2011内蒙古赤峰，17，12分）

（1）计算：           （2）解方程： =  +1

【答案】解：（1）原式＝2＋1－3＋                （2）方程的左右两边同时乘以最简公分母3（x＋1）＝                           得：3x＝2x＋3x＋3

                                ∴x＝－

                                检验：把x＝－代入最简公分母3（x＋1）中得：

                                3（x＋1）≠0

                                 ∴x ＝－是原方程的解。

18. （2011内蒙古赤峰，19，10分）如图，一架满载救援物资的飞机到达灾区的上空，在A处测得空投地点C的俯角=60°，测得地面指挥台B的俯角=30°。已知BC的距离是2000米，求此时飞机的高度（结果保留根号）

【答案】解：如图

过A点作AD⊥BC与BC的延长线交于点D。

∵AF∥BD ，

∴∠B=∠=30°。

又∵∠= 60°，∠=30°

∴∠BAC=30°=∠B

∴AC = BC = 2000

在Rt△ACD中，

∠ACD=∠＋∠B= 60°

∵sin 60°=。

∴AD=AC sin 60°=2000×=1000

    答：此时飞机的高度是1000 m

19. （2011内蒙古赤峰，19，10分）益趣玩具店购进一种儿童玩具，计划每个售价36元，能盈利80﹪，在销售中出现了滞销，于是先后两次降价，售价降为25元。

（1）求这种玩具的进价。

（2）求平均每次降价的百分率（精确到0.1﹪）

【答案】解：（1）设这种玩具的进价是x元，根据题意得：

     x（1+80﹪）=36

     解之得：x=20

     答：这种玩具的进价为20元。

     （2）设平均每次降价的百分率为y ，根据题意得：

     解之得：（不合题意，舍去）

     ∴y=16.7﹪

     答：平均每次降价的百分率为16.7﹪

20. （2011内蒙古赤峰，20，10分）如图，点D在双曲线上，AD垂直轴，垂足为A，点C在AD上，CB平行于轴交双曲线于点B，直线AB与轴交于点F，已知AC：AD=1：3，点C的坐标为（2，2）。

（1）求该双曲线的解析式；

（2）求△OFA的面积。

【答案】解：（1）∵点C的坐标为（2，2）；

∴OA=2，AC=2．

∵AC：AD=1：3

∴AD = 6

∴点D的坐标为（2，6） ；

设该双曲线的解析式为；

∴k =2×6 =12

∴该双曲线的解析式为；

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)；

∵B点的纵坐标为2，且B点在双曲线上。

∴

∴ x= 6

∴B点的坐标为（6，2），A点的坐标为（2，0） ；

∴

解之得：

∴直线AB的解析式为y= x－1 ；

∵直线AB与y轴的交点为F ；

∴F点的坐标为（0，－1）。    

∴OF =1，

∴△OFA的面积=×OA·OF = 1

21. （2011内蒙古赤峰，21，10分）在一副扑克牌中，拿出红桃2、红桃3、红桃4、红桃5四张牌，小明从中随机摸出一张记下牌面上的数字为，然后放回洗匀，再由小华随机摸出一张，记下牌面上的数字为，组成一对数（，）。

（1）用列表法或树状图表示出（，）的所有可能出现的结果；

（2）求小明、小华各摸一次扑克牌所确定的一对数是方程x+y=5的解的概率。

【答案】解：

（1）画树状图，如图：

（2）∵x=2，y=3或x=3，y=2是方程x+y=5的解

∴概率P（x+y=5）= = 

22. （2011内蒙古赤峰，22，12分）如图，等圆⊙和⊙相交于A、B两点，⊙经过⊙的圆心，两圆的连心线交⊙于点M，交AB于点N，连结BM，已知AB=2

（1）求证：BM是⊙的切线；

（2）求的长。    

【答案】解：如图，连结

∵⊙和⊙是等圆，且在⊙上。

∴点也在⊙上。                                               

∵是两圆的连心线                               

∴M是⊙的直径

∴∠MB=90°

又∵直线BM经过半径的B的外端；

∴直线BM是⊙的切线

（2）连结A、B

∵点B既在⊙上，又在⊙上

∴=B=B

∴∠NB=60°

∵是两圆的连心线

∴⊥AB，BN=AB=×2=

在Rt△NB中，sin60°=,B=2 

∵M=B

∴∠MB =∠BM=∠BN =×60°=30°

∴在Rt△MBN中，∠MBN= 60°

∴∠MA=120°

∴

23. （2011内蒙古赤峰，23，12分）为了对学生进行爱国主义教育，某校组织学生去看演出。有甲乙两种票，已知甲乙两种票的单价比为4：3，单价和为42元。

（1）甲、乙两种票的单价分别是多少元？

（2）学校计划拿出不超过750元的资金，让七年级一班的36名学生首先观看，且规定购买甲种票必须多于15张，有哪几种购买方案？

【答案】解：（1）设甲乙两种票的单价分别是x元、y元，根据题意得：

                    解得： 

  答：甲乙两种票的单价分别是24元、18元。    

（2）设买甲种票a张，则买乙种票（36－a）张。

解得：15＜a≤17

∴a取16、17。

1甲种票买16张，乙种票买20张；

2甲种票买17张，乙种票买19张。

答：有上述两种购买方案。

24. （2011内蒙古赤峰，24，12分）如图，直线y=x+3与坐标轴分别交于A、B两点，抛物线经过点A、B，顶点为C，连结CB并延长交x轴于点E，点D与点B关于抛物线的对称轴MN对称。

（1）求抛物线的解析式及顶点C的坐标；

（2）求证：四边形ABCD是直角梯形。

【答案】解：（1）∵直线y=x+3与坐标轴分别交于A、B两点。

当y=0时，x=－3，∴点A的坐标为（－3，0）

当x =0时，y= 3，∴点B的坐标为（0，3）

把A（－3，0）、B（0，3）代入中得：

解得

∴抛物线的解析式为

∵

∴C点的坐标为（-1，4）。

（2）证明：

方法（一）∵A（－3，0）、B（0，3）、C（-1，4）;

∴OA=OB=3，AN=2，CN=4，CM=MB=1.

在Rt△AOB中，；

在Rt△ANC中，；

在Rt△CMB中，；

∴，∴∠ABC=90°

∵点D、B关于对称轴CN对称，∠BCM=45°；

∴∠DCM=45°，则∠DCB=90°；

∴DC∥AB ；

∵AD≠CB ；

∴四边形ABCD是直角梯形

方法（二）：设直线BC的解析式为y=mx+3；

把C（-1，4）代入，得m=－1；

∴直线BC的解析式为y=－x+3；

当y=0时，x=3，则E点的坐标为（3，0），即OE=3 ；

∵A（－3，0）、B（0，3）；

∴OA=OB=OE=3 。

∵∠BOA=∠BOE =90°

∴∠BAO=∠ABO=∠OEB =∠OBE=45°；

∴∠ABE=90°；

∴∠ABC=90°；

∵点D、B关于对称轴CN对称，∠BCM=45°；

∴∠DCM=45°，则∠DCB=90°；

∴DC∥AB ；

∵AD≠CB ；

∴四边形ABCD是直角梯形

25. （2011内蒙古赤峰，25，14分）如图（图1、图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CP于点F，FN⊥BC，交BC的延长线于点N。

（1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？为什么？

（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x, △ECF的面积为y。

①求y与x的函数关系式；

②当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值。

【答案】解：（1）相等。

理由：∵四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点

∴∠B=∠DCN=90°. AB=BC=2BE，

∴∠BAE+∠BEA=90°.

∵∠AEF=90°

∴∠AEB+∠FEC=90°.，

∴∠BAE=∠FEN.

∵CF是∠DCN的角平分线，∠FNC=90°。

∴∠FCN=∠CFN=45°.

∴FN=CN.

在Rt△ABE和Rt△ENF中

tan∠BAE=tan∠FEN = ==

∴EN=2FN，∴EC＋CN=2CN，∴FN=BE .

∴Rt△ABE≌Rt△ENF. 

∴AE=EF.

方法二：如图，取AB的中点M，连结ME.  

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠B=∠DCN=90°，

∵点E是BC的中点

∴AM=MB=BE=EC

在Rt△MBE中，∠BME=∠BEM=45°.

∴∠AME=135°；

∵CF是∠DCN的角平分线，

∴∠FCN=45°.

∴∠ECF=135°.

∴∠AME=∠ECF ；

∵∠AEF=90°  ；

∴∠AEB+∠FEC=90° ；

在Rt△ABE中，∠BAE+∠AEB=90°.

∴∠BAE=∠FEN  ；

∴△AME≌△ECF ；

∴AE=EF 。

       （2）①tan∠BAE= tan∠FEN =  =   ;

       ∴=   ;

       ∴BE(EC+CN)=CN(BE+EC) ;

       ∴BE·EC＋ BE·CN = BE·CN ＋CN·EC ;

       ∴BE·EC = CN·EC ;

       ∴BE = CN  ;

       ∴BE =FN = x ，      

 ∴。

  ②

  当x =2时，y有最大值为2.