2015山东理科数学试题及答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

注意事项：

    1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写答题卡和试卷规定的位置上.

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案试卷上无效.

3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须必须写在答题卡各题目指定区域相应的位置，不能写在试卷上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效.

4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 

注意事项：

如果事件A，B互斥，那么P(A＋B)＝P( A)＋P(B).

第Ⅰ卷(共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

(1)已知集合A＝{ x | x2－4 x＋3<0}，B＝{ x | 2 (A)(1，3)   (B)(1，4)   (C)(2，3)     (D)(2，4)

(2)若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝(    )

(A)1－i      (B)1＋i      (C)－1－i      (D)－1＋i 

(3)要得到函数y＝sin(4x－)的图象，只需要将函数y＝sin4x的图象(    )

(A)向左平移个单位     (B)向右平移个单位 

(C)向左平移个单位      (D)向右平移个单位

2015山东理科数学试题第1页(共4页)

(4)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°， 则＝(     )

   (A) a2     (B) a2     (C) a2    (D) a2

 (5)不等式| x－1|―| x－5|＜2的解集是(     )

   (A)(－00，4)  (B)(－00，1)   (C)(1，4)   (D)(1，5)

(6)已知x，y满足约束条件，若z＝ax＋y的最大值为4，则a =(     )

(A) 3         (B) 2         (C) -2      (D)-3

(7)在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD//BC，BC＝2AD＝2AB＝2. 将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(     )

    (A)        (B)       (C)        (D)2π

(8)已知某批零件的误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，3)，从中随机抽取一件，其长度

   误差落在区间(3，6)内的概率为(     )

(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ²))，则P(μ-σ<ξ<μ+σ)＝68.26%，P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)

＝95.44%.)

  (A)4.56%       (B)13.59%    (C)27.18%      (D)31.74%

(9)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光所在直线的斜率为(     )

  (A)或    (B)或    (C)或    (D)或

(10)设函数f(x)＝，f( f(a))＝2 f(a)则满足的a取值范围是(     )

  (A)[，1]   (B)[0，1]   (C)[，＋∞) (D) [1，＋∞)

第Ⅱ卷(共100分)

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

2015山东理科数学试题第2页(共4页)

 (11)观察下列各式：

C＝40；

C＋C＝41；

C＋C＋C＝42；

C＋C＋C＋C＝43；

…

照此规律，当n∈N时,

C＋C＋C＋…＋C＝        .

(12)若“∀x∈[0，]，tan x≤m”是真命题，则实

数m的最小值为        .

(13)执行右边的程序框图，则输出的T的值为        .

(14)已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝        .

(15)平面直角坐标系xOy中，双曲线C1： =1(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于A，B，若△OAB的垂心是C2的焦点，则C1的离心率为        .

三、解答题：本大题共6小题，共75分.

(16)(本题满分12分)

设函数f(x)=sin x cos x－cos2(x＋).

  (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；

(Ⅱ)在锐角∆ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，

     若f()=0，求△ABC面积的最大值.

(17)(本题满分12分)

 如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H

分别为AC，BC中点.

 (Ⅰ)求证：BD∥平面FGH；

 (Ⅱ)若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF＝DE，

∠BAC＝45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小.

2015山东理科数学试题第3页(共4页)

 (18)(本题满分12分)

 设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn＝3 n＋3.

  (Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

 (Ⅱ)若数列{bn}满足anbn＝log32，求数列{bn}的前n项和为Tn.

(19)(本题满分13分)

 若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等).

 在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分.

 (Ⅰ)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；

 (Ⅱ)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX.

(20)(本题满分13分)

      在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： =1(a＞b＞0)的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上.

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

 (Ⅱ)设椭圆E： =1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q；

 (ⅰ)求的值；

 (ⅱ)求△ABQ面积的最大值.

(21)( 本题满分14分)

设函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，其中a∈R.

()讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由；

(II)若∀x>0，f(x)≥0成立，求a的取值范围.

2015山东理科数学试题第4页(共4页)

绝密 启用前

2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)

理科数学试题参

一、选择题

(1)C  (2)A  (3)B  (4)D  (5)A  (6)B  (7)C  (8)B  (9)D  (10)C

二、填空题

(11) 4n-1  (12) 1  (13)  (14)  (15) 

三、解答题

(16) 解：(Ⅰ)由题意知 f(x)＝

＝＝

  由 －＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得 －＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；

由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；

所以f(x)的单调递增区间是[－＋kπ，＋kπ]( k∈Z)；

单调递增区间是[＋kπ，＋kπ]( k∈Z).

(Ⅱ)若f()=＝0，.

由题意知A为锐角，所以.

由余弦定理得  a2＝b2＋c2－2bccosA.

可得 1＋bc＝b2＋c2≥2bc.

即bc≤2＋，且当b＝c时等号成立.

因此，≤.

所以，△ABC面积的最大值为. 

(17)(Ⅰ)证法一

连接DG，CD. 设CD∩GF＝O.

在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，

G为AC中点，

可得DF∥GC，DF＝GC.

所以 四边形DFCG是平行四边形.

则O为DC的中点.

2015山东理科数学试题答案第1页(共7页)

 又H是BC的中点，所以 OH∥BD.

 又OH  平面FGH，BD 平面FGH，

     所以 BD∥平面FGH.

证法二

在三棱台DEF－ABC中，BC＝2EF，

H为BC中点，

可得BH∥EF，BH＝EF.

所以 四边形BHFE是平行四边形.

  可得  BE∥HF.

在△ABC中，G为AC中点，H为BC中点，所以 GH∥AB.

GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED.

 又BD  平面ABED，所以 BD∥平面FGH. 

 (Ⅱ)解法一

设ABC＝2，CF＝1，

在三棱台DEF－ABC中，G为AC中点，

DF＝AC＝GC， DF∥GC，

可得四边形DGCF是平行四边形.

因此 GD∥CF.

又因为CF⊥平ABC，所以 GD⊥平面ABC.

在△ABC中，由AB⊥BC，∠BAC＝45°，G为AC中点，

所以 AB＝AC，GB⊥GC，

因此 GB，GD，GC两两垂直.

以G为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G－xyz.

所以G(0，0，0)，B(，0，0)，C(0，，0)，D(0，0，1).

可得 H(，，0)，F(0，，1).

 故＝(，，0)，＝(0，，1).

设＝(x，y，z)是平面FGH的一个法向量，

由  可得 

可得平面FGH的一个法向量＝(1，－1，).

2015山东理科数学试题答案第2页(共7页)

因为是平面ACFD的一个法向量，

所以.

所以 平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小是60°. 

解法二

作HM⊥AC于点M，作MN⊥GF于点N，连接NH. 

由CF⊥平面ABC，得HM⊥FC.

又FC∩AC＝C，所以 HM⊥平面ACFD.

因此 GF⊥NH.

所以 ∠MNH即为所求的角.

在△BGC中，MH∥BG，MH＝BG＝，

由△CNM∽△GCF，

可得＝. 从而 MN＝.

由 HM⊥平面ACFD，MN  平面ACFD，

所以 HM⊥MN.

因此. 从而 ∠MNH＝60°.

所以 平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小是60°.

(18)解：(Ⅰ)因为 2Sn＝3n＋3，所以 2a1＝3＋3. a1＝3.

当n＞1时，2Sn－1＝3n－1＋3，

此时 2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1. 即 an＝3n－1.

所以数列{an}的通项公式是an＝

(Ⅱ)因为an bn＝log3an，所以bn＝.

当n＞1时，bn＝31－n log33n－1＝(n－1)·31－n.

所以 T1＝b1＝.

当n＞1时，

Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋[1×3－1＋2×3－2＋…＋(n－1)·31－n].

3Tn＝1＋[1×3＋2×3－1＋…＋(n－1)·32－n].

2015山东理科数学试题答案第3页(共7页)

两式相减得 

2Tn＝＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n)－(n－1)·31－n.

＝＋－(n－1)·31－n＝＋.

所以 Tn＝＋.

    经检验n＝1时也适合.

综上 Tn＝＋.

(19)解：(Ⅰ)个位数是5的“三位递增数”有

       125，135，145，235，245.

(Ⅱ)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C＝84，

随机变量X的取值为：0，－1，1，因此

P(X＝0)＝，P(X＝－1)＝，P(X＝1)＝.

所以X的分布列为

(20)解：(Ⅰ)由题意知 2a＝4，a＝2. 

    又， a2－c2＝b2，解得b＝1.

    所以椭圆C的方程为.

    (Ⅱ)由(Ⅰ)知 椭圆E的方程为.

(ⅰ)设P(x0，y0).，由题意知 Q(－λx0，－λy0).

因为.

又，即.

. λ＝2.  即.

2015山东理科数学试题答案第4页(共7页)

(ⅱ) 设A(x1，y1)，B(x2，y2).

将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，

可得 (1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0.

由 ⊿＞0， 可得 m2＜4＋16k2.          ①

则有 x1＋x2＝，x1x2＝.

所以 |x1－x2|＝.

因为 直线y＝kx＋m与y轴交于点(0，m)，

所以 △OAB的面积S＝|m|·|x1－x2|

＝

＝

＝.

设＝t.

将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，

可得 (1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.

由 ⊿≥0， 可得 m2≤1＋4k2.         ②

由①②可得  0＜t≤1.

所以 S＝.

故 S≤. 

当且仅当t＝1，即 m2＝1＋4k2时取得最大值.

由(ⅰ)知 △ABQ的面积3S，

所以 △ABQ面积的最大值为.

(21)解：(Ⅰ)由题意知 函数f(x)的定义域为(－1，＋∞).

f′(x)＝

令 g(x)＝2ax2＋ax－a＋1，x∈(－1，＋∞).

(1)当a＝0时，g(－1)＝1.

此时 f′(x)＞0，函数f(x)在(－1，＋∞)单调递增，无极值点；

(2)当a＞0时，⊿＝a2－8a(－a＋1)＝a(9a－8).

2015山东理科数学试题答案第5页(共7页)

①当0＜a≤时，⊿≤0，g(x)≥0，

f′(x)≥0，函数f(x)在(－1，＋∞)单调递增，无极值点；

②当a＞时，⊿＞0，

设方程2ax2＋ax－a＋1＝0的两个根分别为x1，x2(x1＜x2)，

因为 x1＋x2＝，所以x1＜，x2＞.

由 g(－1)＝1＞0，可得 －1＜x1＜.

所以 当x∈(－1，x1)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)在(－1，＋∞)单调递增；

当x∈( x1，x2)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)在(－1，＋∞)单调递减；

当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)在(－1，＋∞)单调递增；

      因此 函数f(x)有两个极值点.

(3)当a＜0时，⊿＞0， 可得x1＜－1，

当x∈(－1，x2)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)在(－1，＋∞)单调递增；

当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)在(－1，＋∞)单调递减；

  所以 函数f(x)有一个极值点.

  综上所述

当a＜0时，函数f(x)有一个极值点；

当0≤a≤时，函数f(x)无极值点；

当a＞时，函数f(x)有两个极值点.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，

 (1)当0≤a≤时，函数f(x)在(0，＋∞)单调递增，

    因为f(0)＝0，

    所以x∈(0，＋∞)时，f(x)＞0，符合题意；

 (2)＜a≤1时，由g(0)≥0，得 x2≤0，

    所以 函数f(x)在(0，＋∞)单调递增.

    又 f(0)＝0，所以 x∈(0，＋∞)，f(x)＞0，符合题意；

f(x)＞0，符合题意；

(3)当a＞0时，g(0)＜0，可得x2＞0.

所以 x∈(0，x2)时，函数f(x)在(0，x2)单调递减，

2015山东理科数学试题答案第6页(共7页)

因为f(0)＝0，

    所以x∈(0，x2)时，f(x)＜0，不符合题意；

(4)当a＜0时，设h(x)＝x－ln(x＋1).

因为 x∈(0，＋∞)，h′(x)＝1－＝＞0.

所以 h(x)在(0，＋∞)单调递增.

因此 当x∈(0，＋∞)时，h(x)＞h(0)＝0.

即 ln(x＋1)＜x.

可得 f(x)＜x＋a(x2－x)＝ax2＋(1－a)x，

当x＞1－时，ax2＋(1－a)x＜0，

此时 f(x)＜0，不合题意.

综上所述，a的取值范围[0，1].

2015山东理科数学试题答案第7页(共7页)