高中函数总结

4．复合函数：设 f(x)=2x3，g(x)=x2+2，则称 f[g(x)] =2(x2+2)3=2x2+1（或g[f(x)] =(2x3)2+2=4x212x+11）为复合函数

只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数

三、例题讲解

例1 求下列函数的定义域：

①；②；③ 

解：①∵x-2=0，即x=2时，分式无意义，

而时，分式有意义，∴这个函数的定义域是.

②∵3x+2<0，即x<-时，根式无意义，

而，即时，根式才有意义，

∴这个函数的定义域是{|}.

③∵当，即且时，根式和分式同时有意义，

∴这个函数的定义域是{|且}

例3下列函数中哪个与函数是同一个函数

⑴；⑵；⑶

解：⑴＝（）,，定义域不同且值域不同，不是； 

⑵＝（）,，定义域值域都相同，是同一个函数；

⑶＝||=,；值域不同，不是同一个函数

例4 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？

①          （定义域不同）

②     （定义域不同）

③       （定义域、值域都不同）

例5  若函数的定义域是R，求实数a 的取值范围（画图就可以求解）

解：∵定义域是R,∴

∴

例5 若函数的定义域为[1，1]，求函数的定义域

解：要使函数有意义，必须：

∴函数的定义域为： 

抽象函数：例6 已知f(x)满足，求；

∵已知           ①，

将①中x换成得        ②，

①×2-②得   ∴.

例1．求下列函数的值域

① y=3x+2(-1x1)      ②     

③            ④

解：①∵-1x1，∴-33x3，

∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]

②∵    ∴

即函数的值域是 { y| y2}

③   

 ∵（对角函数）    ∴

  即函数的值域是 { y| yR且y1}（此法亦称分离常数法）

④当x>0，∴=，

当x<0时， =－

∴值域是[2，+).（此法也称为配方法）

3 若求f(x)

解： 令则(t0)  则

    ∴f(x)=   (x0且x1)

例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：

①；          

 ②；

③；  ④；

解：∵，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. 

①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，

∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y-3 }.

②∵顶点横坐标2 [3,4]，

当x=3时，y= -2；x=4时，y=1； 

∴在[3,4]上， =-2， =1；值域为[-2，1].

③∵顶点横坐标2 [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,

∴在[0,1]上， =-2， =1；值域为[-2，1].

④∵顶点横坐标2 [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6,

∴在[0,1]上， =-3， =6；值域为[-3，6].

对于二次函数,

⑴若定义域为R时，

①当a>0时，则当时，其最小值；

②当a<0时，则当时，其最大值.

⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].

①若 [a,b],则是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较的大小决定函数的最大（小）值.

②若 [a,b],则[a,b]是在的单调区间内，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值.

注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；

②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.

3．判别式法（△法）：

判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论

例3．求函数的值域

方法一：去分母得  (y1) +(y+5)x6y6=0    ①

当 y1时  ∵xR  ∴△=(y+5) +4(y1)×6(y+1) 0

由此得 (5y+1) 0

检验  时  （代入①求根）

∵2  定义域 { x| x2且 x3}     ∴

再检验 y=1 代入①求得 x=2    ∴y1

综上所述，函数的值域为 { y| y1且 y}

方法二：把已知函数化为函数(x2)

  由此可得 y1     

∵ x=2时     即 

  ∴函数的值域为 { y| y1且 y}

4．换元法

例4．求函数的值域

解：设   则 t0   x=1

代入得 

         ∵t0    ∴y4

5．分段函数

例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 

解法1：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y3}.

解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+].  如图

函数的单调性1

教学目的：

（1）了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思

（2）理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间

（3）掌握运用函数的单调性定决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性

函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学

一、复习引入：

⒈ 复习：我们在初中已经学习了函数图象的画法.为了研究函数的性质，我们按照列表、描点、连线等步骤先分别画函数和的图象.的图象如图1，的图象如图2. 

⒉ 引入：从函数的图象（图1）看到：

图象在轴的右侧部分是上升的，也就是说，当在区间[0，+)上取值时，随着的增大,相应的值也随着增大，即如果取∈[0，+)，得到=,=,那么当<时，有<.

这时我们就说函数==在[0,+)上是增函数. 

图象在轴的左侧部分是下降的，也就是说， 

当在区间（-，0）上取值时，随着的增大，

相应的值反而随着减小，即如果取∈（-，0），得到=,=,那么当<时，有>.

这时我们就说函数==在(-,0)上是减函数.

⒈ 增函数与减函数

定义：对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，⑴若当<时，都有<,则说在这个区间上是增函数（如图3）；⑵若当<时，都有>,则说在这个区间上是减函数（如图4）.

⒉ 单调性与单调区间

若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.

例1 如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数. 

解：函数的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中在区间[-5，-2)，[1，3)上是减函数，在区间[-2，1)，[3，5]上是增函数.

例2 证明函数在R上是增函数.

证明：设是R上的任意两个实数，且<，则

－=(3+2)-(3+2)=3(－), 

由∴在R上是增函数.

例3 证明函数在(0,+)上是减函数.

证明：设,是(0,+)上的任意两个实数，且<，

则－=－=, 

由,∈(0,+)，得>0,

又由<,得－>0 ,于是－>0,即> 

∴在(0,+)上是减函数.

例4．讨论函数在(-2,2)内的单调性.（画图变可以求解）

解：∵，对称轴 

∴若,则在(-2,2)内是增函数；

若则在(-2,a)内是减函数,在[a,2]内是增函数

若,则在(-2,2)内是减函数.

3判断函数=在(-,0)上是增函数还是减函数并证明你的结论.

解：设,∈(-，0)，且<，

∵－=－==,

由,∈(-，0)，得>0,

又由<,得－>0 ,于是－>0,即 >.

∴=在(0,+)上是减函数.

能否说函数=在(-，+)上是减函数？

答：不能. 因为=0不属于=的定义域.

了解复合函数单调性的判断方法.

一、复习引入：

1.对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值

⑴若当<时，都有<,则说在这个区间上是增函数；

⑵若当<时，都有>,则说在这个区间上是减函数.

2.若函数在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.

3.判断证明函数单调性的一般步骤是：⑴设,是给定区间内的任意两个值，且<；⑵作差－，并将此差式变形（要注意变形的程度）；⑶判断－的正负（要注意说理的充分性）；⑷根据－的符号确定其增减性.

2．复合函数单调性的判断

对于函数和，如果在区间上是具有单调性，当时，，且在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性的规律见下表：

例2．求函数的值域，并写出其单调区间

解：题设函数由和复合而成的复合函数，

函数的值域是，

在上的值域是.

故函数的值域是.

对于函数的单调性，不难知二次函数在区间上是减函数，在区间上是增函数；

二次函数区间上是减函数，在区间上是增函数

当时，，即，或.

当时，，即，.

因此，本题应在四个区间，，，上考虑

① 当时，，

而在上是增函数，在上是增函数，所以，函数在区间上是增函数

②当时，，

而在上是增函数，在上是减函数，

所以，函数在区间上是减函数

③当时，，

而在上是减函数，在上是减函数，

所以，函数在区间上是增函数

④当时，，

而在上是增函数，在上是减函数，所以，函数在区间上是减函数

综上所述，函数在区间、上是增函数；在区间、上是减函数

反函数（一）

①；           ②；

③；           ④.

解：①由解得

∴函数的反函数是，

②由解得x=,

∴函数的反函数是

③由y=+1解得x=, 

∵x0，∴y1. 

∴函数的反函数是x= (x1);

④由解得 

∵x{xR|x1}，∴y{yR|y2}

∴函数的反函数是

例4 已知= -2x(x≥2),求.

解法1：⑴令y=-2x，解此关于x的方程得，

∵x≥2，∴，即x=1+--①, 

⑵∵x≥2，由①式知≥1，∴y≥0--②,

⑶由①②得=1+（x≥0，x∈R）；

解法2：⑴令y=-2x=-1，∴=1+y，

∵x≥2，∴x-1≥1，∴x-1=--①,即x=1+, 

⑵∵x≥2，由①式知≥1，∴y≥0,

⑶∴函数= -2x(x≥2)的反函数是=1+（x≥0）；