2022年高考数学真题分类汇编：数列

一、单选题(共6题；共12分)

1．（2分）（2022·浙江）已知数列  满足  ，则（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】【解答】由题意易知为递减数列，∴为递减数列，

因为，所以

∴，

又，则＞0，

∴，

∴，

∴，则，

∴

由得得

利用累加可得

∴，

∴；

综上，．

故选：B

【分析】分析可知数列{an}是单调递减数列，根据题意先确定上限，得到，由此可推得100an＜3，再将原式变形确定下限，可得，由此可推得，综合即可得到答案．

2．（2分）（2022·新高考Ⅱ卷）中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图，  是举，   是相等的步，相邻桁的举步之比分别为  ，若  是公差为0.1的等差数列，且直线  的斜率为0.725，则  （　　）  

A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9

【答案】D

【解析】【解答】设  ，则  ， 

根据题意，有  ，且  ，

所以  ，故  .

故答案为：D

【分析】设  ，可得关于  的方程求解即可.

3．（2分）（2022·全国乙卷）已知等比数列  的前3项和为168，  ，则  （　　）  

A．14 B．12 C．6 D．3

【答案】D

【解析】【解答】解：设等比数列  的公比为  ，首项为  ， 

若  ，则  ，与已知条件矛盾，

所以  ，由题意可得  ，解得  ，

所以  .

故选：D.

【分析】设等比数列  的公比为  ，首项为  ，易得  ，根据等比数列的通项以及前n项和公式列方程组，求出首项与公比，最后根据通项即可求解.

4．（2分）（2022·全国乙卷）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列  ：  ，  ，  ，…，依此类推，其中  ．则（　　）  

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】【解答】解：因为  ， 

所以  ，  ，故  ，

同理可得  ，  ，

又因为  ，

故  ，  ；

以此类推，可得  ，故A错误；

 ，得  ，故C错误；而  ，故B错误；

 ，得  ，故D正确.

故选：D

【分析】根据  ，再利用数列  与  的关系判断  中各项的大小，即可求解.

5．（2分）（2022·浙江学考）通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2，3之间插入2与3的积6，得到数列2，6，3；第2次，在2，6，3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2，12，6，18，3；类似地，第3次操作后，得到数列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述这样操作11次后，得到的数列记为  ，则  的值是（）  

A．6 B．12 C．18 D．108

【答案】A

【解析】【解答】设数列经过第  次拓展后的项数为  ，因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，则经过第  次拓展后增加的项数为  ， 

所以  ，

即  ，即  ，

所以数列  是以  为首项，2为公比的等比数列，

是以  ，所以  ，

则经过11次拓展后在  与6之间增加的数为  ，

所以经过11次拓展后6所在的位置为第  ，

所以  。

故答案为：A.

 【分析】设数列经过第  次拓展后的项数为  ，再利用数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，则经过第  次拓展后增加的项数为  ，再利用已知条件得出，再利用递推公式变形结合等比数列的定义，从而判断出数列  是以  为首项，2为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式，进而得出数列的通项公式，进而得出经过11次拓展后在  与6之间增加的数 ，从而得出经过11次拓展后6所在的位置，进而得出  的值 。

6．（2分）（2022·上海）已知  为等比数列，  的前n项和为  ，前n项积为  ，则下列选项中正确的是（　　）  

A．若  ，则数列  单调递增

B．若  ，则数列  单调递增

C．若数列  单调递增，则 

D．若数列  单调递增，则 

【答案】D

【解析】【解答】解：对于A，设，显然有 ，但数列  单调递减，故A错误；

对于B，设an=-2n， 显然有  ，但数列  单调递减，故B错误；

对于C，设，显然有数列  单调递增，但 ，故C错误； 

对于D，若数列{Tn}单调递增，则Tn>Tn-1>0，则an>1，q≥1，则，故D正确.

故答案为：D

【分析】根据等比数列的性质，结合特殊值法求解即可.

二、填空题(共3题；共4分)

7．（1分）（2022·全国乙卷）记  为等差数列  的前n项和．若  ，则公差 　     　．  

【答案】2

【解析】【解答】由  可得  ，化简得  ，即  ，解得  . 

故答案为：2

【分析】转化条件为  ，即可得解.

8．（1分）（2022·北京）已知数列  的各项均为正数，其前  项和  ，满足  给出下列四个结论：  

① 的第2项小于3；    ② 为等比数列；

③ 为递减数列；    ④ 中存在小于  的项。

其中所有正确结论的序号是　     　．

【答案】①③④

【解析】【解答】  ，可得  ，又各项均为正，可得  ，令  可得  ，可解得  ，故①正确；

 当  时，由  得  ，于是可得  ，即  ，若  为等比数列，则  时  ，即从第二项起为常数，可检验  则不成立，故②错误；

 ，可得  ，于是  ，所以  ，于是③正确；

对于④，若所有项均大于等于  ，取  ，则  ，  ，于是  与已知矛盾，所以④错误.

【分析】先令  、  计算数列的首项和第二项即可判断①；根据  的关系，求得  假设  为等比数列，经检验n=3不成立，判断②错误；由  ，可得  ，于是  ，所以  ，于是③正确；利用反证法推出矛盾即可判断④.

9．（2分）（2022·浙江学考）若数列  通项公式为  ，记前n项和为  ，则 　     　； 　     　.  

【答案】4；20

【解析】【解答】因为  ，所以  ， 

又因为  ，  ，所以数列  是以2为首项2为公差的等差数列，

则  。

故答案为：4；20。

 【分析】利用已知的数列的通项公式结合代入法得出数列的第二项的值；再利用等差数列的定义判断出数列  是以2为首项2为公差的等差数列，再利用等差数列前n项和公式，进而得出等差数列前4项的值。

三、解答题(共7题；共60分)

10．（5分）（2022·浙江）已知等差数列  的首项  ，公差  ．记  的前n项和为  ． 

（Ⅰ）若  ，求  ；

（Ⅱ）若对于每个  ，存在实数  ，使  成等比数列，求d的取值范围．

【答案】解：（Ⅰ） 设  ，依题意得，  . 

解得  ，则  ，

于是  .

（Ⅱ）设  ，依题意得，

 ，

故 

 对任意正整数n成立.

 时，显然成立；

 时，  ，则  ；

 时，  .

综上所述，  .

【解析】【分析】（Ⅰ）由等差数列  的首项  及可得关于公差d的方程，再由公差d的范围可得d的值，最后根据等差数列的前n项和公式可得；

 （Ⅱ） 设  ， 由成等比数列，可得关于的二次方程，由判别式大于等于0可得d的表达式，对n分情况讨论可得d的取值范围．

11．（10分）（2022·新高考Ⅱ卷）已知  为等差数列，  是公比为2的等比数列，且  ．  

（1）（5分）证明：  ；  

（2）（5分）求集合  中元素个数．  

【答案】（1）证明：设数列  的公差为  ，所以，  ，即可解得，  ，所以原命题得证． 

（2）解：由（1）知  ，  

由  知： 

即  ，即  ，

因为  ，故  ，解得 

故集合  中元素的个数为9个.

【解析】【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；

（2）根据题意化简可得，即可解出．

12．（10分）（2022·全国甲卷）记  为数列  的前n项和．已知  ．  

（1）（5分）证明：  是等差数列；  

（2）（5分）若  成等比数列，求  的最小值．  

【答案】（1）已知  ，即 ①，  

当  时， ②，

①-②得，  ，

即  ，

即  ，所以  ，  且  ，

所以  是以1为公差的等差数列．

（2）由（1）中  可得，  ，  ，  ，  

又  ，  ，  成等比数列，所以  ，

即  ，解得  ，

所以  ，所以  ，

所以，当  或  时  ．

【解析】【分析】（1）依题意可得 ，根据 ，作差即可得到   ，从而得证； 

（2）由（1）及等比中项的性质求出a1，即可得到{an}的通项公式与前n项和，再根据二次函数的性质计算可得．

13．（5分）（2022·北京）已知  为有穷整数数列．给定正整数  ，若对任意的  ，在  中存在  ，使得  ，则称  为  连续可表数列． 

（Ⅰ）判断  是否为5-连续可表数列？是否为  连续可表数列？说明理由；

（Ⅱ）若  为  连续可表数列，求证：  的最小值为4；

（Ⅲ）若  为  连续可表数列，  ，求证：  ．

【答案】（Ⅰ） 若，则对于任意，，所以Q是5-连续可表数列；由不存在任意连续若干项之和相加为6，所以Q不是6-连续可表数列； 

（Ⅱ）若  ，设为a，b，c，则至多  6种矛盾  满足

（Ⅲ）若k≤5，则  至多可表15个数，与题意矛盾，若  至多可表21个数，而  ，所以其中有负的，从而a，b，c，d，e，f可表  及那个负数（恰21个)

这表明  中仅一个负的，没有0，且这个们的在  中绝对值最小，同时  中没有两数相同，设那个负数为 

则所有数之和  ，再考虑排序

 (仅一种方式)

∴-1与2相序

若-1不在两端，则"    2  ___"形式

若  ，则  (2种方式矛盾)

 ，问理  ，故-1在一端，不妨为"  形式

右  ，则  (2种矛盾)  同理不行

 ，则  (2种矛盾)从而 

由  ，由表法唯一知3，4不相邻，故只能 ①

或 ②这2种情形

对① 矛后

对② 也矛盾

综上 

【解析】【分析】 （Ⅰ）根据可表数列的定义即可判断；

（II）反证法：假设，则最多能表示6个数字，与Q为8-连续可表数列矛盾，故k≥4；

 （III） 若k≤5，则  至多可表15个数 ，至多可表21个数，而  ，所以至少要有6个正整数连续可表1-20个正整数，即至少6个正整数和一个负数才能满足题意，故.

14．（10分）（2022·新高考Ⅰ卷）记  为数列  的前n项和，已知  是公差为  ，的等差数列.

（1）（5分）求  的通项公式；

（2）（5分）证明： 

【答案】（1）因为  是公差为  的等差数列，而  ， 

所以 ①

 时， ②

①-②有：  .

所以  ，

以上式子相乘，得 

经检验，  时，  ，符合.

所以  .

（2）由（1）知 

所以 

所以  =  = 

因为  ，所以  ，

所以  ，

即  ．

【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式可得  ，由利用Sn与an的关系，得  ，再利用累积法，可得an；

（2）由（1）得  ，利用裂项相消求和求得  ，再解不等式即可.

15．（10分）（2022·新高考Ⅰ卷）已知函数  和  有相同的最小值.

（1）（5分）求a；

（2）（5分）证明：存在直线  ，其与两条曲线  和  共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

【答案】（1）因为  ，所以  ， 

若  ，则  恒成立，

所以  在  上单调递增，无最小值，不满足；

若  ，令f’（x）＞0⇒x＞lna，令f’（x）＜0⇒x＜lna，

所以  ，

因为  ，定义域  ，所以  ，

所以  ，

所以  ，

依题有  ，即  ，

令  ，则  恒成立

所以  在  上单调递增，又因为  ，

 有唯一解  ，

综上， 

（2）由(1)易知  在  上单调递减，在  上单调递增，  在  上单调递减，在  上单调递增， 

存在直线  ，其与两条曲线  和  共有三个不同的交点，

设三个不同交点的横坐标分别为  ，不妨设  ，

显然有  ，

则肯定有  ，

注意  的结构，易知  ，

所以有  ，所以有  ，而由  在  上单调递减，

知  ，同理  ，

所以  ，

又由  ，

故  ，

所以存在直线  ，其与两条曲线  和  共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

【解析】【分析】（1）对a分  ，  两种情况，利用导数研究函数f(x)的单调性，并求得  ，同理可得  ，根据题意列式，构造函数  ，并利用导数h’(a)，可得函数h(x)的单调性，并易得h(1)=0，从而求得a；   

（2）由(1)易得函数f(x)，g(x)的单调性，易得  ，同时根据  ，可得  ，  ，从而得  ，再由对数运算可证  ，结论得证.

16．（10分）（2022·上海）已知数列  ，  ，  的前n项和为  .

（1）（5分）若  为等比数列，  ，求  ；

（2）（5分）若  为等差数列，公差为d，对任意  ，均满足  ，求d的取值范围.

【答案】（1）设等比数列的公比为q，则由题意得a1=2， 

则

 则

 则 

（2）由题意得

 则(3-2n)d≤1

 当n=1时，d≤1；

 当n≥2时，恒成立；

 ∵

 ∴d≥0

 综上 

【解析】【分析】（1）根据等比数列的前n项和公式，结合极限求解即可；

（2）根据等差数列的前n项和公式，结合不等式的解法求解即可.