2014肇庆二模(文数)【含答案--全WORD--精心排版】

2014届高中毕业班第二次模拟考试

数学（文科）

参考公式：列联表随机变量.与对应值表：

1．已知是虚数单位，是实数，若复数是纯虚数，则（    ）

   A．2                 B．                 C．              D． 

2．若函数的定义域为，值域为，则（    ）

   A．        B．       C．    D． 

3．已知，，则（    ）

   A．             B．          C．             D． 

4．已知向量，则“且”是“”的（    ）

   A．充分而不必要条件     B．必要而不充分条件     C．充分必要条件     D．既不充分也不必要条件

5．若如图1所示的程序框图输出的S是62，则在判断框中M表示的“条件”应该是（    ）

   A.         B.        C.         D. 

6．已知圆锥的正视图和侧视图都是边长为4的等边三角形，则此圆锥的表面积是（    ）

   A．       B．       C．         D． 

7．已知直线：，圆上恰有3个点到直线的距离都等于1，则（    ）

   A．       B．      C．       D． 

8．若函数（），则是（    ）

   A．最小正周期为的偶函数             B．最小正周期为的奇函数

   C．最小正周期为的偶函数             D．最小正周期为的奇函数

9．已知实数，函数，若，则的值为（    ）

   A．       B．        C．         D． 

10．定义集合运算：，设集合，，则集合的

    所有元素之和为（    ）

    A．0         B．6          C．12           D．18

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. 

（一）必做题（11～13题）

11．已知等比数列满足，则     .

12．函数的最小值为      .

13．设不等式组所表示的平面区域为D，若直线与D有公共点，则k的取值范围是      .  

（二）选做题（14～15题）

14．（坐标系与参数方程选做题）已知C的参数方程为(为参数)，C在点（0，3）处的切线为l，

若以直角坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，

则l的极坐标方程为                  .

15.（几何证明选讲选做题）如图2，在中，AB=BC，圆O是的外接圆，

    过点C的切线交AB的延长线于点D， BD=4，，则AC的长等于     ．

三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 

16.（本小题满分12分）为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在我市某普通中学高中生中随机抽取200名学生，得到如下列联表：

（2）若采用分层抽样的方法从喜欢数学课的学生中随机抽取5人，则男生和女生抽取的人数分别是多少？

（3）在（2）的条件下，从中随机抽取2人，求恰有一男一女的概率.

17．（本小题满分13分）已知数列是等差数列，是等比数列，且，，.  （1）求数列和的通项公式；

（2）数列满足，求数列的前n项和.

18．（本小题满分13分）如图3，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，且DAB=60. 侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点.

（1）求证：BG平面PAD；（2）求三棱锥G—CDP的体积；

（3）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD，并证明你的结论.

19．（本小题满分14分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，且a、b、c成等比数列.（1）求的值；（2）若，求的值.

20．（本小题满分14分）已知双曲线C的两个焦点坐标分别为，双曲线C上一点P到距离差的绝对值等于2.（1）求双曲线C的标准方程；

（2）经过点M（2，1）作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程.

（3）已知定点G（1，2），点D是双曲线C右支上的动点，求的最小值．

21．（本小题满分14分）已知函数，．

（1）若a=1，判断函数是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；

（2）求函数的单调区间；

（3）设函数．若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围．

肇庆市2014届高中毕业班第二次模拟考试

数学（文科）参及评分标准

一、选择题

三、解答题 

16.（本小题满分12分）

解：（1）∵，                  （2分）

∴约有97.5%以上的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”.         （4分）

（2）男生抽取的人数有：（人）  （5分），女生抽取的人数有：（人）   （6分）

（3）由（2）可知，男生抽取的人数为3人，设为a，b，c，女生抽取的人数为2人，设为d，e，则所有基本事件有： 共10种.（8分）

其中满足条件的基本事件有： 共6种，   (10分)

所以，恰有一男一女的概率为.                            （12分）

17.（本小题满分13分）

解：（1）设的公差为,的公比为，由，得，从而，   （2分）

因此，即.                          （4分）

由，得，                   （6分）

所以，       （7分），故，即.     （8分）

（2）                                  （9分）

所以          （10分）

两边同乘以2，得（11分）

两式相减得                   （12分）

，所以.      （13分）

18.（本小题满分13分）

（1）证明：连结BD. 因为ABCD为棱形，且∠DAB=60°，所以ABD为正三角形.       （1分）

又G为AD的中点，所以BG⊥AD. （2分），又面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD， （3分）

∴BG⊥平面PAD.          （4分）

（2）因为G为正三角形PAD的边AD的中点，所以PGAD，又面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，

所以PG⊥平面ABCD.  （5分），因为正三角形PAD的边长为2，所以.      （6分）

在CDG中，CD=2，DG=1，∠CDG=120°，所以.     （7分）

故.                            （8分）

（3）当F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD.                  （9分）

取PC的中点F，连结DE，EF，DF，CG，且DE与CG相交于H.

因为E、G分别为BC、AD的中点，所以四边形CDGE为平行四边形.  （10分）

故H为CG的中点. 又F为CP的中点，所以FH//PG.                （11分）

由（2），得PG平面ABCD，所以FH平面ABCD.                  （12分）

又FH平面DEF，所以平面DEF⊥平面ABCD.                     （13分）

19.（本小题满分14分）

解：（1）由a、b、c成等比数列，得.（1分），由正弦定理，得. （3分）

所以.     （7分）

（2）由，得.                              （8分）

又，所以. （9分），所以. （10分）

由余弦定理，得，（13分）

代入数值，得，解得.       （14分）

20.（本小题满分14分）

解：（1）依题意，得双曲线C的实半轴长为a=1，焦半距为c=2，      （2分）

所以其虚半轴长，                              （3分）

又其焦点在x轴上，所以双曲线C的标准方程为.          （4分）

（2）设A、B的坐标分别为、，则     （5分）

两式相减，得，            （6分）

因为M（2，1）为AB的中点，所以，                 （7分）

所以，即.           （8分）

故AB所在直线l的方程为，即.      （9分）

（3）由已知，得，即，           （10分）

所以，当且仅当    三点共线时取等号.（11分）

因为，  （12分），所以，  （13分）

故的最小值为.    （14分）

21.（本小题满分14分）

解：（1）当时，，其定义域为（0，+）.

因为，  （1分），所以在（0，+）上单调递增，    （2分）

所以函数不存在极值.      （3分）

（2）函数的定义域为． 

当时，因为在（0，+）上恒成立，所以在（0，+）上单调递减. （4分）

当时，当时，方程与方程有相同的实根.   （5分）

，①当时，>0，可得，，且

因为时，，所以在上单调递增；       （6分）

因为时，，所以在上单调递减；     （7分）

因为时，，所以在上单调递增；   （8分）

②当时，，所以在（0，+）上恒成立，故在（0，+）上单调递增.   （9分）

综上，当时，的单调减区间为（0，+）；当时，的单调增区间为与；单调减区间为；当时，单调增区间为（0，+）. （10分）

（3）由存在一个，使得成立，得，即.   （11分）

令，等价于“当时，”.   （12分）

因为，且当时，，所以在上单调递增，（13分）

故，因此.                                   （14分）