选修4—5不等式选讲高考题及答案

2、已知函数.

〔1〕当时，求不等式的解集；

〔2〕假设的解集包含，求的取值范围.

3、假设关于实数的不等式无解，则实数的取值范围是            .

4、假设不等式的解集为，则实数      .

5、不等式的实数解为              .

6、已知函数.

〔1〕当时，求的解集；

〔2〕假设关于的不等式的解集是，求的取值范围.

7、已知函数.

〔1〕假设不等式的解集为，求实数的值；

〔2〕在〔1〕的条件下，假设对一切实数恒成立，求实数的取值范围.

8、已知函数，其中.

〔1〕当时，求不等式的解集；

〔2〕已知关于的不等式解集为，求的值.

9、设函数，其中.

〔1〕当时，求不等式的解集；

〔2〕假设不等式的解集为，求的值.

10、已知、、，其.

求证：〔1〕；

〔2〕.

11、设、、，其.

求证：〔1〕；

〔2〕.

12、已知，，证明：.

13、已知函数，，且的解集为.

〔1〕求的值；

〔2〕假设a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.

14、假设3x＋4y＝2，则x2＋y2的最小值为       .

15、求函数的最大值.

1、解：①当x≤－1时，原不等式可化为

－(x＋1)－(x－1)≥3，解得：x≤－.

②当－1x＋1－(x－1)≥3，即2≥3.不成立，无解．

③当x≥1时，原不等式可以化为

x＋1＋xx≥.[9分]

综上，可知原不等式的解集为.

2、解　(1)当a＝－3时，f(x)＝

当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；

当2当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4.

所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．

(2)f(x)≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.

当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|

⇔4－x－(2－x)≥|x＋a|⇔－2－a≤x≤2－a.

由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.

故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．

3、解析　∵|x－5|＋|x＋3|＝|5－x|＋|x＋3|

≥|5－x＋x＋3|＝8，

∴(|x－5|＋|x＋3|)min＝8，

要使|x－5|＋|x＋3|4、解析　∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.

∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.

5、解析　∵≥1，∴|x＋1|≥|x＋2|.

∴x2＋2x＋1≥x2＋4x＋4，∴2x＋3≤0.

∴x≤－且x≠－2.

6、解　(1)由题设知|x＋1|＋|x－2|>5，

不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：

或或

解得函数f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(3，＋∞)．

(2)不等式f(x)≥2即|x＋1|＋|x－2|>m＋2，

∵x∈R时，恒有|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，

不等式|x＋1|＋|x－2|≥m＋2解集是R，

∴m＋2≤3，m的取值范围是(－∞，1]．

7、解　方法一　(1)由f(x)≤3得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.

又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，

所以解得a＝2.

(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)，

于是g(x)＝|x－2|＋|x＋3|＝

所以当x<－3时，g(x)>5；

当－3≤x≤2时，g(x)＝5；

当x>2时，g(x)>5.

综上可得，g(x)的最小值为5.

从而，假设f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]．

方法二　(1)同方法一．

(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|.

设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)．

由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)，得g(x)的最小值为5.

从而，假设f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]．

8、解　(1)当a＝2时，

f(x)＋|x－4|＝

当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，解得x≤1；

当2＜x＜4时，f(x)≥4－|x－4|无解；

当x≥4时，由f(x)≥4－|x－4|得2x－6≥4，解得x≥5；

所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}．

(2)记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，

则h(x)＝

由|h(x)|≤2，解得≤x≤.

又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，

所以于是a＝3.

9、解：〔Ⅰ〕当时，可化为。由此可得  或。

故不等式的解集为或。

( Ⅱ) 由 得

此不等式化为不等式组  或即    或

因为，所以不等式组的解集为由题设可得= ，故

10、证明　(1)∵a，b，c∈(0，＋∞)，

∴a＋b≥2，b＋c≥2，c＋a≥2，

(－1)·(－1)·(－1)

＝

≥＝8.

(2)∵a，b，c∈(0，＋∞)，

∴a＋b≥2，b＋c≥2，c＋a≥2，

2(a＋b＋c)≥2＋2＋2，

两边同加a＋b＋c得

3(a＋b＋c)≥a＋b＋c＋2＋2＋2

＝(＋＋)2.

又a＋b＋c＝1，∴(＋＋)2≤3，

∴＋＋≤.

11、证明　(1)要证a＋b＋c≥，

由于a，b，c>0，因此只需证明(a＋b＋c)2≥3.

即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，

而ab＋bc＋ca＝1，

故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)．

即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.

而这可以由ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2 (当且仅当a＝b＝c时等号成立)证得．

∴原不等式成立．

(2) ＋ ＋ ＝.

在(1)中已证a＋b＋c≥.

因此要证原不等式成立，只需证明≥＋＋.

即证a＋b＋c≤1，

即证a＋b＋c≤ab＋bc＋ca.

而a＝≤，

b≤，c≤.

∴a＋b＋c≤ab＋bc＋ca (a＝b＝c＝时等号成立)．

∴原不等式成立．

12、证明：因为x>0，y>0，

所以1＋x＋y2≥3>0，

1＋x2＋y≥3>0，

故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy.

21、(1)解　因为f(x＋2)＝m－|x|，

f(x＋2)≥0等价于|x|≤m.

由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．

又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.

(2)证明　由(1)知＋＋＝1，

又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得

a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)

≥2＝9.

13、解　由柯西不等式(32＋42)·(x2＋y2)≥(3x＋4y)2，①

得25(x2＋y2)≥4，所以x2＋y2≥.

不等式①中当且仅当＝时等号成立，x2＋y2取得最小值，

由方程组解得

因此当x＝，y＝时，x2＋y2取得最小值，最小值为.

14、函数的定义域为[5，9]