探究中考数学题中正方形中的十字架模型

一、考题研究

在特殊的四边形问题中翻折的问题是比较常见的，不论是期中、期末和中考中都比较常见，能否采用合适的方法求出线段长，或者是利用面积之间关系求线段之间关系，这就是我们今天重点学习的一个模型“十字架模型”

二、知识回顾

1、全等三角形的性质与判定

2、相似三角形的性质与判定

3、矩形和正方形的性质与判定

4、图形的变换--轴对称

三、十字架模型

【十字架模型】--正方形

第一种情况：过顶点

在正方形ABCD中，AE⊥BF，可得AE=BF，借助于同角的余角相等，证明△BAF≌△ADE（ASA）

所以AE=BF  

第二种情况：不过顶点

在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH

也可以如下证明

在正方形ABCD中，E，F，G，H分别AB、BC、CD、DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH

【导入】如图，将边长为4的正方形纸片折叠，使得点落在边的中点处，折痕为，点、分别在边、上，则折痕的长度为______．

【分析】过点作于，根据翻折变换的性质可得，然后求出，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用勾股定理列式求出，从而得解．

【解答】法一：解：如图，过点作于，则四边形中，，

由翻折变换的性质得，

，，

，

四边形是正方形，

，

，

在和中，

，

，

，

点是的中点，

，

在中，由勾股定理得，，

的长为．

故答案为：．

【点评】本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．

法二：分析：连接AE，求解FG相当于求AE。线段AE是直角△ADE的斜边，运用勾股定理求解即可

解：连接AE，由对称的性质可得：FG⊥AE且FG平分线段AE

由十字架模型可得：FG=AE==

【十字架模型】--矩形

在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，其中：AE⊥BF，探究AE与BF的关系；

可证：△ADE∽△B所以  

在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的点，其中：EG⊥FH，探究EG与FH的关系

【解答】

可证：△ADN∽△BAM  

∴

∴

但是只有垂直的条件，点的位置发生变化，那么可以证明出相似三角形，但是线段之间的关系不在成立

在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，其中EG⊥FH，探究EG与FH的关系

可证△EOH∽△GOF

但是与的关系不再相等

四：十字架模型的应用

【例1】（1）如图1，四边形为正方形，，那么与相等吗？为什么？

（2）如图2，在中，，，为边的中点，于点，交于，求的值；

（3）如图3，中，，为边的中点，于点，交于，若，，求．

【分析】（1）先判断出，再利用同角的余角相等，判断出，进而得出，即可得出结论；

（2）构造出正方形，同（1）的方法得出，进而得出，再判断出，即可得出结论；

（3）先构造出矩形，同（1）的方法得，，进而判断出，即可求出，再同（2）的方法判断出，建立方程即可得出结论．

【解答】解：（1），理由：

四边形是正方形，

，，

，

，

，

，

在和中，，

，

，

（2）在（1）十字架模型的启发下，我们补全图形，过点A、C分别做AB、BC的垂线，交于点G，延长BF交CG与H，那么就可以证明△ABD与△BCH全等，所以BD=CH

补全图形后，借助八字形相似，即可得出AF：CF的值

可证△ABF∽△CHF，∴=

∵点D为BC边的中点

∴BD=BC，又∵BA=BC

∴CH=BD=AB

∴==2

（3）思方法同上，补图后，先通过证明两个三角形相似，求出CH的长;然后借助“八字型“相似，即可得出AF:FC＝9:8;由勾股定理可求AC＝5，那么就可以求出线段CF的值。

CF=AC==

【变式】如图1，在正方形中，．分别为、的中点，连接、，交点为．

（1）求证：；

（2）将沿对折，得到（如图，延长到的延长线于点，求的值；

（3）将绕点逆时针方向旋转，使边正好落在上，得到（如图，若和相交于点，当正方形的面积为4时，求四边形的面积．

【分析】（1）只要证明，即可推出，由，推出，推出；

（2）首先证明，设，则，在中，设，可得，推出，根据计算即可．

（3）由，推出，推出，推出，推出，根据四边形的面积计算即可．

【解答】（1）证明：如图1中，

、分别是正方形边、的中点，

，

在和中，

，

，

，

，

，

，

．

（2）解：如图2中，

由题意，，，

，

，

，

，设，则，

在中，设，

，

，

．

（3）如图3中，

正方形的面积为4，

边长为2，

，，，，

，

，

，

，

，

四边形的面积．

【例2】【探究证明】

（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．

如图1，矩形中，，分别交，于点，，分别交，于点，．求证：；

【结论应用】

（2）如图2，在满足（1）的条件下，又，点，分别在边，上，若，则的值为　　；

【联系拓展】

（3）如图3，四边形中，，，，，点，分别在边，上，求的值．

【分析】（1）过点作，交于，过点作，交于，如图1，易证，，，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；

（2）只需运用（1）中的结论，就可得到，就可解决问题；

（3）过点作平行于的直线，交过点平行于的直线于，交的延长线于，如图3，易证四边形是矩形，由（1）中的结论可得．设，，则，，在中根据勾股定理可得①，在中根据勾股定理可得②，解①②就可求出，即可得到，问题得以解决．

【解答】解：（1）过点作，交于，过点作，交于，如图1，

四边形是矩形，，．

四边形、四边形都是平行四边形，

，．

又，，

．

四边形是矩形，，

，

．

，

，

；

（2）如图2，

，，

由（1）中的结论可得，，

．

故答案为；

（3）过点作平行于的直线，交过点平行于的直线于，交的延长线于，如图3，

则四边形是平行四边形．

，是矩形，

，，．

，

由（1）中的结论可得．

设，，则，，

在中，①，

在中，②，

由②①得③，

解方程组，得

（舍去），或，

，

．

【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解二元二次方程组等知识，运用（1）中的结论是解决第（2）、（3）小题的关键．

五、总结

模型结论：在正方形的对边分别取点并相连，所得两条线段①若垂直，则相等②若相等，则垂直

注意：十字架模型的前提是：对边取点连线，如图：EF⊥GH，但是GH并不是对边取点所连线段，所以EF不一定等于GH

在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，其中：AE⊥BF，探究AE与BF的关系；

可证：△ADE∽△B所以  

六、课后练习

　1. 如图，将边长为6的正方形纸片对折，使与重合，折痕为，展平后，再将点折到边上，使边经过点，折痕为，点的对应点为，点的对应点为

（1）若，则______或___________　（用含的代数式表示）；

（2）求折痕的长．

【分析】（1）利用翻折变换的性质结合勾股定理表示出的长即可；

（2）首先得出，进而求出的长，再利用，求出的长，再利用勾股定理得出的长．

【解答】解：（1），，

设，则，

故，

整理得：，

，，

，

，

，

解得：，

故答案为：或；

（2）方法一：

四边形为正方形，

，

设，由题意可得：，，，

故，

，，

，

，

即，

解得：，，

当时，

，

，

在中，由勾股定理得：，

，

，，

，

，

，

解得：，

由翻折变换的性质，得，

过点作，垂足为，

则，，

当时，，

，

在中，．

当时，

则，

点和点重合，点和点重合，点在点处，点在点处．

同样经过点，折痕的长就是的长．

所以，长为．

方法二：有上面方法得出，

连接，

可得，

则可得，

在和中

，

，

，

．