2020-2021学年辽宁省沈阳126中九年级(上)月考数学试卷(10月份)(附...

试卷（10月份）

一、选择题（本大题共10小题，共20.0分）

1.一元二次方程2x2+3x−5=0的常数项是()

A. −5

B. 2

C. 3

D. 5

2.若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是()

A. 2a=3b

B. 3a=2b

C. b

a =2

3

D. a−b

b

=1

3

3.一元二次方程x2−4x−4=0的根的情况为()

A. 有两个不相等的实数根

B. 有两个相等实数根

C. 有一个实数根

D. 没有实数根

4.已知一元二次方程x2+k−3=0有一个根为1，则k的值为()

A. −2

B. 2

C. −4

D. 4

5.小明在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计

图如图所示，则最可能符合这一结果的实验是()

A. 掷一枚骰子，出现4点的概率

B. 抛一枚硬币，出现反面的概率

C. 任意写一个整数，它能被3整除的概率

D. 从一副扑克中任取一张，取到“大王”的概率

6.如图，△ABC为等腰三角形，如果把它沿底边BC翻折后，

得到△DBC，那么四边形ABDC为()

A. 一般平行四边形

B. 正方形

C. 矩形

D. 菱形7.如图，直线l1//l2//l3，直线l1、l2、l3分别和直线m

交于点A、B、C，和直线n交于点A1、B1、C1，若AB=6，

AC=9，AB1=8，则线段B1C1的长为()

A. 2

B. 3

C. 4

D. 6

8.男篮世界杯小组赛，每两队之间进行一场比赛，小组赛共进行了6场比赛，设该小

组有x支球队，则可列方程为()

A. x(x−1)=6

B. x(x+1)=6

C. 1

2x(x−1)=6 D. 1

2

x(x+1)=6

9.如图，D是BC上的点，∠ADC=∠BAC，则下列结论

正确的是()

A. △ABC∽△DAB

B. △ABC∽△DAC

C. △ABD∽△ACD

D. 以上都不对

10.等腰三角形的三边均满足方程x2−7x+10=0，该等腰三角形的周长是()

A. 12

B. 12或9

C. 12或6或15

D. 12或9或6或15

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.如果四条线段m，n，x，y成比例，若m=2，n=8，y=20，则线段x的长是______ ．

12.在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们除颜色不同外，其余都相同，其中有4

个是白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，大量重复上述实验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n 大约是______．

13.根据表格确定方程x2−8x+7.5=0的一个解的范围是______ ．

x 1.0 1.1 1.2 1.3

x2−8x+7.50.5−0.09−0.66−1.21

14.如图所示，在矩形ABCD中，E在直线AB上，AB=2AE，

射线DE与直线AC交于点F，若AB=4，AD=3，则CF

的长为______ ．15.如图所示，长CD与C′D′之间距离为1，宽AD与A′D′之间距离为x，矩形ABCD的

长AB=30，宽BC=20，x为______ 时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似．

16.如图所示，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相

的值为______．

等的两部分，则AB

AD

17.某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的

年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为______．

18.如图所示，矩形ABCD中，BC=4√2，AE=√2，∠DFC=90°，

∠BFE=135°，则AB=______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共76.0分）

19.解一元二次方程：x2−2x−2=0.(公式法解方程)20.某同学报名参加运动会，有以下4个项目可供选择：

径赛项目：100m，400m(分别用A1、A2表示)；

田赛项目：跳远，跳高(分别用B1、B2表示)．

(1)该同学从4个项目中任选一个，求恰好选择的是田赛项目的概率；

(2)该同学从4个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，

并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率．

21.如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是

BD、AC的中点．

(1)求证：四边形EGFH是菱形；

(2)若AB=4，且BA、CD延长后相交所成的锐角是60°，求四边形EGFH的面积．

22.一商店销售某种商品，平均每天可售出30件，每件盈利50元.为了扩大销售、增加

盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于26元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．

(1)若降价4元，则平均每天销售数量为______ 件；(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为2000元？

23.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动

点P从点B出发以2cm/s速度向点C移动，同时动点Q

从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间

为t．

(1)根据题意知：CQ=______，CP=______；(用含t的

代数式表示)

(2)t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的1

？

8

(3)运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？

24.如图所示，在平面直角坐标系内，点A、B在x轴上，点C在y轴上，∠ACB=90°，

AB=10，AC=8，点Q在边AB上，且AQ=2，过Q作QR⊥AB，垂足为Q，QR 交折线AC−CB于R(如图1)，当点Q以每秒2个单位向终点B移动时，点P同时从A出发，以每秒6个单位的速度沿AB−BC−CA移动，设移动时间为t秒(如图2)．

(1)BQ=______ .(用含t的代数式表示)

(2)求△BCQ的面积S与t的函数关系式．

(3)t的值=______ 秒时，直线QR经过点P．

(4)当点P在边AB上运动时，以PQ为边在AB上方所作的正方形PQMN在Rt△ABC

内部，此时t的取值范围是______ ．25.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，等边△BDE的顶点D是△ABC内一点，连

接AD，BD，以AD和DE为邻边作▱ADEF，连接CD，DF．

(1)如图1，射线BD与AC交于G，当F在射线BD上时，

①求证：△BCD≌△ACF；

②如图2，当B，D，F不在一条直线上时，求证：DF=√3DC．

(2)如图3，当点C在线段EF上时，CD

AC =2

√19

，▱ADEF周长=10√2+2√14，S△ACD=

______ ．

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：一元二次方程2x2+3x−5=0的常数项是−5，

故选：A．

一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b，c是常数且a≠0)中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．

本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a,b，c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

2.【答案】B

【解析】解：A、2a=3b⇒a：b=3：2，故选项错误；

B、3a=2b⇒a：b=2：3，故选项正确；

C、b

a =2

3

⇒b：a=2：3，故选项错误；

D、a−b

b =1

3

⇒a：b=4：3，故选项错误．

故选B．

根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案．

考查了比例的性质．在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积．

3.【答案】A

【解析】解：∵△=(−4)2−4×(−4)=32>0，

∴方程有两个不相等的两个实数根

故选：A．

先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．

本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△<0时，方程无实数根．4.【答案】B

【解析】解：把x=1代入方程得1+k−3=0，

解得k=2．

故选：B．

根据一元二次方程的解的定义，把把x=1代入方程得关于k的一次方程1−3+k=0，然后解一次方程即可．

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

5.【答案】C

【解析】解：A、掷一枚骰子，出现4点的概率为1

；

6

B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为1

；

2

C、任意写出一个正整数，能被3整除的概率为1

；

3

D、从一副扑克中任取一张，取到“大王”的概率1

．

54

故选：C．

根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．

此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．

6.【答案】D

【解析】解：∵△ABC为等腰三角形，

∴AB=AC，

根据折叠可得BD=AB，AC=DC，

∴AB=BD=DC=AC，

∴四边形ABDC是菱形，

故选：D．

根据等腰三角形的性质可得AB=AC，再根据折叠可得BD=AB，AC=DC，进而得到

AB =BD =DC =AC ，根据四边相等的四边形是菱形可得到答案．

此题主要考查了菱形的判定，以及等腰三角形的性质，关键是掌握四边相等的四边形是菱形．

7.【答案】C

【解析】解：∵l 1//l 2//l 3，

∴AB AC

=A 1B 1A 1C 1， 即69=8

A 1C 1，

∴A 1C 1=12，

∴B 1C 1=A 1C 1−A 1B 1=12−8=4．

故选：C ．

根据平行线分线段成比例定理得到AB AC =A 1B

1A 1C 1，则可计算出A 1C 1=12，然后计算A 1C 1−A 1B 1即可．

本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

8.【答案】C

【解析】解：设该小组有x 支球队，则共有12x(x −1)场比赛，

由题意得：12x(x −1)=6，

故选：C ．

设该小组有x 支球队，则每个队参加(x −1)场比赛，则共有12x(x −1)场比赛，从而可以列出一个一元二次方程．

此题考查了一元二次方程的应用，关要求我们掌握单循环制比赛的特点：如果有n 支球队参加，那么就有12n(n −1)场比赛，此类虽然不难求出x 的值，但要注意舍去不合题意的解．

9.【答案】B

∴△ABC∽△DAC．

故选B．

已知∠ADC=∠BAC，根据图示可知∠ABC和∠DAC为公共角，即可判断△ABC∽△DAC，然后对其它选项进行分析，均不具备三角形相似的条件．

此题主要考查学生对相似三角形的判定的理解和掌握，要求学生熟练掌握相似三角形的判定定理，难度不大，属于基础题．

10.【答案】C

【解析】解：∵x2−7x+10=0，

∴(x−2)(x−5)=0．

∴x−2=0或x−5=0．

解得x=2或x=5．

当等腰三角形的腰长为2，底长为5时，由于2+2<5，构不成三角形；

当等腰三角形的腰长为2，底长为2时，该等腰三角形的周长为2+2+2=6；

当等腰三角形的腰长为5，底长为2时，该等腰三角形的周长为：5+5+2=12；

当等腰三角形的腰长为5，底长为5时，该等腰三角形的周长为：5+5+5=15．

故选：C．

先求解一元二次方程，再根据等腰三角形分类讨论．

本题考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系及一元二次方程的解法，题目综合性较强，求解一元二次方程和掌握分类讨论的思想是解决本题的关键．

11.【答案】5

【解析】解：∵m：n=2：8=1：4，

∴x：y=1：4，

∵y=20，

∴x=5．

因为四条线段成比例，可根据前两条线段，确定其比例，进而求出x的值．

本题主要是要掌握比例线段的性质．12.【答案】10

【解析】

【分析】

本题主要考查了利用频率估计概率，正确运用概率公式是解题关键．

利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．

【解答】

解：∵通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.4，

=0.4，

∴4

n

解得：n=10．

故答案为：10．

13.【答案】1.0【解析】解：∵x=1.0时，x2−8x+7.5=0.5；x=1.1时，x2−8x+7.5=−0.09，∴当x在1.0∴方程x2−8x+7.5=0的一个解的范围是1.0故答案为1.0由于x=1.0时，x2−8x+7.5=0.5；x=1.1时，x2−8x+7.5=−0.09，由此可判断当x在1.0本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．

14.【答案】10

或10

3

【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，

∴BC=AD=3，CD=AB=4，CD//AB，∠B=90°，

∵AB=2AE，

∴AE=2，

在Rt△ABC中，AC=√BC2+AB2=√32+42=5，当E点在AB上，如图1，

∵AE//CD，

∴△AEF∽△CDF，

∴AF

CF =AE

CD

=2

4

=1

2

，

∴CF=2

3AC=2

3

×5=10

3

；

当E点在BA的延长线上时，如图2，∵AE//CD，

∴△AEF∽△CDF，

∴AF

CF =AE

CD

=2

4

=1

2

，

∴CF=2AC=2×5=10，

综上所述，CF的长为10

3

或10．

故答案为10

3

或10．

先利用勾股定理计算出AC=5，讨论：当E点在AB上，如图1，证明△AEF∽△CDF，

利用相似比得到AF

CF =AE

CD

=1

2

，利用比例性质得到CF=2

3

AC；当E点在BA的延长线上时，

如图2，证明△AEF∽△CDF，利用相似比得到AF

CF =AE

CD

=1

2

，利用比例性质得到CF=2AC．

本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，利用相似比计算相应线段的长．也考查了矩形的性质．

15.【答案】1.5或9

【解析】解：当20−2

20=30−2x

30

时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似，

解得，x=1.5，

当20−2

30−2x =30

20

时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似，

解得，x=9，

故答案为：1.5或9．根据相似多边形的性质列出比例式，代入计算得到答案．

本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．16.【答案】√2

【解析】解：∵DE//BC，

∴△ADE∽△ABC，

∵DE把△ABC分成面积相等的两部分，

∴S△ADE=S

，

四边形DBCE

∴S△ABC

=2，

S△ADE

=√2，

∴AB

AD

故答案为：√2．

由平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，可知△ABC与△ADE相似，且面积比为2，则相似比为√2，即可得出结果．

本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．

17.【答案】80(1+x)2=100

【解析】

【分析】

此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程(增长率问题).解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．利用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．

【解答】

解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，

根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80(1+x)吨

2018年蔬菜产量为80(1+x)(1+x)吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，

即：80(1+x)(1+x)=100或80(1+x)2=100．

故答案为80(1+x)2=100．18.【答案】4√3

【解析】解：过点F作PQ⊥AD，分别交AD和BC于点P和Q，取PM=PE，QN=BQ，过点F作FG⊥CD，垂足为G，

∵四边形ABCD是矩形，

设PD=a，则FG=QC=DG=CG=FP=FQ=a，

∵BC=4√2，AE=√2，

∴EP=PM=3√2−a，BQ=NQ=4√2−a，

∴EM=√2(3√2−a)=6−√2a，BN=√2(4√2−a)=8−√2a，

∵∠BFE=135°，

∴∠EFM+∠BFN=45°，

∵∠EFM+∠FEM=45°，

∴∠FEM=∠BFN，

∵∠EMF=∠BNF=135°，

∴△EMF∽△FNB，

∴EM

FN =FM

BN

，

即6−√2a

FN =

8−√2a

，

∵FM=FP−PM=2a−3√2，FN=FQ−NQ=2a−4√2，

∴√2a

2a−4√2=√2

8−√2a

，

解得：a=2√3或a=−2√3(舍去)，

经检验a=2√3是原方程的解，

∴AB=2a=4√3，

故答案为：4√3．

过点F作PQ⊥AD，分别交AD和BC于点P和Q，取PM=PE，QN=BQ，过点F作FG⊥CD，垂足为G，根据矩形的性质相似三角形的判定和性质解答即可．本题考查矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用矩形的性质解答．

19.【答案】解：∵a=1，b=−2，c=−2，

∴△=(−2)2−4×1×(−2)=12>0，

则x=−b±√b2−4ac

2a =2±2√3

2

=1±√3，

即x1=1+√3，x2=1−√3．

【解析】利用公式法求解可得．

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

20.【答案】解：(1)该同学从4个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率=2

4=1

2

；

(2)根据题意画树状图如下：

共有12种等可能的结果数，其中一个田赛项目和一个径赛项目的结果数为8，

所以恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率=8

12=2

3

．

【解析】(1)直接利用概率公式求解即可；

(2)画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出一个田赛项目和一个径赛项目的结果数，然后根据概率公式求解．

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．

21.【答案】(1)证明：∵E是AD的中点，G是BD的中点，

∴EG//AB，EG=1

2

AB，

同理FH//AB，FH=1

2AB，EH//CD，EH=1

2

CD，FG//CD，FG=1

2

CD，又AB=CD，

∴EG=GF=FH=HE

∴四边形EGFH是菱形．

(2)解：BA、CD延长后相交所成的角是60°，由上知∠GEH=60°，

∵AB=4，

∴EG=2，即四边形EGFH是有一角为60°的菱形，

∴菱形EGFH的面积为2×√3

×22=2√3．

4

【解析】(1)利用三角形中位线定理证明四边相等即可解决问题；

(2)想办法证明四边形EGFH是有一角为60°的菱形即可解决问题；

本题考查菱形的性质和判定、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

22.【答案】38

【解析】解：(1)根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价4元，则平均每天可多售出4×2=8(件)，即平均每天销售数量为30+8=38(件)；

故答案为：38．

(2)设每件商品降价x元时，该商品每天的销售利润为2000元，

由题意得：(50−x)(30+2x)=2000，

整理得：x2−35x+250=0，

∴(x−10)(x−25)=0．

∴x1=10，x2=25．

∵每件盈利不少于26元，

∴x2=25，舍去．

答：每件商品降价10元时，该商品每天的销售利润为2000元．

(1)根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价4元，则平均每天可多售出4×2=8(件)，即平均每天销售数量为30+8=38(件)；

(2)利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可．

本题考查了一元二次方程在商品利润问题中的应用，明确商品平均每天售出的件数乘以

每件盈利等于每天销售这种商品利润是解决本题的关键．

23.【答案】解：(1) t ；4−2t ；

(2)当△CPQ 的面积等于△ABC 面积的18时，

即12(4−2t)⋅t =18×12×3×4，

解得；t =32或t =12；

答：经过32或12秒后，△CPQ 的面积等于△ABC 面积的18；

(3)设经过t 秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，

①若Rt △ABC∽Rt △QPC 则AC BC =QC PC ，

即34=t 4−2t ，

解得t =1.2；

②若Rt △ABC∽Rt △PQC 则PC QC =AC BC ，

即4−2t t =34

， 解得t =1611；

由P 点在BC 边上的运动速度为2cm/s ，Q 点在AC 边上的速度为1cm/s ，可求出t 的取值范围应该为0验证可知①②两种情况下所求的t 均满足条件．

答：要使△CPQ 与△CBA 相似，运动的时间为1.2或1611秒．

【解析】

【分析】

本题考查一元二次方程的实际运用，动点问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，掌握相似三角形的性质是解决问题的关键；特别是(3)注意分类讨论．

(1)结合题意，直接得出答案即可；

(2)根据三角形的面积列方程即可求出结果；

(3)设经过t 秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解：①若Rt △ABC∽Rt △QPC ，②若Rt △ABC∽Rt △PQC ，然后列方程求解．

【解答】

解：(1)经过t 秒后，PC =4−2t ，CQ =t ，

故答案为t；4−2t；

(2)见答案；

(3)见答案．

24.【答案】10−2t0.5s或2.5s4

1718

且t≠0.5

【解析】解：(1)由题意AQ=2+2t，AB=10，∴BQ=AB−AQ=8−2t．

故答案为8−2t．

(2)如图1所示：∵AB=10，AQ=2+2t，

∴QB=AB−AQ=10−(2+2t)=8−2t，

在Rt△ABC中，AB=10，AC=8，

根据勾股定理得：BC=6，

∵1

2AC⋅BC=1

2

AB⋅CO，即1

2

×6×8=1

2

×10×CO，

∴CO=24

5

，

则S△BCQ=1

2QB⋅CO=12

5

(8−2t)=−24

5

t+96

5

(0≤t≤4)．

(3)①当Q、P均在AB上时，AP=6t，AQ=2+2t，

可得：AP=AQ，即6t=2+2t，

解得：t=0.5s；

②当P在BC上时，P与R重合，如图3所示：

∵∠PQB=∠ACB=90°，∠B=∠B，

∴△BPQ∽△BAC，

BP BQ

，又BP=6t−10，AB=10，BQ=8−2t，BC=6，∴6t−10

10=8−2t

6

，即6(6t−10)=10(8−2t)，

解得：t=2.5s；

③当P在AC上不存在QR经过点P，

综上，当t=0.5s或2.5s时直线QR经过点P；

故答案为：0.5s或2.5s．

(4)当点P在点Q的左侧时，若点N落在AC上，如图4所示：

∵AP=6t，AQ=2+2t，

∴PQ=AQ−AP=2+2t−6t=2−4t，

∵四边形PQMN是正方形，

∴PN=PQ=2−4t，

∵∠APN=∠ACB=90°，∠A=∠A，

∴△APN∽△ACB，

∴PN

BC =AP

AC

，即2−4t

6

=6t

8

，

解得：t=4

17

，

当点P在点Q的右侧时，若点N落在BC上，如图5所示：

由题意得：BP=10−6t，PN=PQ=4t−2，

∵∠BPN=∠BCA=90°，∠B=∠B，∴BP

BC =PN

AC

，即10−6t

6

=4t−2

8

，

整理得：8(10−6t)=6(4t−2)，

解得：t=23

18

，

∵t=0.5时点P与点Q重合，

∴4

1718

且t≠0.5时正方形PQMN在Rt△ABC内部．

故答案为：4

1718

且t≠0.5．

(1)求出AQ的长，利用线段和差定决问题即可．

(2)由AB及AQ的长，利用AB−AQ表示出QB的长，直角三角形ABC的面积有两种求法，两直角边乘积的一半，或斜边乘以斜边上的高的一半，两种求法表示的面积相等可得出CD的长，三角形BQC以QB为底边，CD为高，利用三角形的面积公式即可求出．(3)分三种情况讨论即可：①当Q，P均在AB上时；②当P在BC上时；③当P在AC 上不存在QR经过点P．

(4)有两种情况：当点P在点Q的左侧时，若点N落在AC上，则PQ=2+t−3t=2−2t，

由△APN∽△ACB得PN

BC =AP

AC

，从而得出t.当点P在点Q的右侧时，若点N落在BC上，

则由△BPN∽△BCA得BP

BC =PN

AC

，综上两种情况，可得出t的取值范围．

本题属于四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理以及正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

25.【答案】5√3

【解析】(1)①证明：如图1中，延长AC交DE的延长线于J，设DJ交BC于点O．

∵四边形ADEF是平行四边形，

∴DJ//AF，DE=AF，∵CB=CA，∠ACB=120°，△BDE是等边三角形，

∴DE=DB=AF，∠BDE=∠JCO=60°，

∵∠BOD=∠COJ，

∴∠CBD=∠J，

∴∠CBD=∠CAF，

∵BC=AC，BD=AF，

∴△BCD≌△ACF(SAS)，

②证明：如图2中，过点C作CH⊥DF于H．

∵△BCD≌△ACF，

∴CD=CF，∠BCD=∠ACF，

∴∠DCF=∠BCA=120°，

∴∠CDF=∠CFD=30°，

∵CH⊥DF，

∴DH=FH，

∴DF=2DH=2CD⋅cos30°=√3CD．

(2)解：如图3中，过点C作CT⊥AD于T，过点D作DR⊥EC于R．∵CD：AC=2：√19，

∴可以假设CD=2k，AC=√19k，

由(2)可知，CD=CF=2k，∠DCF=120°，

∵E，C，F共线，

∴∠DCE=180°−120°=60°，

∵四边形ADEF是平行四边形，

∴AD//EF，

∴∠ADC=∠DCE=60°，

∴DT=CD⋅cos60°=k，CT=CD⋅sin60°=√3k，

在Rt△CTA中，AT=√AC2−CT2=√(√19k)2−(√3k)2=4k，∴AD=EF=5k，

∴EC=3k，

∵CR=CD⋅cos60°=k，DR=CD⋅sin60°=√3k，

∴ER=EC−CR=2k，

∴DE=√ER2+DR2=√(2k)2+(√3k)2=√7k，

∵DE+AD=1

2

(10√2+2√14)=5√2+√14=√7k+5k，

∴k=√2，

∴CT=√3k=√6，AD=5k=5√2，

∴S△ACD=1

2×AD×CT=1

2

×5√2×√6=5√3．

故答案为5√3．

(1)①如图1中，延长AC交DE的延长线于J，设DJ交BC于点O.只要证明∠CAF=∠CBD 即可解决问题．

②利用全等三角形的性质，证明△DCF是顶角为120°的等腰三角形即可．

(2)如图3中，过点C作CT⊥AD于T，过点D作DR⊥EC于R.首先证明∠ADC=∠DCE= 60°，设CD=2k，AC=√19k，解直角三角形用k表示AD，DE，构建方程求出k，即可解决问题．

本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．