2022年陕西省中考数学试卷和答案解析(a卷)

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）

1．（3分）﹣37的相反数是（　　）

A．﹣37    B．37    C．    D．

2．（3分）如图，AB∥CD，BC∥EF．若∠1＝58°，则∠2的大小为（　　）

A．120°    B．122°    C．132°    D．148°

3．（3分）计算：2x•（﹣3x2y3）＝（　　）

A．6x3y3    B．﹣6x2y3    C．﹣6x3y3    D．18x3y3

4．（3分）在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是（　　）

A．AB＝AC    B．AC⊥BD    C．AB＝AD    D．AC＝BD

5．（3分）如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tanC＝2，则边AB的长为（　　）

A．3    B．3    C．3    D．6

6．（3分）在同一平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与y＝2x+m相交于点P（3，n），则关于x，y的方程组的解为（　　）

A．    B．    C．    D．

7．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝46°，连接OA，则∠OAB＝（　　）

A．44°    B．45°    C．54°    D．67°

8．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（　　）

A．y1＜y2＜y3    B．y2＜y1＜y3    C．y3＜y1＜y2    D．y2＜y3＜y1

二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9．（3分）计算：3﹣＝　   　．

10．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a　   　﹣b．（填“＞”“＝”或“＜”）

11．（3分）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE•AB．已知AB为2米，则线段BE的长为 　   　米．

12．（3分）已知点A（﹣2，m）在一个反比例函数的图象上，点A'与点A关于y轴对称．若点A'在正比例函数y＝x的图象上，则这个反比例函数的表达式为 　   　．

13．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，BD＝7．若M、N分别是边AD、BC上的动点，且AM＝BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E、F，则ME+NF的值为 　   　．

三、参题（共13小题，计81分．参应写出过程）

14．（5分）计算：5×（﹣3）+|﹣|﹣（）0．

15．（5分）解不等式组：．

16．（5分）化简：（+1）÷．

17．（5分）如图，已知△ABC，CA＝CB，∠ACD是△ABC的一个外角．

请用尺规作图法，求作射线CP，使CP∥AB．（保留作图痕迹，不写作法）

18．（5分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD＝AB，DE∥AB，∠DCE＝∠A．求证：DE＝BC．

19．（5分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，0），C（﹣1，﹣1）．将△ABC平移后得到△A'B'C'，且点A的对应点是A'（2，3），点B、C的对应点分别是B'、C'．

（1）点A、A'之间的距离是 　   　；

（2）请在图中画出△A'B'C'．

20．（5分）有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西瓜，其中，所装西瓜的重量分别为6kg，6kg，7kg，7kg，8kg．现将这五个纸箱随机摆放．

（1）若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是 　   　；

（2）若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的概率．

21．（6分）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB．

22．（7分）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值．

（1）当输入的x值为1时，输出的y值为 　   　；

（2）求k，b的值；

（3）当输出的y值为0时，求输入的x值．

23．（7分）某校为了了解本校学生“上周内做家务劳动所用的时间”（简称“劳动时间”）情况，在本校随机调查了100名学生的“劳动时间”，并进行统计，绘制了如下统计表：

（1）这100名学生的“劳动时间”的中位数落在 　   　组；

（2）求这100名学生的平均“劳动时间”；

（3）若该校有1200名学生，请估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的人数．

24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P．

（1）求证：∠CAB＝∠APB；

（2）若⊙O的半径r＝5，AC＝8，求线段PD的长．

25．（8分）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE＝10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．

（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；

（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．

26．（10分）问题提出

（1）如图1，AD是等边△ABC的中线，点P在AD的延长线上，且AP＝AC，则∠APC的度数为 　   　．

问题探究

（2）如图2，在△ABC中，CA＝CB＝6，∠C＝120°．过点A作AP∥BC，且AP＝BC，过点P作直线l⊥BC，分别交AB、BC于点O、E，求四边形OECA的面积．

问题解决

（3）如图3，现有一块△ABC型板材，∠ACB为钝角，∠BAC＝45°．工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件，并要求∠BAP＝15°，AP＝AC．工人师傅在这块板材上的作法如下：

①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D，连接CD；

②作CD的垂直平分线l，与CD交于点E；

③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP、BP，得△ABP．

请问，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？请证明你的结论．

参与解析

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）

1．【解析】根据相反数的意义即可得到结论．

【参】解：﹣37的相反数是﹣（﹣37）＝37，

故选：B．

2．【解析】根据两直线平行，内错角相等分别求出∠C、∠CGF，再根据平角的概念计算即可．

【参】解：∵AB∥CD，∠1＝58°，

∴∠C＝∠1＝58°，

∵BC∥EF，

∴∠CGF＝∠C＝58°，

∴∠2＝180°﹣∠CGF＝180°﹣58°＝122°，

故选：B．

3．【解析】单项式乘以单项式，首先系数乘以系数，然后相同字母相乘，最后只在一个单项式含有的字母照写．

【参】解：原式＝2×（﹣3）x1+2y3＝﹣6x3y3．

故选：C．

4．【解析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．

【参】解：A、▱ABCD中，AB＝AC，不能判定▱ABCD是矩形，故选项A不符合题意；

B、∵▱ABCD中，AC⊥BD，

∴▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意；

C、∵▱ABCD中，AB＝AD，

∴▱ABCD是菱形，故选项C不符合题意；

D、∵▱ABCD中，AC＝BD，

∴▱ABCD是矩形，故选项D符合题意；

故选：D．

5．【解析】利用三角函数求出AD＝6，在Rt△ABD中，利用勾股定理可得AB的长．

【参】解：∵2CD＝6，

∴CD＝3，

∵tanC＝2，

∴＝2，

∴AD＝6，

在Rt△ABD中，由勾股定理得，

AB＝，

故选：D．

6．【解析】先将点P代入y＝﹣x+4，求出n，即可确定方程组的解．

【参】解：将点P（3，n）代入y＝﹣x+4，

得n＝﹣3+4＝1，

∴P（3，1），

∴关于x，y的方程组的解为，

故选：C．

7．【解析】根据圆周角定理可得∠AOB的度数，再进一步根据等腰三角形和三角形的内角和定理可求解．

【参】解：如图，连接OB，

∵∠C＝46°，

∴∠AOB＝2∠C＝92°，

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝＝44°．

故选：A．

8．【解析】先求出抛物线的对称轴为直线x＝1，由于﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3，于是根据二次函数的性质可判断y1，y2，y3的大小关系．

【参】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，

∵﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3，

而抛物线开口向上，

∴y2＜y1＜y3．

故选B．

二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9．【解析】首先利用算术平方根的定义化简，然后加减即可求解．

【参】解：原式＝3﹣5

＝﹣2．

故答案为：﹣2．

10．【解析】根据正数大于0，0大于负数即可参．

【参】解：∵b与﹣b互为相反数

∴b与﹣b关于原点对称，即﹣b位于3和4之间

∵a位于﹣b左侧，

∴a＜﹣b，

故答案为：＜．

11．【解析】根据BE2＝AE•AB，建立方程求解即可．

【参】解：∵BE2＝AE•AB，

设BE＝x，则AE＝（2﹣x），

∵AB＝2，

∴x2＝2（2﹣x），

即x2+2x﹣4＝0，

解得：x1＝﹣1，x2＝﹣1﹣（舍去），

∴线段BE的长为（﹣1+）米．

故答案为：（﹣1+）．

12．【解析】根据轴对称的性质得出点A'（2，m），代入y＝x求得m＝1，由点A（﹣2，1）在一个反比例函数的图象上，从而求得反比例函数的解析式．

【参】解：∵点A'与点A关于y轴对称，点A（﹣2，m），

∴点A'（2，m），

∵点A'在正比例函数y＝x的图象上，

∴m＝＝1，

∴A（﹣2，1），

∵点A（﹣2，1）在一个反比例函数的图象上，

∴反比例函数的表达式为y＝﹣，

故答案为：y＝﹣．

13．【解析】连接AC交BD于O，根据菱形的性质得到BD⊥AC，OB＝OD＝，OA＝OC，根据勾股定理求出OA，证明△DEM∽△DOA，根据相似三角形的性质列出比例式，用含AM的代数式表示ME、NF，计算即可．

【参】解：连接AC交BD于O，

∵四边形ABCD为菱形，

∴BD⊥AC，OB＝OD＝，OA＝OC，

由勾股定理得：OA＝＝＝，

∵ME⊥BD，AO⊥BD，

∴ME∥AO，

∴△DEM∽△DOA，

∴＝，即＝，

解得：ME＝，

同理可得：NF＝，

∴ME+NF＝，

故答案为：．

三、参题（共13小题，计81分．参应写出过程）

14．【解析】根据有理数混合运算法则计算即可．

【参】解：5×（﹣3）+|﹣|﹣（）0

＝﹣15+﹣1

＝﹣16+．

15．【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

【参】解：由x+2＞﹣1，得：x＞﹣3，

由x﹣5≤3（x﹣1），得：x≥﹣1，

则不等式组的解集为x≥﹣1．

16．【解析】根据分式混合运算的法则计算即可．

【参】解：（+1）÷

＝•

＝

＝a+1．

17．【解析】利用尺规作图作出∠ACD的平分线，得到射线CP．

【参】解：如图，射线CP即为所求．

18．【解析】利用平行线的性质得∠EDC＝∠B，再利用ASA证明△CDE≌△ABC，可得结论．

【参】证明：∵DE∥AB，

∴∠EDC＝∠B，

在△CDE和△ABC中，

，

∴△CDE≌△ABC（ASA），

∴DE＝BC．

19．【解析】（1）根据两点间的距离公式即可得到结论；

（2）根据平移的性质作出图形即可．

【参】解：（1）∵A（﹣2，3），A'（2，3），

∴点A、A'之间的距离是2﹣（﹣2）＝4，

故答案为：4；

（2）如图所示，△A'B'C'即为所求．

20．【解析】（1）直接由概率公式求解即可；

（2）画树状图，共有20种等可能的结果，其中所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的结果有4种，再由概率公式求解即可．

【参】解：（1）若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是，

故答案为：；

（2）画树状图如下：

共有20种等可能的结果，其中所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的结果有4种，

∴所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的概率为＝．

21．【解析】先证明△AOD∽△EFG，列比例式可得AO的长，再证明△BOC∽△AOD，可得OB的长，最后由线段的差可得结论．

【参】解：∵AD∥EG，

∴∠ADO＝∠EGF，

∵∠AOD＝∠EFG＝90°，

∴△AOD∽△EFG，

∴＝，即＝，

∴AO＝15，

同理得△BOC∽△AOD，

∴＝，即＝，

∴BO＝12，

∴AB＝AO﹣BO＝15﹣12＝3（米），

答：旗杆的高AB是3米．

22．【解析】（1）把x＝1代入y＝8x，即可得到结论；

（2）将（﹣2，2）（0，6）代入y＝kx+b解方程即可得到结论；

（3）解方程即可得到结论．

【参】解：（1）当输入的x值为1时，输出的y值为y＝8x＝8×1＝8，

故答案为：8；

（2）将（﹣2，2）（0，6）代入y＝kx+b得，

解得；

（3）令y＝0，

由y＝8x得0＝8x，

∴x＝0＜1（舍去），

由y＝2x+6，得0＝2x+6，

∴x＝﹣3＜1，

∴输出的y值为0时，输入的x值为﹣3．

23．【解析】（1）利用中位数的定义参即可；

（2）根据平均数的定义参即可；

（3）用样本估计总体即可．

【参】解：（1）（2）把100名学生的“劳动时间”从小到大排列，排在中间的两个数均在C组，故这100名学生的“劳动时间”的中位数落在C组，

故答案为：C；

（2）＝×（50×8+75×16+105×40+105×36）＝112（分钟），

答：这100名学生的平均“劳动时间”为112分钟；

（3）1200×＝912（人），

答：估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的人数为912人．

24．【解析】（1）根据平行线的判定和切线的性质参即可；

（2）通过添加辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理和相似三角形的判定和性质参即可．

【参】（1）证明：∵AM是⊙O的切线，

∴∠BAM＝90°，

∵∠CEA＝90°，

∴AM∥CD，

∴∠CDB＝∠APB，

∵∠CAB＝∠CDB，

∴∠CAB＝∠APB．

（2）解：如图，连接AD，

∵AB是直径，

∴∠CDB+∠ADC＝90°，

∵∠CAB+∠C＝90°，∠CDB＝∠CAB，

∴∠ADC＝∠C，

∴AD＝AC＝8，

∵AB＝10，

∴BD＝6，

∵∠BAD+∠DAP＝90°，∠PAD+∠APD＝90°，

∴∠APB＝∠DAB，

∵∠BDA＝∠BAP

∴△ADB∽△PAB，

∴＝，

∴PB＝＝＝，

∴DP＝﹣6＝．

故答案为：．

25．【解析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣5）2+9，把（0，0）代入，可得a＝﹣，即可解决问题；

（2）把y＝6，代入抛物线的解析式，解方程可得结论．

【参】解：（1）由题意抛物线的顶点P（5，9），

∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣5）2+9，

把（0，0）代入，可得a＝﹣，

∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣5）2+9；

（2）令y＝6，得﹣（x﹣5）2+9＝6，

解得x1＝+5，x2＝﹣+5，

∴A（5﹣，6），B（5+，6）．

26．【解析】（1）根据等边三角形的性质得到AB＝AC，∠BAC＝60°，根据等腰三角形的三线合一得到∠PAC＝30°，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算，得到答案；

（2）连接PB，证明四边形PBCA为菱形，求出PB，解直角三角形求出BE、PE、OE，根据三角形的面积公式计算即可；

（3）过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，两条平行线交于点F，根据线段垂直平分线的性质得到PA＝PF，根据等边三角形的性质得到∠PAF＝60°，进而求出∠BAP＝15°，根据要求判断即可．

【参】解：（1）∵△ABC为等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°，

∵AD是等边△ABC的中线，

∴∠PAC＝∠BAC＝30°，

∵AP＝AC，

∴∠APC＝×（180°﹣30°）＝75°，

故答案为：75°；

（2）如图2，连接PB，

∵AP∥BC，AP＝BC，

∴四边形PBCA为平行四边形，

∵CA＝CB，

∴平行四边形PBCA为菱形，

∴PB＝AC＝6，∠PBC＝180°﹣∠C＝60°，

∴BE＝PB•cos∠PBC＝3，PE＝PB•sin∠PBC＝3，

∵CA＝CB，∠C＝120°，

∴∠ABC＝30°，

∴OE＝BE•tan∠ABC＝，

∴S四边形OECA＝S△ABC﹣S△OBE

＝×6×3﹣×3×

＝；

（3）符合要求，

理由如下：如图3，过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，两条平行线交于点F，

∵CA＝CD，∠DAC＝45°，

∴∠ACD＝90°，

∴四边形FDCA为正方形，

∵PE是CD的垂直平分线，

∴PE是AF的垂直平分线，

∴PF＝PA，

∵AP＝AC，

∴PF＝PA＝AF，

∴△PAF为等边三角形，

∴∠PAF＝60°，

∴∠BAP＝60°﹣45°＝15°，

∴裁得的△ABP型部件符合要求．