湖北省黄冈市2021年中考数学试题真题(Word版,含答案与解析)

一、单选题

1.（2021·黄冈）-3的相反数是（   ）            

A.                                 B.                                 C. 3                                D. -3

【答案】 C   

【考点】相反数及有理数的相反数    

【解析】【解答】解：-3的相反数是3. 

故答案为：C.

 【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”可求解.

2.（2021·黄冈）2021年5月15日07时18分，我国首个火星探测器“天问一号”经过470000000公里旅程成功着陆在火星上，从此，火星上留下中国的脚印，同时也为我国的宇宙探测之路迈出重要一步.将470000000用科学记数法表示为（   ）            

A.                   B.                 C.                 D. 

【答案】 C   

【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数    

【解析】【解答】解：  ， 

故答案为：C.

 【分析】 根据科学记数法的表示形式为：a×10n  ， 其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1.

3.（2017·宜兴模拟）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（   ）            

A. 等边三角形                      B. 正六边形                      C. 正方形                      D. 圆

【答案】 A   

【考点】轴对称图形    

【解析】【解答】解：等边三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，A正确；  

正六边形是轴对称图形，也是中心对称图形，B错误；

正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，C错误；

圆是轴对称图形，也是中心对称图形，D错误；

故选：A．

【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念判断即可．

4.（2021·黄冈）下列计算正确的是（   ）            

A.          B.          C.          D. 

【答案】 B   

【考点】同底数幂的除法，单项式乘单项式，完全平方公式及运用，合并同类项法则及应用    

【解析】【解答】A、  与  不是同类项，不可合并，此项错误； 

B、  ，此项正确；

C、  ，此项错误；

D、  ，此项错误；

故答案为：B.

 【分析】只有同类项才能合并，可对A作出判断；根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，可对B作出判断；利用单项式乘以单项式的法则，可对C作出判断；利用完全平方公式（a-b）2=a2-2ab+b2  ， 可对D作出判断.

5.（2021·黄冈）如图是由四个相同的正方体组成的几何体，其俯视图是（   ） 

A.              B.              C.              D. 

【答案】 C   

【考点】简单组合体的三视图    

【解析】【解答】解：俯视图是指从上往下看几何体得到的视图.这个几何体的俯视图是由排在一行的三个小正方形组成， 

观察四个选项可知，只有选项  符合，

故答案为：C.

 【分析】根据俯视图是指从上往下看所得到的图形，由此可得答案.

6.（2021·黄冈）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯”.阅读可以丰富知识，拓展视野，充实生活，给我们带来愉快.英才中学计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型（A.科普，B.文学，C.体育，D.其他）数据后，绘制出两幅不完整的统计图，则下列说法错误的是（   ） 

A. 样本容量为400

B. 类型D所对应的扇形的圆心角为 

C. 类型C所占百分比为 

D. 类型B的人数为120人

【答案】 C   

【考点】总体、个体、样本、样本容量，扇形统计图，条形统计图    

【解析】【解答】解：  ，则样本容量为400，选项A说法正确； 

 ，则选项B说法正确；

 ，则选项C说法错误；

 （人），则选项D说法正确；

故答案为：C.

 【分析】利用样本容量=A的人数÷A的人数所占的百分比，可求出样本容量，可对A作出判断；根据D的圆心角的度数=360°×D的人数所占的百分比，列式计算可求得类型D所对应的扇形的圆心角，可对B作出判断；再求出C类的人数所占的百分比，可对C作出判断；然后求出B类的人数，可对D作出判断.

7.（2021·黄冈）如图，  是  的外接圆，  交  于点E，垂足为点D，  ，  的延长线交于点F.若  ，  ，则  的长是（   ） 

A. 10                                  B. 8                                  C. 6                                  D. 4

【答案】 A   

【考点】勾股定理，垂径定理，三角形的中位线定理    

【解析】【解答】解：  ， 

 ，

 ，

 ，

 ，

 ，

 ，

 ，

又  ，

 是  的中位线，

 ，

故答案为：A.

 【分析】由垂径定理可得AD=AB，在直角三角形AOD中，用勾股定理可求得OA的值，由已知易得OE是三角形ACF的中位线，然后根据三角形的中位线等于第三边的一半得FC=2OE=2OA求解.

8.（2021·黄冈）如图，  为矩形  的对角线，已知  ，  .点P沿折线  以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作  于点E，则  的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（   ） 

A. 

B. 

C. 

D. 

【答案】 D   

【考点】一次函数-动态几何问题，二次函数的实际应用-几何问题    

【解析】【解答】解：  四边形  是矩形，  ，  ， 

 ，

 ，

由题意，分以下两种情况：

（1）当点  在  上，即  时，

在  中，  ，

 在  中，  ，  ，

 ，

 ；

（2）如图，当点  在  上，即  时，

 四边形  是矩形，  ，

 四边形  是矩形，

 ，

 ，

综上，  与  间的函数关系式为  ，

观察四个选项可知，只有选项D的图象符合，

故答案为：D.

 【分析】利用勾股定理求出AC的长，即可求出AC+AD的长；再分情况讨论：设CP=x，当点  在  上，即  时，利用锐角三角函数的定义求出sin∠ACB和cos∠ACB的值，再利用解直角三角形表示出CE，PE的长；然后利用三角形的面积公式可得到y与x之间的函数解析式；当点  在  上，即  时，易证四边形CEPD是矩形，利用矩形的性质可得到PE，CE的长，再利用三角形的面积公式可得到y与x之间的函数解析式，根据两函数解析式及取值范围，可得答案.

二、填空题

9.（2021·黄冈）式子  在实数范围内有意义，则a的取值范围是________.    

【答案】 a≥-2   

【考点】二次根式有意义的条件    

【解析】【解答】解：由二次根式的被开方数为非负数得：  ， 

解得a≥-2，

故答案为：a≥-2.

 【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可建立关于a的不等式，然后求出不等式的解集.

10.正五边形的一个内角是________度。

【答案】 108°   

【考点】多边形内角与外角，正多边形的性质    

【解析】【解答】五边形的内角和为540°，所以正五边形一个内角为108°

【分析】根据多边形的内角和=（n-2）可得五边形的内角和为540°，所以根据正五边形的定义可得正五边形一个内角==。

11.（2021·黄冈）东方红学校举行“学党史，听党话，跟党走”讲故事比赛，七位评委对其中一位选手的评分分别为：85，87，，91，85，92，90.则这组数据的中位数为________.    

【答案】    

【考点】中位数    

【解析】【解答】解：将这组数据按从小到大进行排序为  ， 

则中位数为，

故答案为：.

 【分析】把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；据此可求出这组数据的中位数.

12.（2021·黄冈）若关于x的一元二次方程  有两个不相等的实数根，则m的值可以是________.（写出一个即可）    

【答案】 0（答案不唯一）   

【考点】一元二次方程根的判别式及应用    

【解析】【解答】解：由题意得：此一元二次方程根的判别式  ， 

解得  ，

则  的值可以是0，

故答案为：0（答案不唯一）.

 【分析】先计算b2-4ac，再根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可得关于m的不等式，解不等式可求得m的范围，写出范围内的一个m的值即可.

13.（2021·黄冈）在  中，  ，  ，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交  ，  于点E，F；再分别以点E，F为圈心，大于  的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线  交  于点D.则  与  的数量关系是________.  

【答案】    

【考点】等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形，作图-角的平分线    

【解析】【解答】解：  在  中，  ，  ， 

 ，

由角平分线的尺规作图可知，  平分  ，

 ，

 ，

 ，

 在  中，  ，  ，

 ，

 ，

故答案为：  .

 【分析】由作图可知AD平分∠BAC，即∠CAD=∠BAD=∠BAC=∠B，根据等角对等边可得AD=BD，再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半CD=AD=BD可求解.

14.（2021·黄冈）如图，建筑物  上有一高为  的旗杆  ，从D处观测旗杆顶部A的仰角为  ，观测旗杆底部B的仰角为  ，则建筑物  的高约为________  （结果保留小数点后一位）.（参考数据  ，  ，  ）  

【答案】 24.2   

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题    

【解析】【解答】解：由题意得：  ， 

 是等腰直角三角形，  

 ，

设  ，则  ，

在  中，  ，即  ，

解得  ，经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，

即建筑物  的高约为  ，

故答案为：24.2.

 【分析】利用已知条件可知△BCD是等腰直角三角形，可得到BC=CD=x，可表示出AC的长；再在Rt△ACD中，利用解直角三角形，可建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到BC的长.

15.（2021·黄冈）人们把  这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的  法就应用了黄金分割数.设  ，  ，则  ，记  ，  ，…，  .则  ________.    

【答案】 10   

【考点】二次根式的乘除法，探索数与式的规律    

【解析】【解答】解：  ， 

 （  为正整数），

 ，

 ，

 ，

 ，

则  ，

故答案为：10.

 【分析】由二次根式的乘法法则可得ab=1，计算Sn=1，于是可知Sn与n的值无关，再计算S1+S2++S10即可求解.

16.（2021·黄冈）如图，正方形  中，  ，连接  ，  的平分线交  于点E，在  上截取  ，连接  ，分别交  ，  于点G，H，点P是线段  上的动点，  于点Q，连接  .下列结论：①  ；②  ；③  ；④  的最小值是  .其中所有正确结论的序号是________.  

【答案】 ①②④   

【考点】四边形的综合    

【解析】【解答】解：  四边形  是正方形，  ， 

 ，

在  和  中，  ，

 ，

 ，

 ，

 ，

 ，即  ，结论①正确；

 平分  ，  ，

 ，

 ，

 ，

 ，

 ，

 ，

 ，结论②正确；

 ，

 ，

 ，

 ，

即  ，结论③错误；

如图，过点  作  于点  ，连接  ，

 平分  ，  ，  ，

 ，

 ，

由两点之间线段最短得：当点  共线时，  取得最小值  ，

由垂线段最短得：当  时，  取得最小值，

此时在  中，  ，

即  的最小值是  ，结论④正确；

综上，所有正确结论的序号是①②④，

故答案为：①②④.

 【分析】利用正方形的性质可证得CD=AD，∠ADC=∠CDE=90°，利用SAS可证得△ADF≌△DCE，利用全等三角形的性质可证得∠ADF=∠DCE，再证明∠ADF+∠DEG=90°，由此可求出∠DGE=90°，利用垂直的定义，可对①作出判断；利用CE平分∠ACD，CE⊥DF，可证得CH=DC=1，利用等边对等角可证得∠CDH=∠DHC=∠AHF，利用平行线的性质可证得∠HAF=∠CDH=∠AHF，利用等角对等边，可得到AH=AF，由此可推出DE=AH，可对②作出判断；利用勾股定理求出AC的长，从而可求出DE，AH及EA的长；然后求出EA与AH的比值，可对③作出判断；过点P作PM⊥CD于点M，连接HM，利用角平分线的性质可证得PM=PQ，可推出PH+PQ=PH+PM，利用两点之间线段最短，可知当H，P，M三点在同一条直线上时，PM+PH的最小值就是HM的长，利用垂线段最短可知当HM⊥CD时，HM最小；然后利用解直角三角形求出HM的长即可.

三、解答题

17.（2021·黄冈）计算：  .    

【答案】 解：原式  ，  

 ，

【考点】实数的运算，0指数幂的运算性质，特殊角的三角函数值    

【解析】【分析】先算乘方运算，同时化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，再算乘法运算，挺好合并即可.

18.（2021·黄冈）如图，在  和  中，  ，  .  

（1）求证：  ；    

（2）若  ，  ，求  的长.    

【答案】 （1）证明：  ，  

 ，即  ，

在  和  中，  ，

（2）解：由（1）已证：  ，  

 ，

 ，  ，

 ，

解得  或  （不符题意，舍去），

则  的长为9

【考点】相似三角形的判定与性质    

【解析】【分析】（1）利用已知条件可证得∠ACB=∠DCE，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABC∽△DEC.

 （2）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出EC的长. 

19.（2021·黄冈）2021年，黄冈、咸宁、孝感三市实行中考联合命题，为确保联合命题的公平性，决定采取三轮抽签的方式来确定各市选派命题组长的学科.第一轮，各市从语文、数学、英语三个学科中随机抽取一科；第二轮，各市从物理、化学、历史三个学科中随机抽取一科；第三轮，各市从道德与法治、地理、生物三个学科中随机抽取一科.    

（1）黄冈在第一轮抽到语文学科的概率是________；    

（2）用画树状图或列表法求黄冈在第二轮和第三轮抽签中，抽到的学科恰好是历史和地理的概率.    

【答案】 （1）

（2）解：将物理、化学、历史三个学科分别记为  ，将道德与法治、地理、生物三个学科分别记为  ，  

画树状图如下：

由此可知，黄冈在第二轮和第三轮抽签中的所有可能结果共有9种，它们每一种出现的可能性都相等；其中，抽到的学科恰好是历史和地理的结果只有1种，

则所求的概率为  ，

答：黄冈在第二轮和第三轮抽签中，抽到的学科恰好是历史和地理的概率是  

【考点】列表法与树状图法    

【解析】【解答】解：（1）黄冈在第一轮随机抽取一科共有3种等可能性的结果， 

则黄冈在第一轮抽到语文学科的概率是  ，

故答案为：  ；

【分析】（1）根据已知条件可得到黄冈在第一轮随机抽取一科共有3种等可能性的结果.

 （2）利用已知条件列树状图，根据树状图可求出所有的可能的结果数及抽到的学科恰好是历史和地理的情况数，然后利用概率公式可求解.

20.（2021·黄冈）如图，反比例函数  上的图象与一次函数  的图象相交于  ，  两点.  

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；    

（2）设直线  交y轴于点C，点  是正半轴上的一个动点，过点N作  轴交反比例函数  的图象于点M，连接  ，  .若  ，求t的取值范围.    

【答案】 （1）解：将点  代入  得：  ，  

则反比例函数的解析式为  ；

当  时，  ，解得  ，即  ，

将点  代入  得：  ，解得  ，

则一次函数的解析式为  

（2）解：对于一次函数  ，  

当  时，  ，即  ，

 ，

 轴，且  ，

 ，  ，

 ，

 ，

 ，

解得  

【考点】待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积    

【解析】【分析】（1）将点B的坐标代入反比例函数解析式，可求出k的值，即可得到反比例函数解析式；由此可求出点A的坐标；再将点A，B的坐标分别代入一次函数解析式，建立关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值，由此可求出一次函数解析式.

 （2）利用一次函数解析式可求出点C的坐标，利用MN⊥x轴及点N的坐标可求出点M的坐标，可得到ON，MN的长；然后根据S四边形COMN=S△CON+S△MON＞3，利用三角形的面积公式可得到关于t的不等式，然后求出不等式的解集. 

21.（2021·黄冈）如图，在  中，  ，  与  ，  分别相切于点E，F，  平分  ，连接  .  

（1）求证：  是  的切线；    

（2）若  ，  的半径是1，求图中阴影部分的面积.    

【答案】 （1）证明：如图，过点  作  于点  ，连接  ，  

 与  相切于点  ，

 ，

 平分  ，

 ，

在  和  中，  ，

 ，

 ，

 是  的半径，

又  ，

 是  的切线

（2）解：如图，设  分别交  于点  ，连接  ，  

 的半径是1，

 ，

 与  相切于点  ，

 ，

 ，

 四边形  是矩形，

 ，

 ，

 ，

 ，

在  和  中，  ，

 ，

 ，

 ，

 ，

则图中阴影部分的面积为  

【考点】圆的综合题    

【解析】【分析】（1）过点O作OD⊥AB于点D，连接OE，利用切线的性质可证得OE⊥BC，利用角平分线的定义可证得∠OBD=∠OBE，利用AAS证明△OBD≌△OBE，利用全等三角形的性质可证得OD=OE，然后利用切线的判定定理可证得结论.

 （2）利用已知条件易证四边形OECF是矩形，利用矩形的性质可求出CE的长，从而可求出BC的长，利用勾股定理求出AB的长；再利用HL证明△OAD≌△OAF，由此证得∠OAD=∠OAF，再求出∠AOB的度数；然后根据阴影部分的面积=△AON的面积-扇形MDON的面积，然后利用三角形和扇形的面积公式，可求出阴影部分的面积. 

22.（2021·黄冈）2021年是中国党建党100周年，红旗中学以此为契机，组织本校师生参加红色研学实践活动，现租用甲、乙两种型号的大客车（每种型号至少一辆）送549名学生和11名教师参加此次实践活动，每辆汽车上至少要有一名教师.  

甲、乙两种型号的大客车的载客量和租金如下表所示：

（2）最多可以租用多少辆甲种型号大客车？    

（3）有几种租车方案？哪种租车方案最节省钱？    

【答案】 （1）11

（2）解：设租用  辆甲种型号大客车，则租用  辆乙种型号大客车，  

由题意得：  ，

解得  ，

因为  且为正整数，

所以最多可以租用3辆甲种型号大客车

（3）解：由（2）可知，租用甲种型号大客车的辆数可以为  辆，  

则有三种租车方案：①租用1辆甲种型号大客车，10辆乙种型号大客车；②租用2辆甲种型号大客车，9辆乙种型号大客车；③租用3辆甲种型号大客车，8辆乙种型号大客车；

方案①的费用为  （元），

方案②的费用为  （元），

方案③的费用为  （元），

所以租用3辆甲种型号大客车，8辆乙种型号大客车最节省钱

【考点】一元一次不等式的应用    

【解析】【解答】解：（1）  （辆）  （人），  （辆）， 

 共需租11辆大客车，

故答案为：11；

【分析】（1）由题意用总人数除以每辆车的载客量并结合每辆汽车上至少要有一名教师即可判断求解；

 （2） 设租用x辆甲种型号大客车，根据x辆甲种型号大客车载人总数+（11-x）辆乙种型号大客车载人总数大于或等于学生和教师总人数可得关于x的不等式，解不等式即可求解；

 （3）结合（2）的结论可知有3种租车方案，并计算每一种方案的费用，比较大小即可判断求解.

23.（2021·黄冈）红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件.一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少  万件.其中月销售单价不低于成本.设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）.    

（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；    

（2）当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？    

（3）为响应国家“乡村振兴”，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元.已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值.    

【答案】 （1）解：由题意，当  时，  ，  

当  时，  ，

 ，

 ，

解得  ，

综上，  

（2）解：设该产品的月销售利润为  万元，  

①当  时，  ，

由一次函数的性质可知，在  内，  随  的增大而增大，

则当  时，  取得最大值，最大值为  ；

②当  时，  ，

由二次函数的性质可知，当  时，  取得最大值，最大值为90，

因为  ，

所以当月销售单价是70元/件时，月销售利润最大，最大利润是90万元

（3）解：  捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元（大于50万元），  

 ，

设该产品捐款当月的月销售利润为  万元，

由题意得：  ，

整理得：  ，

 ，

 在  内，  随  的增大而增大，

则当  时，  取得最大值，最大值为  ，

因此有  ，

解得  

【考点】二次函数的实际应用-销售问题    

【解析】【分析】（1）根据题意写出销售量和销售单价之间的关系式即可；

 （2）根据销售量和销售单价之间的关系列出销售利润和单价之间的关系式求最值即可；

 （3）根据（2）中的函数和月销售单价不高于70元/件的取值范围，确定a值即可． 

24.（2021·黄冈）已知抛物线  与x轴相交于  ，  两点，与y轴交于点C，点  是x轴上的动点. 

（1）求抛物线的解析式；    

（2）如图1，若  ，过点N作x轴的垂线交抛物线于点P，交直线  于点G.过点P作  于点D，当n为何值时，  ；    

（3）如图2，将直线  绕点B顺时针旋转，使它恰好经过线段  的中点，然后将它向上平移  个单位长度，得到直线  . 

①    ▲  ；

②当点N关于直线  的对称点  落在抛物线上时，求点N的坐标.

【答案】 （1）解：将点  ，  代入  得：  ， 

解得  ，

则抛物线的解析式为 

（2）解：由题意得：点  的坐标为  ， 

对于二次函数  ，

当  时，  ，即  ，

设直线  的解析式为  ，

将点  ，  代入得：  ，解得  ，

则直线  的解析式为  ，

 ，

 ，  ，

 ，

 ，即  ，

解得  或  （与  不符，舍去），

故当  时， 

（3）解：①  ；②②由题意得：  ， 

则设直线  的解析式为  ，

将点  代入得：  ，解得  ，

则直线  的解析式为  ，

联立  ，解得  ，

即直线  与直线  的交点坐标为  ，

设点  的坐标为  ，

则  ，解得  ，即  ，

将点  代入  得：  ，

整理得：  ，

解得  或  ，

则点  的坐标为  或 

【考点】二次函数图象的几何变换，二次函数的实际应用-几何问题    

【解析】【解答】解：（3）①如图，设线段  的中点为点  ，过点  作  轴的垂线，交直线  于点  ， 

则点  的坐标为  ，点  的横坐标为3，

设直线  的解析式为  ，

将点  ，  代入得：  ，解得  ，

则直线  的解析式为  ，

由平移的性质得：直线  的解析式为  ，

当  时，  ，即  ，

 ，

 ，

故答案为：  ；

【分析】（1）由题意用待定系数法即可求解；

 （2）由题意可得点P的坐标为（n，n2-2n-3）,用待定系数法可求得直线BC的解析式，则PG、BG的长可用含n的代数式表示，由△PDG≌△BNG得PG＝BG，可得关于n的方程，解方程可求得n的值，即可求解；

 （3）①由函数的平移得到函数的表达式为y＝x，则tan∠BOB1=可求解；

 ②用待定系数法可求出直线NN1的解析式，把直线NN1和OB1的解析式联立解方程组可求得直线NN1和OB1的交点坐标，把N1的坐标代入二次函数的解析式可求得n的值，即可求解．