2018-2019学年成都市成华区八年级下期中数学测试卷(附答案)

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．等腰三角形的顶角为100°，则它的一个底角是（　　）

A．40°    B．50°    C．60°    D．80°

2．如果a＞b，那么下列各式中正确的是（　　）

A．a﹣5＜b﹣5    B．＜    C．a+5＜b+5    D．﹣3a＜﹣3b

3．下列分解因式正确的是（　　）

A．2x2+4xy=x（2x+4y）    B．4a2﹣4ab+b2=2（a﹣b）2

C．x3﹣x=x（x2﹣1）    D．3x2﹣5xy+x=x（3x﹣5y）

4．不等式组：的解集在数轴上可表示为（　　）

A．    B．    C．    D．

5．如图，直线y=kx+b交坐标轴于A（﹣2，0）、B（0，3）两点，则不等式kx+b＞0的解集是（　　）

A．x＞﹣2    B．x＞3    C．x＜﹣2    D．x＜3

6．下列各式不能用平方差公式法分解因式的是（　　）

A．x2﹣4    B．﹣x2﹣y2+2xy    C．m2n2﹣1    D．a2﹣4b2

7．下列美丽的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（　　）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

8．如图，在以BC为底边的等腰△ABC中，∠A=30°，AC=8，则AC边上的高BD的长是（　　）

A．4    B．8    C．2    D．4

9．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）

A．△ABC的三条中线的交点    B．△ABC三边的中垂线的交点

C．△ABC三条角平分线的交点    D．△ABC三条高所在直线的交点

10．如图，在ABC中，∠C=90°，AD是∠A角平分线，DE⊥AB于点E，CD=3，BC=8，则BE=（　　）

A．3    B．4    C．5    D．6

二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）

11．已知a=2，x+2y=3，则3ax+6ay=　　．

12．已知等腰三角形有两条边的长度分别是3和6，那么这个等腰三角形的周长是　　．

13．如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=4cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，EF过点D且EF∥BC，则△AEF的周长是　　cm．

14．如图，在△ABC中，∠C=35°，AB=AD，DE是AC的垂直平分线，则∠BAD=　　度．

15．小马用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，那么小马最多能买支　　钢笔．

三、解答题（共5小题，满分50分）

16．分解因式：

（1）2x2﹣18  （2）﹣3m+6m2﹣3m3．

17．（1）求不等式﹣≤1的解集．

（2）解不等式组，把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解．

18．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．

（1）画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；

（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2，并写出点A2、B2、C2坐标；

（3）请画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后△A3B3C3，并写出点A3、B3、C3坐标．

19．（8分）学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商．经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即男装每套120元，女装每套100元．经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是，全部服装按单价打七折，但校方需承担2200元的运费；B公司的优惠条件是男女装均按每套100元打八折，公司承担运费．另外根据大会组委会要求，参加演出的女生人数应是男生人数的2倍少100人，如果设参加演出的男生有x人．

（1）分别写出学校购买A、B两公司服装所付的总费用y1（元）和y2（元）与参演男生人数x之间的函数关系式；

（2）问：该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算？请说明理由．

20．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∠BAC的平分线AE交BC于点D，且AE⊥BE．

（1）求∠DBE的大小；

（2）求证：AD=2BE．

四、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）

21．分解因式：16a2﹣（a2+4）2=　　．

22．已知关于x的不等式组的整数解有5个，则a的取值范围是　　．

23．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是　　，小朋友的人数是　　．

24．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一动点，则PA+PC的最小值为　　．

25．如图，在四个正方形拼接成的图形中，以A1、A2、A3、…、A10这十个点中任意三点为顶点，共能组成　　个等腰直角三角形．

五、解答题（共3小题，满分30分）

26．某工厂有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划用这两种原料生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A种产品，需用甲种原料9kg，乙种原料3kg，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4kg，乙种原料10kg，可获利润1200元．

（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；

（2）设生产A、B两种产品总利润是W（元），采用哪种生产方案获总利润最大？最大利润为多少？

27．如图，点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（6，0），点C在第一象限内且△OBC为等边三角形，直线BC交y轴于点D，过点A作直线AE⊥BD，垂足为E，交OC于点F．

（1）求直线BD的函数表达式；

（2）求线段OF的长；

（3）连接BF，OE，试判断线段BF和OE的数量关系，并说明理由．

28．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），△AOB为等边三角形，P是x轴上一个动点（不与原O重合），以线段AP为一边在其右侧作等边三角形△APQ．

（1）求点B的坐标；

（2）在点P的运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由．

（3）连接OQ，当OQ∥AB时，求P点的坐标．

2018-2019学年四川省成都市成华区八年级（下）期中数学试卷

参与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．等腰三角形的顶角为100°，则它的一个底角是（　　）

A．40°    B．50°    C．60°    D．80°

【考点】等腰三角形的性质．

【分析】根据等腰三角形的两个底角相等即可得出结论．

【解答】解：∵一个等腰三角形的顶角为100°，

∴它的底角==40°．

故选A．

【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两个底角相等是解答此题的关键．

2．如果a＞b，那么下列各式中正确的是（　　）

A．a﹣5＜b﹣5    B．＜    C．a+5＜b+5    D．﹣3a＜﹣3b

【考点】不等式的性质．

【分析】依据不等式的基本性质解答即可．

【解答】解：A、依据不等式的性质1可知A错误；

B、由不等式的性质2可知B错误；

C、依据不等式的性质1可知C错误；

D、由不等式的性质3可知D正确．

故选：D．

【点评】本题主要考查的是不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题的关键．

3．下列分解因式正确的是（　　）

A．2x2+4xy=x（2x+4y）    B．4a2﹣4ab+b2=2（a﹣b）2

C．x3﹣x=x（x2﹣1）    D．3x2﹣5xy+x=x（3x﹣5y）

【考点】因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．

【分析】分别利用提取公因式法以及公式法分解因式，进而判断得出答案．

【解答】解：A、2x2+4xy=2x（x+2y），故此选项错误；

B、4a2﹣4ab+b2=2（a﹣b）2，正确；

C、x3﹣x=x（x2﹣1）=x（x+1）（x﹣1），故此选项错误；

D、3x2﹣5xy+x=x（3x﹣5y+1），故此选项错误；

故选：B．

【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．

4．不等式组：的解集在数轴上可表示为（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】在数轴上表示不等式的解集．

【分析】在表示数轴时，实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左．而它们相交的地方加上阴影即为不等式的解集在数轴上的表示．

【解答】解：两个不等式的公共部分是在数轴上，5以及5右边的部分，因而解集可表示为：

故选D．

【点评】注意不等式组解的解集在数轴上的表示方法，当包括原数时，在数轴上表示应用实心圆点表示方法，当不包括原数时应用空心圆圈来表示．

5．如图，直线y=kx+b交坐标轴于A（﹣2，0）、B（0，3）两点，则不等式kx+b＞0的解集是（　　）

A．x＞﹣2    B．x＞3    C．x＜﹣2    D．x＜3

【考点】一次函数与一元一次不等式．

【分析】根据图象可得出不等式kx+b＞0的解集就是y=kx+b的图象在x轴上方部分横坐标所构成的集合．

【解答】解：∵A（﹣2，0），

∴不等式kx+b＞0的解集是x＞﹣2，

故选：A．

【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

6．下列各式不能用平方差公式法分解因式的是（　　）

A．x2﹣4    B．﹣x2﹣y2+2xy    C．m2n2﹣1    D．a2﹣4b2

【考点】因式分解-运用公式法．

【专题】计算题；整式．

【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．

【解答】解：各式不能用平方差公式法分解因式的是﹣x2﹣y2+2xy=﹣（x﹣y）2，

故选B．

【点评】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．

7．下列美丽的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（　　）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：第一个图形是轴对称图形，是中心对称图形；

第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；

第三个图形是轴对称图形，是中心对称图形；

第四个图形是轴对称图形，是中心对称图形．

共有3个图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，

故选C．

【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

8．如图，在以BC为底边的等腰△ABC中，∠A=30°，AC=8，则AC边上的高BD的长是（　　）

A．4    B．8    C．2    D．4

【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．

【分析】求出AB，根据含30°角直角三角形性质得出BD=AB，代入求出即可．

【解答】解：∵AB=AC，AC=8，

∴AB=8，

∵BD是高，

∴∠BDA=90°，

∵∠A=30°，

∴BD=AB=4，

故选A．

【点评】本题考查了含30°角直角三角形性质和等腰三角形的性质的应用，能求出BD=AB是解此题的关键．

9．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）

A．△ABC的三条中线的交点    B．△ABC三边的中垂线的交点

C．△ABC三条角平分线的交点    D．△ABC三条高所在直线的交点

【考点】角平分线的性质．

【专题】应用题．

【分析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．

【解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，

∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．

故选C．

【点评】本题主要考查的是角的平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

10．如图，在ABC中，∠C=90°，AD是∠A角平分线，DE⊥AB于点E，CD=3，BC=8，则BE=（　　）

A．3    B．4    C．5    D．6

【考点】角平分线的性质．

【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得到DE=DC=3，根据勾股定理解答即可．

【解答】解：∵DE⊥AB于E，CD=3，

∵AD是角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，

∴DE=DC=3，

∴BD=8﹣3=5．

∴BE==4，

故选B

【点评】此题主要考查角平分线的性质的综合运用，关键是根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得到DE=DC．

二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）

11．已知a=2，x+2y=3，则3ax+6ay=　18　．

【考点】因式分解-提公因式法．

【专题】计算题；因式分解．

【分析】原式提取公因式，将已知等式代入计算即可求出值．

【解答】解：∵a=2，x+2y=3，

∴原式=3a（x+2y）=18，

故答案为：18

【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．

12．已知等腰三角形有两条边的长度分别是3和6，那么这个等腰三角形的周长是　15　．

【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．

【专题】压轴题．

【分析】因为已知长度为3和6两边，没由明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．

【解答】解：当3为底时，其它两边都为6，

3、6、6可以构成三角形，

周长为15；

当3为腰时，

其它两边为3和6，

∵3+3=6=6，所以不能构成三角形，故舍去，

∴答案只有15．

故填15．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．

13．如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=4cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，EF过点D且EF∥BC，则△AEF的周长是　10　cm．

【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．

【分析】根据两直线平行，内错角相等，以及根据角平分线性质，可得△FOC、△EOB均为等腰三角形，由此把△AEF的周长转化为AC+AB．

【解答】解：∵EF∥BC

∴∠OCB=∠COF，∠OBC=∠BOE

又BO、CO分别是∠BAC和∠ACB的角平分线

∴∠COF=∠FCO，∠BOE=∠OBE

∴OF=CF，OE=BE

∴△AEF的周长=AF+OF+OE+AE=AF+CF+BE+AE=AB+AC=10．

故答案为：10．

【点评】本题考查了平行线的性质和等腰三角形的判定及性质；对相等的线段进行有效的等量代换是解答本题的关键．

14．如图，在△ABC中，∠C=35°，AB=AD，DE是AC的垂直平分线，则∠BAD=　40　度．

【考点】线段垂直平分线的性质．

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质求出∠ADB的度数，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可．

【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，

∴DA=DC，

∴∠DAC=∠C=35°，

∴∠ADB=∠DAC+∠C=70°，

∵AB=AD，

∴∠B=∠ADB=70°，

∴∠BAD=180°﹣∠B﹣∠ADB=40°，

故答案为：40．

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

15．小马用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，那么小马最多能买支　13　钢笔．

【考点】一元一次不等式的应用．

【专题】方程与不等式．

【分析】根据题意可以列出相应的不等式，从而可以得到小马最多购买多少支钢笔．

【解答】解：设小马能买x支钢笔，则可购买（30﹣x）本笔记本．

2（30﹣x）+5x≤100，

解得，x≤，

∵购买的钢笔为整数，

∴最多购买钢笔13支，

故答案为：13．

【点评】本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的不等式．

三、解答题（共5小题，满分50分）

16．（10分）（2016春•成华区期中）分解因式：

（1）2x2﹣18  （2）﹣3m+6m2﹣3m3．

【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】（1）先提取公因式，再用平方差公式分解即可；

（2）先提取公因式，再用完全平方公式分解即可．

【解答】解：（1）2x2﹣18=2（x2﹣9）=2（x+3）（x﹣3），

（2）﹣3m+6m2﹣3m3=﹣3m（1﹣2m+m2）=﹣3m（m﹣1）2，

【点评】此题是提取公因式与公式法综合运用，主要考查了，提取公因式，平方差公式，完全平方公式分解因式的方法，解本题的关键是选用方法分解因式．

17．（14分）（2016春•成华区期中）（1）求不等式﹣≤1的解集．

（2）解不等式组，把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解．

【考点】一元一次不等式组的整数解；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式；解一元一次不等式组．

【分析】（1）根据不等式的解法计算即可；

（2）分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集即可，再找出解集范围内的非负整数即可．

【解答】解：（1）3（2x﹣1）﹣（x+1）≤6，

6x﹣3﹣x﹣1≤6，

5x≤10，

x≤2；

（2）解不等式①得：x≥﹣1，

解不等式②得：x＜3，

所以不等式组的解集为：﹣1≤x＜3，

所以非负整数解为：0，1，2．

在数轴上表示为：

【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．

18．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．

（1）画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；

（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2，并写出点A2、B2、C2坐标；

（3）请画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后△A3B3C3，并写出点A3、B3、C3坐标．

【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．

【专题】作图题．

【分析】（1）根据网格特点和平移的性质画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1，则可得到△A1B1C1；

（2）利用关于原点对称的点的坐标特征，写出点A、B、C的对应点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可得到△A2B2C2；

（3）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A3、B3、C3，然后写出点A3、B3、C3坐标，则可得到△A3B3C3．

【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；

（2）如图，△A2B2C2为所作，点A2、B2、C2坐标分别为（（﹣1，﹣1），（﹣4，﹣2），（﹣3，﹣4）；

（3）如图，△A3B3C3为所作，点A3、B3、C3坐标分别为（﹣1，1），（﹣2，4），（﹣4，3）．

【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．

19．学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商．经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即男装每套120元，女装每套100元．经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是，全部服装按单价打七折，但校方需承担2200元的运费；B公司的优惠条件是男女装均按每套100元打八折，公司承担运费．另外根据大会组委会要求，参加演出的女生人数应是男生人数的2倍少100人，如果设参加演出的男生有x人．

（1）分别写出学校购买A、B两公司服装所付的总费用y1（元）和y2（元）与参演男生人数x之间的函数关系式；

（2）问：该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算？请说明理由．

【考点】一次函数的应用．

【分析】（1）根据总费用=男生的人数×男生每套的价格+女生的人数×女生每套的价格就可以分别表示出y1（元）和y2（元）与男生人数x之间的函数关系式；

（2）根据条件可以知道购买服装的费用受x的变化而变化，分情况讨论：当y1＞y2时，当y1=y2时，当y1＜y2时，求出x的范围就可以求出结论．

【解答】解：（1）总费用y1（元）和y2（元）与参演男生人数x之间的函数关系式分别是：

y1=0.7[120x+100（2x﹣100）]+2200=224x﹣4800，

y2=0.8[100（3x﹣100）]=240x﹣8000；

（2）由题意，得

当y1＞y2时，即224x﹣4800＞240x﹣8000，解得：x＜200 

当y1=y2时，即224x﹣4800=240x﹣8000，解得：x=200 

当y1＜y2时，即224x﹣4800＜240x﹣8000，解得：x＞200 

答：当参演男生少于200人时，购买B公司的服装比较合算；

当参演男生等于200人时，购买两家公司的服装总费用相同，可任一家公司购买；

当参演男生多于200人时，购买A公司的服装比较合算．

【点评】本题考查了根据条件求一次函数的解析式的运用，运用不等式求设计方案的运用，解答本题时根据数量关系求出解析式是关键，建立不等式计算优惠方案是难点．

20．（10分）（2016春•成华区期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∠BAC的平分线AE交BC于点D，且AE⊥BE．

（1）求∠DBE的大小；

（2）求证：AD=2BE．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

【分析】（1）求出∠CAD，再证明∠DBE=∠CAD即可．

（2）先证明△AEB≌△AEG，推出BE=EG，再证明△ACD≌△BCG，推出AD=BG，由此即可证明．

【解答】解：（1）∵∠C=90°，AC=BC，

∴∠BAC=45°，

∵AE是∠BAC的平分线，

∴∠CAD=∠BAC=22.5°，

∵AE⊥BE，

∴∠BED=90°，

∴∠ACD=∠BED=90°，∵∠ADC=∠BDE，

∴∠DBE=∠CAD=22.5°．

（2）延长AC、BE交于点G．

∵AE⊥BG，

∴∠AEB=∠AEG=90°，

在△AEB和△AEG中，

，

∴△AEB≌△AEG，

∴BE=EG，

在△ACD和△BCG中，

，

∴△ACD≌△BCG，

∴AD=BG=2BE，

∴AD=2BE．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质．等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

四、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）

21．分解因式：16a2﹣（a2+4）2=　﹣（a+2）2（a﹣2）2　．

【考点】因式分解-运用公式法．

【专题】计算题．

【分析】原式利用平方差公式化简，再利用完全平方公式分解即可．

【解答】解：原式=（4a+a2+4）（4a﹣a2﹣4）=﹣（a+2）2（a﹣2）2．

故答案为：﹣（a+2）2（a﹣2）2

【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握公式是解本题的关键．

22．已知关于x的不等式组的整数解有5个，则a的取值范围是　﹣4＜a≤﹣3　．

【考点】一元一次不等式组的整数解．

【专题】计算题．

【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．

【解答】解：解不等式①得x≥a，

解不等式②得x＜2，

因为不等式组有5个整数解，则这5个整数是1，0，﹣1，﹣2，﹣3，

所以a的取值范围是﹣4＜a≤﹣3．

【点评】正确解出不等式组的解集，确定a的范围，是解决本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

23．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是　37　，小朋友的人数是　5　．

【考点】一元一次不等式组的应用．

【分析】设小朋友为x人，根据每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，表示出苹果的个数，再由每位小朋友分8个苹果，根据人数为x人，用总苹果数减去前x﹣1人、每人8个所分的苹果数，即为最后一名小朋友分到的苹果数，再利用最后一位小朋友分到了苹果，但不足5个列出关于x的不等式，求出不等式的解集，在解集中找出正整数解得到x的值，即为小朋友的人数，即可得到一箱苹果的个数．

【解答】解：设有x位小朋友，则苹果为（5x+12）个，

依题意得：0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜5，

可化为：，

解得：5＜x＜，

∵x是正整数，

∴x=6，

当x=6时，5x+12=42；

∴这一箱苹果有42个，小朋友有6位，

故答案为：42，6．

【点评】此题考查了一元一次不等式组的应用，其中根据题意表示出最后一名小朋友分到的苹果数是解本题的关键．

24．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一动点，则PA+PC的最小值为　　．

【考点】轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．

【专题】计算题．

【分析】作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，求出AM，求出AD，求出DN、CN，根据勾股定理求出CD，即可得出答案．

【解答】解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，

∵DP=PA，

∴PA+PC=PD+PC=CD，

∵B（3，），

∴AB=，OA=3，∠B=60°，由勾股定理得：OB=2，

由三角形面积公式得：×OA×AB=×OB×AM，

∴AM=，

∴AD=2×=3，

∵∠AMB=90°，∠B=60°，

∴∠BAM=30°，

∵∠BAO=90°，

∴∠OAM=60°，

∵DN⊥OA，

∴∠NDA=30°，

∴AN=AD=，由勾股定理得：DN=，

∵C（，0），

∴CN=3﹣﹣=1，

在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC==，

即PA+PC的最小值是．

故答案为：．

【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，三角形的内角和定理，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P点的位置，题目比较好，难度适中．

25．如图，在四个正方形拼接成的图形中，以A1、A2、A3、…、A10这十个点中任意三点为顶点，共能组成　32　个等腰直角三角形．

【考点】等腰直角三角形．

【分析】分别找出以各角为直角顶点的等腰直角三角形的个数，再求出其和即可．

【解答】解：以A1为直角顶点的等腰直角三角形有2个，以A2为直角顶点的等腰直角三角形有1个，

以A3为直角顶点的等腰直角三角形有4个，以A4为直角顶点的等腰直角三角形有4个，

以A5为直角顶点的等腰直角三角形有1个，以A6为直角顶点的等腰直角三角形有2个，

以A7为直角顶点的等腰直角三角形有6个，以A8为直角顶点的等腰直角三角形有3个，

以A9为直角顶点的等腰直角三角形有3个，以A10为直角顶点的等腰直角三角形有6个，

则共能组成2+1+4+4+1+2+6+3+3+6=32个等腰直角三角形．

故答案为：32．

【点评】此题考查了等腰直角三角形，用到的知识点是正方形的性质及等腰直角三角形的判定，关键是找出所有的等腰直角三角形．

五、解答题（共3小题，满分30分）

26．某工厂有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划用这两种原料生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A种产品，需用甲种原料9kg，乙种原料3kg，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4kg，乙种原料10kg，可获利润1200元．

（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；

（2）设生产A、B两种产品总利润是W（元），采用哪种生产方案获总利润最大？最大利润为多少？

【考点】一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．

【分析】（1）本题首先找出题中的等量关系即甲种原料不超过360千克，乙种原料不超过290千克，然后列出不等式组并求出它的解集．由此可确定出具体方案．

（2）根据题意列出w与x之间的函数关系式，利用一次函数的增减性和（1）得到的取值范围即可求得最大利润．

【解答】解：（1）设安排生产A种产品x件，则生产B种产品（50﹣x）件，

根据题意有：，

解得：30≤x≤32，

∵x为整数，

∴x30，31，32，

所以有三种方案：①安排A种产品30件，B种产品20件；

②安排A种产品31件，B种产品19件；

③安排A种产品32件，B种产品18件．

（2）设安排生产A种产品x件，

那么利润为：w=700x+1200（50﹣x）=﹣500x+60000，

∵k=﹣500＜0，

∴y随x的增大而减小，

∴当x=30时，对应方案的利润最大，y=﹣500×30+60000=45000，最大利润为45000元．

∴采用方案①所获利润最大，为45000元．

【点评】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用及最大利润问题；得到两种原料的关系式及总利润的等量关系是解决本题的关键．

27．（10分）（2013•济南）如图，点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（6，0），点C在第一象限内且△OBC为等边三角形，直线BC交y轴于点D，过点A作直线AE⊥BD，垂足为E，交OC于点F．

（1）求直线BD的函数表达式；

（2）求线段OF的长；

（3）连接BF，OE，试判断线段BF和OE的数量关系，并说明理由．

【考点】一次函数综合题．

【专题】综合题．

【分析】（1）根据△OBC是等边三角形，可得∠OBC=60°，在Rt△PBD中，解得OD的长度，得出点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式即可；

（2）分别求出∠BAE和∠AFO的度数，即可得出OF=OA=2．

（3）在Rt△ABE中，先求出BE，继而得出CE=OF，证明△COE≌△OBF，可得BF和OE的数量关系．

【解答】解：（1）∵△OBC是等边三角形，

∴∠OBC=60°，OC=BC=OB，

∵点B的坐标为（6，0），

∴OB=6，

在Rt△OBD中，∠OBC=60°，OB=6，

∴∠ODB=30°，

∴BD=12，

∴OD==6，

∴点D的坐标为（0，6），

设直线BD的解析式为y=kx+b，则可得，

解得：，

∴直线BD的函数解析式为y=﹣x+6．

（2）∵∠OCB=60°，∠CEF=90°，

∴∠CFE=30°，

∴∠AFO=30°（对顶角相等），

又∵∠OBC=60°，∠AEB=90°，

∴∠BAE=30°，

∴∠BAE=∠AFO，

∴OF=OA=2．

（3）连接BF，OE，如图所示：

∵A（﹣2，0），B（6，0），

∴AB=8，

在Rt△ABE中，∠ABE=60°，AB=8，

∴BE=AB=4，

∴CE=BC﹣BE=2，

∴OF=CE=2，

在△COE和△OBF中，，

∴△COE≌△OBF（SAS），

∴OE=BF．

【点评】本题考查了一次函数的综合，解答本题的关键是熟练掌握待定系数法及数形结合思想的运用，对于此类综合性较强的题目，要求同学们具有扎实的基本功，熟练掌握学过的性质定理及常见解题方法．

28．（12分）（2016春•郓城县期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），△AOB为等边三角形，P是x轴上一个动点（不与原O重合），以线段AP为一边在其右侧作等边三角形△APQ．

（1）求点B的坐标；

（2）在点P的运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由．

（3）连接OQ，当OQ∥AB时，求P点的坐标．

【考点】全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质；等边三角形的性质．

【分析】（1）如图，作辅助线；证明∠BOC=30°，OB=2，借助直角三角形的边角关系即可解决问题；

（2）证明△APO≌△AQB，得到∠ABQ=∠AOP=90°，即可解决问题；

（3）根据点P在x的正半轴还是负半轴两种情况讨论，再根据全等三角形的性质即可得出结果．

【解答】解：（1）如图1，过点B作BC⊥x轴于点C，

∵△AOB为等边三角形，且OA=2，

∴∠AOB=60°，OB=OA=2，

∴∠BOC=30°，而∠OCB=90°，

∴BC=OB=1，OC=，

∴点B的坐标为B（，1）；

（2）∠ABQ=90°，始终不变．理由如下：

∵△APQ、△AOB均为等边三角形，

∴AP=AQ、AO=AB、∠PAQ=∠OAB，

∴∠PAO=∠QAB，

在△APO与△AQB中，

，

∴△APO≌△AQB（SAS），

∴∠ABQ=∠AOP=90°；

（3）当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，

∵AB∥OQ，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°．

又OB=OA=2，可求得BQ=，

由（2）可知，△APO≌△AQB，

∴OP=BQ=，

∴此时P的坐标为（﹣，0）．

【点评】本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定及性质以及梯形的性质，注意利用分类讨论得出是解题关键．