对平面连杆机构极位夹角定义的再思考

陈凤光

【摘  要】平面连杆机构的急回特性在机构分析和设计中具有很重要意义。而衡量急回运动程度的行程速比系数与极位夹角密切相关。针对现有的极位夹角定义所存在的不足，提出了修改意见，给出了对各种情况下都适用的定义。

【关键词】平面连杆机构，急回特性，行程速比系数，极位夹角，定义

对于有曲柄存在的平面连杆机构，当曲柄为主动件做匀速转动时，从动件做往复运动（摆动或移动）。往复运动的从动件由于来回的行程（摆角或位移）一样，当往复的时间不等时，就使往复运动的平均速度不同。这种从动件的运动性质，就构成了平面连杆机构的急回运动特性，其急回运动的程度通常用行程速比系数来衡量。在工程实际中，为了提高生产率，保证产品质量，常常使从动件的慢速运动行程为工作行程，而从动件的快速运动行程为空回行程。因此，正确分析平面连杆机构的急回特性，在机构分析和设计中具有很重要意义。

平面连杆机构行程速比系数与其极位夹角是密切相关的。现行的众多教科书中对极位夹角定义的表述不尽全面，在实际应用中，若不加以正确分析，很容易得出错误的结论。为此，应对极位夹角的定义加以完善，以扩大机构的与的关系式的通用性。

极位夹角的传统定义及存在的不足

目前，各学校广泛应用的机械原理教材对极位夹角的定义是以曲柄摇杆机构为例导出的，如图1示，当曲柄AB为主动件并作等速转动时，摇杆CD为从动件作往复变速摆动，其摆角为。曲柄在回转一周过程中与连杆BC有两次共线，这时摇杆CD分别位于极限位置C1D和C2D。

通常把从动件处于极限位置时曲柄AB所处的两极限位置AB1、AB2所夹的锐角称为极位夹角。而此机构的行程速比系数定义为：

            （1）

    按图1中角度关系得到，，进而得到行程速比系数与极位夹角的关系式为

            （2）

由于定义了极位夹角的锐角取值范围，即，因而的取值范围就有了限定，即。而在实际机械设计时，的四杆机构是成立的，若按“曲柄两极限位置所夹的锐角”来进行设计就会产生错误，也将带来式（2）中机构的行程速比系数与极位夹角的锐角取值的矛盾。

如图2所示曲柄摇杆机构，其，，，，分析易知，此机构的，，为此按行程速比系数的定义式（1）计算得。将此值代入式（2）得到此曲柄摇杆机构的极位夹角，与原定义的锐角存在冲突；另一方面，若按现行教材中极位夹角的定义和锐角取值，可得到此机构的极位夹角，如图2（a）示，代入式（2）求得到此机构错误的行程速比系数。

如图3所示为插床用转动导杆机构，已知，，行程速比系数，求BC的长度。

按传统定义，其极位夹角应为：

根据书中所学，许多学生就首先作出BC1和BC2的夹角为600，进而求得的是错误的曲柄BC的长度，因而也就错误地得到图3（b）所示机构。事实上，由于图3（b）示机构的，代入式（2）求得该机构的行程速比系数，即所设计机构不能满足原定要求。

    这到底是极位夹角的取值问题还是式（2）的问题呢？

    极位夹角的新定义及相关概念的扩展

通过对以上两例的分析可知，极位夹角的传统定义适用性有限，为了使行程速比系数能完全按式（2）通过机构的极位夹角来计算，解决与两值间的矛盾，需要对机构的极位夹角作新的定义。

为了便于直观的说明问题，提出了运动角的概念：对于有曲柄存在的平面连杆机构，当曲柄为主动件做匀速转动时，从动件做往复运动（摆动或移动）。从动件位于两极限位置时，对应曲柄的两位置将一整圆分成两部分，其优弧圆心角称为曲柄的工进运动角（图2、图3中）、劣弧圆心角称为曲柄的回程运动角（图2、图3中）。故极位夹角应描述为：主动件为曲柄而从动件有极限位置的平面连杆机构，其极位夹角为曲柄的回程运动角的补角，即

            （3）

极位夹角的取值范围扩展为。这样，式（2）中与不再有矛盾，具有通用性。

〔分析1〕图2所示曲柄摇杆机构，曲柄的工进运动角，曲柄的回程运动角，根据极位夹角的新定义，由式（3）求得此机构的极位夹角，如图2（b），代入式（2）求得此机构的行程速比系数，得到的是正确的结果。

〔分析2〕图3所示为插床用转动导杆机构，由式（2）求得机构的极位夹角，按式（3）求得从动滑块快速急回行程对应的曲柄的回程运动角，进而求得曲柄BC的长度。由图3（a）易知此结论的正确性。

〔分析3〕对于的情况新定义也同样适用。图1所示曲柄摇杆机构和图4所示的偏置曲柄滑块机构，极位夹角都是曲柄的回程运动角的补角，即。

由此可见，新定义简单明了，且具有通用性，对任何情况都适用。

结 语

⑴现行教材中对极位夹角的锐角定义，仅适用于行程速比系数≤3的平面连杆机构，不适用于分析和设计＞3的机构，否则会得到错误的结论。

⑵式（3）对极位夹角的新定义，使的取值范围扩展为，使式（2）反映的行程速比系数与的关系具有通用性。

参  考  文  献

〔1〕邹慧君，傅祥志等主编.  机械原理〔M〕.高等教育出版社，1999

〔2〕申永胜.  机械原理教程〔M〕.清华大学出版社，1999

〔3〕李建福.  曲柄摇杆机构极位夹角新定义及按K值图解设计方法的探讨[J].  机械科学与技术，2002，6

（发表于《大学时代》学术教育版2005年第9期）