高三数学二轮专题复习教案极限导数和复数

一、本章知识结构：

二、重点知识回顾

（一）极限

1、数学归纳法是一种用递归方法来证明与正整数有关命题的重要方法，它是完全归纳法中的一种。论证问题分为两步：

证明当n取第一个值时结论正确；

假设当n=k(k∈且k≥)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确。

由（1）、（2）断定命题对于从开始的一切正整数都成立。

2、数列极限的定义

设是一个无穷数列，A是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存在正整数N，使得只要正整数n＞N，就有|-A|＜ε，那么就说数列以A为极限（或A是数列的极限），记作=A。

3、数列极限的运算法则

如果=A，=B，那么

(1) (±)=±=A±B；

(2) (·)=·=A·B

（3）

（4）（c·）= c·=cA（c为常数）

极限运算法则中的各个极限都应存在，都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无限个。在商的运算法则中，要注意对式子的恒等变形，有些题目分母不能直接求极限。

4、特殊数列的极限

（1）C=C（C为常数）

（2）          0（|a|＜1）

=   1（a=l 

               不存在（|a|＞1或a=-1）

(3) =0(α＞0的常数)

(4) 

                            （当k=时）

=   0（当k＜时

                            不存在（当k＞时）

说明：欲求极限的式子中，含有项数与n有关的“和式”或“积式”，应先求和或积。

5、常见的数列极限的类型和求法

（1）“”型，分子、分母分别求和再转化。

（2）“”型，分子、分母先求和，再化简，转化为有极限。

（3）“”型，将其看作分母为1的分式，转化求极限。

6、与和之间的关系

=a      ==a。

如果在点处左、右极限都存在并且等值，则在点处的极限也存在，并且与左、右极限值相同；如果 在处的左、右极限至少有一个不存在，或者左、右极限都存在但不等值，则函数在点处没有极限，这种关系也反映出、、、也都在处连续。

（二）导数

1.有关概念

①平均变化率：

②函数在某一点的导数：

③函数的导数＝＝

2. 导数的几何意义：

是曲线上点（）处的切线的斜率

说明：⑴.导数的几何意义可以简记为“k=”,强化这一句话“斜率导数，导数斜率”

  ⑵.曲线在点（）处的切线方程为

3.导数的物理意义：

s=s(t)是物体运动的位移函数，物体在t=时刻的瞬时速度是

说明：⑴.物理意义在教材上只是以引例形式出现，教学大纲对它的要求不高，知道即可。

⑵.物理意义可以简记为=

4、几种常见函数的导数公式 

5、求导法则 

，，（v≠0）

6、复合函数求导 

＝

（三）复数

1．复数及分类

形如a＋bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a为实部，b为虚部，ii是虚数单位，且满足ii2＝－1.

复数z＝a＋bi（a，b∈R）

2．复数相等的充要条件

a＋bii＝c＋diia＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）.

特别地a＋bii＝0a＝b＝0（a，b∈R）.

3．i的幂

i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i（n∈Z）.

4．复数的加法和减法

（a＋bi）±（c＋di）＝（a±c）＋（b±d）i（a，b，c，d∈R）.

5．复数的乘法和除法

⑴复数的乘法按多项式相乘进行，即

（a＋bi）（c＋di）＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i.

⑵复数除法是乘法的逆运算，其实质是分母实数化.

6．共轭复数

z＝a＋bi与＝a－bi互为共轭复数。

7．复数的模

设z＝a＋bi，则复数的模：｜z｜＝r＝

8．复数与点的轨迹

复数与复平面上的点是一一对应的。

⑴两点间的距离公式：d＝｜z1－z2｜；

⑵圆的方程：｜z－P｜＝r（以点P为圆心，r为半径）；

三、考点剖析

考点一：数学归纳法

【内容解读】数学归纳法的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可。第一步是命题递推的基础；第二步是递推的依据，是论证过程的关键。在论证时，第一步验算n=中的n不一定为1，根据题目的要求，有时可为2，3等。第二步证明n=k+1时命题也成立的过程中，归纳假设P（k）起着“已知条件”的作用，必须利用归纳假设P（k），恰当的通过推理和运算推出P（k+1），否则就不是数学归纳法。第二步证明的关键是“一凑假设，二凑结论”。

数学归纳法的两步分别是数学归纳法的两个必要条件，两者缺一不可，两步均予以证明才具备了充分性，也就是完成了这两步的证明才能断定命题的正确性。

【命题规律】数学归纳法一般出现在解答题中，与数列、函数等内容结合，难度属中等偏难。

例1、（2007全国1理22）已知数列中，，．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）若数列中，，，证明：，．

解：（Ⅰ）由题设：

，．

所以，数列是首项为，公比为的等比数列，

，

即的通项公式为，．

（Ⅱ）用数学归纳法证明．

（ⅰ）当时，因，，所以

，结论成立．

（ⅱ）假设当时，结论成立，即，

也即．

当时，

，

又，

所以　　

．

也就是说，当时，结论成立．

根据（ⅰ）和（ⅱ）知，．

点评：本题考查数学归纳法的证明，与数列、不等式等结合，属中等偏难的试题。

例2、（2008浙江）已知数列，，，．

记：，．

求证：当时，

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）

（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．

①当时，因为是方程的正根，所以．

②假设当时，，

因为

             ，

所以．即当时，也成立．

根据①和②，可知对任何都成立．

（Ⅱ）证明：由，（），

得．

因为，所以．

由及得，所以．

（Ⅲ）证明：由，得

所以，

于是，

故当时，，

又因为，所以．

点评：本题主要考查数列的递推关系，数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能，同时考查逻辑推理能力． 

考点二：极限的求解

【内容解读】极限主要包括数列极限和函数极限，掌握几个重要极限的求法，极限的四则运算等内容；理解函数在一点处的极限，并会求函数在一点处的极限．已知函数的左、右极限，会求函数在一点处的左右极限． 

【命题规律】极限在高中数学和高等数学中起着桥梁作用，是中学数学与大学数学的衔接点，是高中数学的新增内容，是高考的热点之一。一般以选择题、填空题或解答题的形式出现，难度适中。

例3、（2008陕西卷13），则        ．1

解：

点评：数列极限是高考热点题型之一，掌握几种类型的求解方法。

例4、（2008重庆卷）已知函数f(x)=  ，点在x=0处连续，则        .

解： 又   点在x=0处连续，

所以 即  故

点评：在点处的极限值等于这点的函数值，即。函数在处连续，反映在图像上是的图像在点x=处是不间断的。

例5、（2007湖北理）已知和是两个不相等的正整数，且，则（    ）

A．0            B．1            C．            D．

解：方法一  特殊值法，由题意取，

则，可见应选C

方法二  

      令，分别取和，则原式化为

所以原式=（分子、分母1的个数分别为个、个）

点评：本题考察数列的极限和运算法则，可用特殊值探索结论，即同时考察学生思维的灵活性。当不能直接运用极限运算法则时，首先化简变形，后用法则即可。本题也体现了等比数列求和公式的逆用。

考点三：导数的相关问题

【内容解读】1、了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵；2、通过函数图象直观地理解导数的几何意义；3、能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数；4、了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；5、了解函数在某取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值，以及闭区间上函数的最大值和最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性有效性；5、会用导数的性质解决一些实际问题，如生活中的最优化问题等。

【命题规律】考查导数的概念、切线方程、导数的计算等内容，在高考中经常以填空题或选择题为主要题型，难度不大；考查单调性、极值、最值等问题及应用问题，以中档题为主，题型以解答题为主。

例6、(2008福建)如果函数的图像如右图,那么导函数的图像可能是（　）

解：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负,只有答案A满足.

点评：深刻理解函数的导数与函数单调性的关系是解答本题的关键。

例7、(2008广东文)设，若函数，有大于零的极值点，则（A ）

A．     B.      C.      D. 

解：依题意，有有大于0的实根,数形结合令,则两曲线交点在第一象限,结合图像易得,选A.

点评：画出两个函数的图象，利用数形结合法求解，体现了数形结合的思想。

例8、(2008湖北理)若f(x)=上是减函数，则b的取值范围是（　 ）

A.[-1，+∞]       B.（-1，+∞） C.（-∞，-1）   D.（-∞，-1）

解：由题意可知，在上恒成立，

即在上恒成立，由于，所以，故Ｃ为正确答案．

点评：函数的导数小于零，则函数在该区间上是减函数，反之也成立。如果在某区间上函数的导数大于零，则函数在该区间上是增函数。

例9、(2008全国Ⅰ卷文) 曲线在点处的切线的倾斜角为（  　  ）

A．30°        B．45°        C．60°        D．120°

解：，在点（1,3）处切线的斜率为：k＝3×12－2＝1，所以倾斜角为45°    ，选（B）。

点评：本题考查导数的几何意义，在某点处的切线的斜率问题。

例10、（2008安徽文）设函数为实数。

（Ⅰ）已知函数在处取得极值，求的值； 

（Ⅱ）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围。

解: (1)  ，由于函数在时取得极值，所以 

    即 

 (2) 方法一：由题设知：对任意都成立

    即对任意都成立

   设 , 则对任意，为单调递增函数

   所以对任意，恒成立的充分必要条件是

   即 ，

   于是的取值范围是

   方法二：由题设知：对任意都成立

   即对任意都成立

   于是对任意都成立，即

于是的取值范围是

点评：函数在某点处取得极值，则在这点处的导数为0，反过来，函数的导数在某点的值为0，则在函数这点处取得极值。

例11、(2008广东文)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x（x10）层，则每平方米的 平均建筑费用为560+48x（单位：元）。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）

解：设楼房每平方米的平均综合费为元，依题意得

则，令，即，解得

当时，；当时，，

因此，当时，取得最小值，元.

答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。

点评：本题是导数在实际问题中的应用，求最值问题，经常就是求函数的导数，在极值处取得最值。

例12、(2008湖北理)水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为

V（t）=

（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以i-1＜t＜t表示第1月份（i=1,2,…,12）,同一年内哪几个月份是枯水期？

（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2.7计算）.

解：（Ⅰ）①当0＜t10时，V(t)=(-t2+14t-40)

化简得t2-14t+40>0,

解得t＜4，或t＞10，又0＜t10，故0＜t＜4.

②当10＜t12时，V（t）＝4（t-10）（3t-41）+50＜50,

化简得（t-10）（3t-41）＜0,

解得10＜t＜，又10＜t12,故 10＜t12.

综合得0故知枯水期为1月，2月，3月，4月，11月，12月共6个月.

(Ⅱ)(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在（4，10）内达到.

由V′（t）= 

令V′(t)=0,解得t=8(t=-2舍去).

当t变化时，V′(t) 与V (t)的变化情况如下表：

故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米

点评：本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题能力.

考点四：复数

【内容解读】本章重点是复数的概念及代数形式的运算.难点是复数的向量表示和复数的三角形式及其运算.

【命题规律】复数的概念及其运算是高考命题热点，从近几年高考试题来看，主要考查复数的概念及其运算，难度不大。

例11、(2008福建理) 若复数是纯虚数，则实数a的值为（　　）

A.1                B.2                C.1或2            D.-1

解：由得,且。

点评：本题主要考查复数的概念，注意纯虚数一定要使虚部不为0。

例12、(2008江西理) 在复平面内，复数对应的点位于（　  ）

A．第一象限    B．第二象限     C．第三象限       D．第四象限

解：因所以对应的点在第四象限，选（D）。

点评：本题考查复数的几何意义及三角函数的知识，每一个复数在复平面内都有一个点与之对应。

例13、(2008湖南理)复数等于(   　   )

A.8         B.－8       C.8i        D.－8i 

解：由,易知D正确. 

点评：本题考查复数的运算，掌握＝－1。

例14、(2008上海文)若是实系数方程的一个虚根，且，则           ．

解：设,则方程的另一个根为,且，

由韦达定理，得：

所以 

点评：本题考查一元二次方程根的意义、共轭复数、复数的模等知识。

例15、设复数z满足|z＋|＋|z－| = 2，求|z＋＋1|的最小值．

解：由题设知，复数z在复平面内对应的点集是线段AB，如图所示，线段AB上B点到C点距离最短．

∵|BC |=1，∴|z＋＋1|的最小值为1．

点评：在分析问题和解决问题时，要注意解析语言的意义及运用，要掌握图形语言、符号语言及文字语言的互化，自觉地由“形”到“数”与由“形”变“数”地运用数形结合的思维方法．

四、方法总结与2009年高考预测

（一）方法总结

1.极限的概念和运算法则是微积分中最重要的工具，也是学好导数的基础。它是历年高考的重点考查内容，多与分类讨论相结合。通常与数列结合的题目要多一些，解答时要求先求出数列的通项公式或是前项和公式再求极限。求函数的极限时，经常要用到常见函数的极限及两个重要极限（解决函数极限的小题时可用洛毕达法则）。通过恒等变形用函数极限的四则运算法则求相关函数的极限，或利用初等函数在其定义域内每一点处的极限值等于该点函数值求函数的极限或利用函数的极限判定函数在给定点处的连续性。归纳法也是本章常见的考查点，一定要注意用数学归纳法解题时的步骤。

2.导数是中学限选内容中较为重要的知识，由于其应用的广泛性，为我们解决所学过的有关函数问题提供了一般性方法，是解决实际问题强有力的工具。导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的对象。要牢记导数公式，熟练应用导数公式求函数的导数，掌握求导数的方法。应用导数解决实际问题的关键是要建立恰当的数学模型，了解导数概念的实际背景。

3、复数的概念，搞清楚实部与虚部，＝－1，共轭复数等概念，及复数和运算。

（二）2009年高考预测

函数极限和数列极限仍然以选择或填空题为主，有时会在解答题的最后一问出现难度中等或偏易。（文科生对函数极限不做要求）

   导数的考查方式以客观题为主，主要考查求导数的基本公式和法则，以及导数的几何意义。也可以解答题的形式出现，即以导数的几何意义为背景设置成导数与解析几何的综合题。导数的应用是重点，侧重于利用导数确定函数的单调性和极值、最值、值域问题，侧重于导数的综合应用，即导数与函数、数列、不等式的综合应用。

　　复数的概念及运算仍是考查的重点内容，以选择或填空题为主。

五、复习建议

1.极限内容和简单的函数求导在高考中以填空题和解答题为主。考生应立足基础只是和基本方法的复习，以课本题目为主，以熟练技能，巩固概念为目标。

2.对极限和导数的概念以及导数的实际背景一定要深入了解。

3.题目的难度要控制好，不要太难，应以方法的本质为主。

4.有意识地与解析几何（特别是切线、最值）、函数的单调性、函数的极值、最值、二次函数、方程、不等式等进行交汇，综合运用。特别是精选一些以导数为工具分析和解决一些函数问题，以及一些实际问题中的最大（小）值问题。

5、掌握复数的概念及运算性质。