不等式解法整式分式、根式

【一线名师精讲】

基础知识串讲

解不等式的基本原则：

1、解不等式实质是一个等价变形的过程，当元的取值范围扩大时，应与原有取值范围求交集。

2、解不等式是一个由繁到简的转化过程，其转化的总思路为：

3、解含有等号的不等式时，应该将等式与不等式分开解答后取并集。

基本类型不等式的解法：

(一)、整式不等式的解法

1、一元一次不等式

标准形式：或.

解法要点：在不等式的两端同时除以后，若则不等号要反向。

2、一元二次不等式

标准形式：或（其中）。

解法要点：解一元二次不等式一般可按以下步骤进行：

（1）整形：将不等式化为标准形式。

（2）求根：求方程的根。

（3）写解：根据方程根的情况写出对应不等式的解集。当两根明确时，可由“大于0，两根外；小于0，两根内”的口诀写解，当时，则可由函数的草图写解。

3、一元高次不等式（可分解因式型）

标准形式：或。

解法要点：用“数轴穿根”的方法最为简便，一般可按如下步骤进行：

（1）整形：将不等式化为标准形式。

（2）求根：求出对应方程的根。

（3）穿根：将方程的根标在数轴上，用一条曲线从右上方开始依次穿过。方程有重根时，奇数重根按正常情况穿过，偶数重根则不穿过，反弹回来后继续穿根。即“奇过偶不过”。

（4）写解：数轴上方所对应曲线的区间为的解，数轴下方所对应曲线的区间为的解。

（二）、分式不等式的解法

标准形式：，或。

解法要点：解分式不等式的关键是去分母，将分式不等式转化为整式不等式求解。若分母的正负可定，可直接去分母；若分母的正负不定，则按以下原则去分母： 

（三）、根式不等式的解法

标准形式：；；

以及。

 解法要点：解根式不等式的关键是去根号，应抓住被开方数的取值范围以及不等式乘方的条件这两大要点进行等价变换：

或

基本题型指要

◆题型一：解不含参数的不等式

【例1】解下列不等式或不等式组：

（1）

（2）

（3）

（4）

（1）思路导引：按规范化程序操作，化为标准形式后求解，可以有效的防止错误。

解析：将化为标准形式，易得：。

由得，所以。

综上所述，原不等式组的解集为。

（2）解析：由已知，，

用数轴穿根法易得原不等式的解集为：

误区警示：若不化为标准形式求解，易将解集错写为。另外，建议将这类等式与不等式的混合式中的“等式”单独求解，以防止漏掉这类解。

（3）思路导引：解分式不等式的关键是去分母。但本题分母正负不明，若直接去分母应分类讨论，较为复杂，使用移项通分化为标准形式的方法较好。

解析：将化为标准形式，得：，

因为恒成立，所以，。

用数轴穿根法易得原不等式的解集为： 。

（4）思路导引：解根式不等式关键是抓住乘方的条件，对原不等式实施等价转换，去除根号。

解析：原不等式等价于：……………………（1）

或………………………（2）

由（1）得：，解得；

由（2）得。

所以，原不等式的解集为。

误区警示：请找出下面解法的错误：

由，得，所以，原不等式的解为。

点评：解等式与不等式的混合型不等式，最好将等式与不等式分开求解，以避免错误。

◆题型二：解含参数的不等式

不少同学都怕解含参数的不等式，究其原因，关键是没有把握住解题技巧。其实，解含有参数的不等式在总思路上与解普通不等式完全相同，当参数不影响式子的变形时，与解普通不等式没有差异，在参数影响式子的变形时，就需弄清参数的取值范围或者予以分类讨论，才能顺利的解出不等式。

【例2】解下列关于的不等式：

（1）

（2）

（3）

（1）思路导引：本题在求解时必须去除系数，由于的范围不明，无法直接变形，若将按变形的要求分为正、负、零三类，则在每一小类中式子就能顺利变形了。

解析：由已知，。

1、当时，；

2、当时， ；

3、当时，恒成立， 。

故，原不等式解集当时为，

当时为，当时为R 。

（2）思路导引：解含参数的二次不等式通常是在以下三个地方实施分类讨论：一是平方项系数有参数时需分正、负、零讨论，二是判别式△有参数时的需分正、负、零讨论，三是两根有参数时需根据他们的大小关系分类讨论。

本题中的不等式即，在求解过程中参数会在两个地方影响式子变形：一是平方项系数的正、负、零，二是对应的二次方程的根1与是否存在、谁大谁小。此时，同一字母形成了不同的分类，可将在0、2处分段统筹安排进行分类（如图）。

解析：原不等式即。

1当时，可以化为，

易知，所以。

2当时，原不等式即，所以

。

3当时，易知，可得

。

4当时，原不等式即，所

以。

5当时，易知，可得

。

综上所述，原不等式的解集当时，为 ；当时，为；当时，为；当时，为；当时，为。

误区警示：本题易漏掉两种特殊情况的讨论。另外，在时，解集易错为。

（3）思路导引：本题关键是抓住根式不等式的解题特点，对不等式进行乘方处理，去除根号。若令进行换元，会使书写变得更简便。

解析：按根式不等式的解题思路，易知原不等式等价于

由(1)得

由(2)得

由(3)得

由此得

当时，易求得原不等式的解集为；

当时，易求得原不等式的解集为。

误区警示：在乘方去除根号的过程中，要注意不等式乘方的条件以及根号内式子的取值范围，保证不等式的变形为等价变形。

点评：从本例的解答过程可以看出，解含参数的不等式关键是抓住以下两个要点来处理不等式中的参数：一是由“参数是否影响不等式变形”来确定该不该对参数进行分类讨论，二是由“参数是怎样影响不等式变形” 来确定怎样对参数进行分类讨论。

◆题型三：已知不等式的解集求参数值（或范围）

已知不等式的解集求参数值（或范围）是一类很常见也很重要的题型。由于该题型解法较为灵活，我们在解题时若不能把握住它的解题规律，往往会觉得变化莫测而无可适从。解答本题型关键是要抓住以下两个要点：一是按其正向题型“解不等式”变化，试解原不等式；二是利用已知的解集（或解集的部分信息）去逆向推测它们与参数的关系。两个要点结合，就会比较容易找到所求参数的方程或不等式，从而求出它们的值（或范围）。

【例3】已知不等式

（1）若不等式的解集为()，求；

（2）若不等式的解集为R，求应满足的条件。

（1）思路导引：从解集的形式可知：原不等式必为二次不等式；再从解不等式的角度来看，原不等式的解集可由方程的二根来得出，但二根不方便写出，自然会想到用韦达定理列式解题。

解析：由题意，方程的二根为，

所以，

易解得，

所以，。

误区警示：不能遗漏条件和。

（2）思路导引：原不等式的系数范围未定，可能形成二次型、一次型、常数型三类不等式。因为原不等式的解集为R，故原不等式只能为二次型、常数型不等式。

解析： 

 1）当时， 原不等式为，其解集显然为R，符合题意。

2)当时，因为原不等式解集为R ，所以，

化简得。

综上所述，应满足的条件为：；或。

点评： 已知二次不等式的解集求参数值可分为两种类型：若解集为“两根内外”型，一般用韦达定理求解；若解集为R或φ，则通常用数形结合解题。

【例4】若不等式组的整数解只有－2，求实数的取值范围。

思路导引：本题的解题思路与已知不等式的解集求参数值相似，只是要注意不等式组的解集应是各个不等式解集的交集。

解析： 

由（1）解得。

由（2）得。因为－2是不等式组的解，故，得 ，所以，（2）的解为。

由此可知，原不等式组的解为（Ⅰ），或。

因为，所以，故（Ⅰ）的整数解为－2。而原不等式组的整数解只有－2，所以（Ⅱ）应该没有整数解，所以。

综上所述，。

【阅卷老师评题】

【例5】(1996年全国高考)解不等式

命题目的：本题综合考查了对数不等式、分式不等式、二次不等式的解法，以及分类讨论的思想和运算能力。

考情分析：该题本身的能力要求并不高，但在解答的过程中却多次涉及易错点，故当年考生的得分率较低，区分度达0.51。

思路导引：因为对数函数的单调性与有关，故应对分类讨论去除对数符号，将原不等式化为分式不等式，然后再化为整式不等式求解。

解析：（Ⅰ）当时，原不等式等价于：

因，故只需解（2）式，由此得

因为所以由（3）可得

（Ⅱ）当时，原不等式等价于：

由（4）得，

由（5）得，，故，

易解得（5）的解为。

所以。

综上所述:当时，不等式的解集为

 当时，不等式的解集为

点评：解不等式要注意不等式变形的等价性，对常见的易错点应熟记于心，这样才能有效地避免错误。此外，在解题时注意充分使用已知条件，常常会得到简便解法。如解不等式（2）（5）时利用的范围判断出的正负后，就能很方便的去分母了。本题也可由得出后，分和两类解答。

【例6】（2004年上海高考）记函数f(x)=的定义域为A，g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定义域为B。

(1) 求A；

(2) 若BA, 求实数a的取值范围.

命题目的：本小题主要考查集合的有关概念，

考查二次不等式、分式不等式、对数不等式的解法，以及分析问题和推理计算能力。

考情分析：此题型在各地高考中经常出现。本题难度较小，得分率较高，但有的考生在求的范围时没充分使用的条件，引起解题过程复杂或出错。

解析：（1）由2－≥0, 得≥0, 解得

x<－1或x≥1， 即A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞）

(2) 由(x－a－1)(2a－x)>0,

得(x－a－1)(x－2a)<0.

因为a<1，所以a+1>2a，故B=(2a,a+1)。

由BA知：2a≥1或a+1≤－1，

解得a≥或a≤－2。

因为a<1, 所以≤a<1或a≤－2，

故当时, 实数a的取值范围是(－∞,－2]∪[,1) ．

【好题优化训练】

基础巩固

1、的解集为（ ）

（A）         （B）    

（C）          （D）

答案：D

解析:取可排除B、C；取可排除A。故选D。

2、满足的的取值范围是（ ）

（A）    （B）

（C）      （D）

答案：D

解析:解不等式组或验证排除。

3、解不等式

答案：

解析:原不等式等价于（Ⅰ），

或（Ⅱ）

由（Ⅰ）解得，

由（Ⅱ）解得

所以，原不等式的解集为。

点评：若令，则该不等式可化为一个关于的二次不等式求解。

4、解关于的不等式。

答案：原不等式的解集当时，为；

当时，为；当时为

φ；当时，为；当时，为。

解析: 原不等式即，的范围明显会影响不等式的解集，故需分类讨论：

1）时，原不等式即，解得。

2）时，，不等式的解为。

3）时，原不等式为，。

4）时，，不等式的解为。

5）时，原不等式可化为，

易知，所以不等式的解为。

5、不等式对一切实数均成立，求的取值范围。

答案：（1，3）。 

解析:已知分母恒正，故原不等式可化为：

，

即，

由题意，该式对一切实数恒成立。

所以，，

容易解得。

技能培训

6、不等式的解集为：_______。

答案：[3，＋∞)。

解析:原不等式等价于，

解得。

7、设。若方程没有正根，则的取值范围为____________。

答案：。

解析:因为方程没有正根，由图 易知；，

或。

  解得：。

8、若关于的不等式的解是，或，则的值为（ ）

（A）              （B）

（C）             （D）

答案：B

解析:原不等式即，由其解集易知。

9、若对于

一切实数恒成立，则的取值范围是（ ）

（A）          （B）

（C）       （D）

答案：C

解析:由已知，，解得。

10、解关于的不等式。

答案：不等式的解集当时为；当时为；当时为；当时，为。

解析: 原不等式可化为，所以。

（1）当时，，原不等式的解集为；

（2）当时，，原不等式的解集为；

（3）当时，原不等式为，所以；

（4）当时，，所以原不等式的解集为。

11、某工厂生产商品M，若每件定价80元，则每年可销售80万件。税务部门对市场销售的商品征收附加费，为了既增加国家收入又有利于活跃市场，必须合理确定征收的税率。根据调查分析，若对商品M征收的税率为p％时，每年销售减少10p万件，试问：

（1）若税务部门对商品M每年所收税金不少96万元，求p的取值范围。

（2）在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，因如何确定p值？

（3）若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定p值？

答案：（1）。（2）。（3）。

解析: （1）税率为时，销售量为万件，销售金额为万元（）。

由题意易得：，

解得。

（2）销售金额最大即最大，由（1）可知，，所以，当时 ，最大销售金额为4800万元。

（3）由（1）知易知，销售金额为，故税金为，

因为，所以，时，国家所得税金最多，为128万元。

12、若不等式的解集为，且，求不等式的解集。

答案：

解析:依题意，方程的二根为，故有：

所以，，，

这样即可将不等式化为，

由题意易知，所以。

因为，所以，故所求不等式的解集为。

13、解不等式

答案：

解析:原不等式可化为：

（Ⅰ）

或（Ⅱ）

由（1）得，

由（2）得，

由（3）得，

由（4）得。 

因为，所以；

1）当时，， ，故不等式组（Ⅰ）的解为，不等式组（Ⅱ）的解为，此时，原不等式的解为。

2）当时，，，此时不等式组（Ⅰ）的解为Φ，不等式组（Ⅱ）的解为，原不等式的解为。

综上所述，原不等式的解集当时为，当时为。

点评：本题也可用图形法求解。

思维拓展

14、为何值时，方程的二实根的绝对值都小于1？

答案： 

解析: 作函数。因为方程的二实根的绝对值都小于1，所以函数图象与轴的交点的横坐标在－1与1之间（如图 ）。

分析图形特点可得：

解得。

点评：已知一元二次方程的根在某个指定区间内时，常常数形结合，抓住判别式△、对称轴的位置以及区间端点的函数值列式解题。