线性代数试题1

课程代码：02198

说明：|A|表示方阵A的行列式

一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题2分，共24分)

1.若A是(    )，则A必为方阵.

A. 分块矩阵                            B. 可逆矩阵

C. 转置矩阵                            D. 线性方程组的系数矩阵

2.设n阶方阵A，且｜A｜≠0，则(A*)-1=(    ).

A. A                            B. A*C. ｜A-1｜A-1                         D. A

3.设向量组M为四维向量空间R4的一个基，则(    )必成立.A. M由四个向量组成

B. M由四维向量组成

C. M由四个线性无关的四维向量组成

D. M由四个线性相关的四维向量组成

4.已知β1=3α1-α２，β2=α1+5α2，β3=-α1+4α2，α1，α2为非零向量，则向量组β1，β2，β3的秩(    ).

A. >3                             B. <3

C. =3                                D. =0

5.设向量α1=(3,0,-2)T，α2=(2,-1,-5)T，β=(1,-2,k)T，则k=(    )时，β才能由α1,α2线性表示.A. –2                                B. –4

C. –6                                D. -8

6.设n阶方阵A，秩(A)=rA. 必有r个行向量线性无关

B. 任意r个行向量线性无关

C. 任意r个行向量都构成最大无关组

D. 任意一个行向量都可由其他r个行向量线性表示

7.设非齐次线性方程组Ax=b有唯一解，A为m×n矩阵，则必有(    ).

A. m=n                                B. 秩(A)=mC. 秩(A)=n                            D. 秩(A)8.设方阵A，下列说法正确的是(    ).

A. 若A有n个不同的特征向量，则A可以对角化

B. 若A的特征值不完全相异，则A不能对角化

C. 若AT=A，则A可以对角化

D. 以上说法都不对

9.A为实对称矩阵，Ax1=λ1x1，Ax2=λ2x2，且λ1≠λ2，则(x1，x2)=(    ).

A. 1                                    B. –1

C. 0                                    D. 2

10.若(    )，则A∽B.

A. ｜A｜=｜B｜                        B. 秩(A)=秩(B)

C. A与B有相同的特征多项式            

D. n阶矩阵A与B有相同的特征值，且n个特征值各不相同

11.正定二次型f(x1,x2,x3,x4)的矩阵为A，则(    )必成立.

A. A的所有顺序主子式为非负数        B. A的所有特征值为非负数

C. A的所有顺序主子式大于零            D. A的所有特征值互不相同

12.设A，B为n阶矩阵，若(    )，则A与B合同.

A. 存在n阶可逆矩阵P、Q，且PAQ=B

B. 存在n阶可逆矩阵P，且P-1AP=B

C. 存在n阶正交矩阵Q，且Q-1AQ=B

D. 存在n阶方阵C、T，且CAT=B二、填空题(每空2分，共24分)

1.行列式=______.

2.设A=，则AAT=______.

3.向量组α1=(1,1,1,1),α2=(0,1,1,1),α3=(0,0,1,1)的一个最大无关组是______.

4.非零n维向量α1,α2线性无关的充要条件是______.

5.三维向量空间R3的一个基为(1，2，3)，(-4，5，6)，(7，-8，9)，R3中向量α在该基下的坐标为(-2，0，1)，则α=______.

6.线性方程组Ax=0解向量的一个最大无关组为x1，x2，…，xt，则Ax=0的解向量x=_____.7.设m×n矩阵A，且秩(A)=r，D为A的一个r+1阶子式，则D=______.

8.已知P-1AP=B，且｜B｜≠0，则=______.

9.矩阵A=的所有特征值为________.

10.二次型f(x1,x2,x3)的矩阵A有三个特征值1，-1，2，该二次型的标准形为______.

11.二次型f(x1,x2,x3)=2x12-x22+x32，该二次型的负惯性指数等于______.

12.与矩阵A=对应的二次型是______.

三、计算题(每小题7分，共42分)

1.已知X=，求矩阵X.

2.计算行列式

3.t取何值时，向量组α1=(1,2,3),α2=(2,2,2)，α3=(3,0,t)线性相关，写出一个线性相关的关系式.

4.方程组是否有非零解?若有，求其结构解.

5.已知二阶方阵A的特征值为4，-2，其对应的特征向量分别为(1，1)T，(1，-5)T，求矩阵A.

6.求一个正交变换，把f(x1,x2)=2x12+2x1x2+2x22化成标准形，并判断f(x1,x2)是否正定.

四、证明题(每小题5分，共10分)

1.若对称矩阵A为非奇异矩阵，则A-1也是对称矩阵.

2.设n阶矩阵A，且A2=E，试证A的特征值只能是1或-1.