2011考研数学二模拟题

一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。

（1）当时，设，，，把三个无穷小按阶的高低由低到高排列起来，正确的顺序是（   ）

（A）；（B）；（C）；（D）；

（2）设函数在内连续，在内可导，函数的图像为

则其导数的图像为（   ）

(A)                          (B) 

(C)                           (D)

(3)若是奇函数，是偶函数，则（    ）

（A）必是奇函数       （B）必是偶函数

（C）是非奇非偶函数   （D）可能是奇函数也可能是偶函数

(4)设，则（   ）

（A）；（B）；（C）；（D）

(5)下列说法中正确的是（   ）

（A）无界函数与无穷大的乘积必为无穷大；  

（B）无界函数与无穷小的乘积必为无穷小；

（C）有界函数与无穷大之和必为无穷大；

（D）无界函数与无界函数的乘积必无解；

(6)设线性无关的函数都是二阶线性非齐次方程的解，为任意常数，则该方程的通解是（    ）

（A）；        （B）；

（C）；（D）；

(7)设是阶矩阵，齐次线性方程组（I）有非零解，则非齐次线性方程组（II），对任何

（A）不可能有唯一解；      （B）必有无穷多解；

（C）无解；                （D）可能有唯一解，也可能有无穷多解

(8)设均是阶可逆矩阵，则行列式的值为

（A）； （B）； （C）； （D）

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中的横线上。

(9)已知，，则             。

(10) 方程满足的特解为             。

(11)              。其中为。

(12)设有一个原函数为，则              。

(13) 若，则=               。

(14) 设是三阶矩阵，已知，与相似，则的相似对角形为                。

三、解答题15~23小题，共94分。解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。

(15)（本题满分10分）求。

(16)（本题满分10分）计算。

(17) （本题满分10分）设在连续，且，。证明：至少，使得。

(18) （本题满分10分）设函数由方程所确定，其中有一阶连续偏导数，求。

(19) （本题满分10分）一个瓷质容器，内壁和外壁的形状分别为抛物线和绕轴的旋转面，容器的外高为10，比重为。把它铅直地浮在水中，再注入比重为3的溶液。问欲保持容器不沉没，注入液体的最大深度是多少？（长度单位为厘米）

(20) （本题满分11分）设，其中在处二阶可导，且。

（I）、为何值时在处连续？

（II）、为何值时在处可导？

(21) （本题满分11分）过椭圆上任一点作椭圆的切线，试求诸切线与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值。

(22) （本题满分11分）设是实矩阵。证明：（I）与是同解方程组；（II）秩=秩

(23)（本题满分11分）设为三阶方阵，为三维线性无关列向量组，且有，，。求

（I）求的全部特征值。 （II）是否可以对角化？

2011考研数学二模拟题参

二、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。

（1）C

解：由

所以

由

。故C成立。

（2）B

解：由于函数可导（除）且取得两个极值，故函数有两个驻点，即导函数图像与轴有且仅有两个交点，故A，C不正确。又由函数图像，极大值应小于极小值点，故D不正确。

（3） B

解：设，则

（4）A

解：，因，则

，故。而

，故，所以

【也可以用泰勒公式计算】

（5）C

设在内有界，即；，，即，，使当时，。则，即对，当时，，故

（6）D

由都是已知方程的线性无关的解知是二阶线性齐次方程的通解；根据二阶线性方程通解的结构定理知，该方程的通解为

（7）A

解：有非零解，充要条件是，由此即可找到答案。

（8）D

解： ==

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中的横线上。

（9）应填。

解：由，得

(10)应填

解：令，原方程变为

方程两边对求导得

再两边对求导得，即

由得，故

(11)应填

(12)应填

解：由

其中

利用分部积分法，有

故

故 原式

(13)应填

解：由于

所以

(14)应填【形式不唯一，只要是对角线上为-1，-2，-3就对】

解：由，知的特征值为，相似矩阵具有相同的特征值，所以的特征值也为，故相似的标准形为

三、解答题15~23小题，共94分。解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。

(15) （本题满分10分）解：

由 

所以

(16) （本题满分10分）

解：本题积分区域利用极坐标表示

原式 

 (17) （本题满分10分）证明：作函数，有

。

所以由积分中值定理，存在，

使即。

又，所以，由极限的保号性，存在，

使，即。

因此，由介值定理，至少存在一个，使，即。

(18) （本题满分10分）

解：设，，则

解得： 

解得： 

所以=0

(19) （本题满分10分） 解： 设容器体积为，容器的容积即由抛物线在上绕轴旋转所得立体的体积，则

， 

所以，容器重量为

设注入液体的最大深度为，则注入液体的重量为

若液体和容器形成一体的比重为1，则可保持其在水中不沉没

所以，由，可得， 

(20) 解：（I）

若要在处连续，必须，即

故，为任意实数时，在处连续。

（II）若要在处可导，则必须在处连续（），且

所以

所以，时，在处可导

(21) （本题满分10分）解：设为所给椭圆上任一点，则可求得在处的切线方程为

它与两坐标轴的交点为和。

所以切线与坐标轴围成的三角形面积为

则只须求在条件下的极值即可。

设

由

解得或。

由此分别求的或

所以诸切线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值为

(22) （本题满分11分）证明：若是的解，显然是的解；反之，设是的解，则。即，从而

，于是，即是的解。与是同解方程组

（II）既然与是同解方程组，两者的解空间维数相同，从而推知秩=秩

(23) （本题满分11分）

解：（I）由已知得，，，，

又因为线性无关，所以，， 

所以,2是的特征值，，，是相对应的特征向量。

又由线性无关，得，，也线性无关，所以是矩阵的二重特征值，即得全部特征值为,2

（II）由线性无关，可以证明，，也线性无关，即有三个线性无关的特征向量，所以，矩阵可相似对角化。