(完整版)无穷级数练习题

一、填空题

1、设幂级数的收敛半径为3，则幂级数的收敛区间为           。

2、幂级数的收敛域为               。

3、幂级数的收敛半径             。

4、幂级数的收敛域是            。

5、级数的收敛域为            。

6、级数的和为             。

7、                。

8、设函数 的傅里叶级数展开式为

，则其系数的值为              .

9、设函数   则其以为周期的傅里叶级数在点处的敛于           。

10、级数的和            。

11、级数的收敛域为            。

参：1、   2、   3、   4、   5、

6、    7、     8、     9、     10、    11、

二、选择题

1、设常数,而级数收敛,则级数是(         ）.

（A）发散   (B）条件收敛   （C)绝对收敛    （D)收敛与有关

2、设，，，则下列命题中正确的是(         ）。

（A）若条件收敛,则与都收敛。

（B）若绝对收敛，则与都收敛。

（C）若条件收敛，则与的敛散性都不一定.

（D）若绝对收敛，则与的敛散性都不定。

3、设,若发散，收敛，则下列结论正确的是（       ）。

（A）收敛，发散。      (B)收敛,发散.

（C)收敛。           (D）收敛。

4、设为常数，则级数是（      ）

（A）绝对收敛。     （B）条件收敛.     （C）发散.     （D）收敛性与取值有关。

5、级数（常数)是(        ）

（A）发散。      (B）条件收敛。    （C）    绝对收敛。     （D)收敛性与有关.

6、设，则级数

（A）与都收敛。      （B）与都发散。

(C）收敛而发散.     （D)发散而收敛.

7、已知级数，则级数等于（       ）。

（A）3。     (B）7.         (C）8.     （D）9。

8、设函数，而

             ，    

其中，，则等于(      ).

(A)。      (B）.     （C)。      （D)。

9、设          ，

其中       则等于（      )。

（A)。    （B）.    （C）。      (D）.

10、设级数收敛，则必收敛的级数为

(A)。  （B）.   （C）.  （D）.

11、已知级数， ,则级数等于（     ）。

（A)3.        (B）7.       （C）8。      （D）9。

12、若级数收敛，则级数（      )

（A）收敛。 （B）收敛. （C）收敛.（D)收敛。

13、若在处收敛，则此级数在处（       ）。

(A）条件收敛。     （B）绝对收敛.     （C）发散。     （D)敛散性不能确定.

14、设幂级数与的收敛半径分别为与，则幂级数的收敛半径为(        ）

（A）5.       （B）      (C）      （D）

参：

1、设在点的某一邻域内具有二阶连续导数,且，证明级数绝对收敛。

【分析一】表明时是比高阶的无穷小,若能进一步确定是的阶或高于阶的无穷小，，从而也是的阶或高于阶的无穷小，这就证明了绝对收敛。

【证明一】由及的连续性.再由在邻域有二阶连续导数及洛必达法则

由函数极限与数列极限的关系     

因收敛收敛,即绝对收敛.

2、设正项数列单调减小，且发散，试问级数是否收敛？

【分析与求解】因单调下降有下界极限。若，由莱布尼兹法则，并错级数收敛,与假设矛盾,于是.

现在对正项级数可用根值判别法：因为

              ,

所以原级数收敛.

3、求幂级数收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性。

【分析与求解】 直接用求收敛半径的公式,先求

于是收敛半径，收敛区间为

当时是正项级数：

,而发散,

  发散，即时原幂级数发散。

当时是变号级数，我们用分解法讨论它的敛发散。

因     收敛，

收敛，又收敛收敛,即时原幂级数收敛.

4、(1）验证函数满足微分方程

；

  (2）利用(1）的结果求幂级数的和函数.

【分析与求解】

(1）首先验证该幂级数的收敛区间是这是缺项幂级数，令,则

     原级数

由    

，从而时原级数收敛。

其次，在收敛区间内对幂级数可以逐项求导任意次，这里要求逐项求导两次：

           ，  ， 

于是           

              级数的线性性质 

                 (收敛级数与它任意添加括号后的级数有相同的和）

（2）因为幂级数的和函数满足微分方程

                     ①

又知              ②

所以为求只须解二阶线性常系数微分方程的初值问题①+②

该方程相应的齐次方程的特征方程为     

特征根为      相应齐次方程的通解为

设非齐次方程的一个特解为，代入方程①得

 非齐次方程①的通解为  

令,由初始条件② 

因此              

5、求幂级数的收敛区间与和函数

【分析与求解】 这是缺项幂级数，令考察，其中

由                 

的收敛半径为1原幂级数收敛半径为1，收敛区间为.

下面求和函数：

，

注意，积分两次得

，

因此，

6、求级数的和.

【分析与求解】先将级数分解:

第二个级数是几何级数,它的和已知

求第一个级数的和转化为幂级数求和,考察

因此原级数的和    

7、求级数的和.

【分析与求解】  先用分解法将原级数分解.

           记 

要熟记五个简单函数的幂级数展开式，与此级数和有关的是，即

于是     

            ,

因此       

8、将函数展为的幂级数。

【分析与求解】容易展开.

                   ,

由     ，得

                                    ①

在幂级数的收敛区间内可逐项积分得

                       ②

且收敛区间不变，当时，②式右端级数均收敛，而左端在连续,在无定义，因此

9、将函数  展开成的幂级数。

【分析与求解】，先求的展开式

积分得       

10、设    试将展开成的幂级数，并求级数的和.

【分析与求解】  关键是将展成幂级数，然后约去因子，再乘上并化简即可.直接将展开办不到，且易展开，即

                            ①

积分得

       ②

因为右端级数在时均收敛,又在连续,所以展开式在收敛区间端点成立.

现将②式两边同乘得

上式右端当时取值为1，于是

上式中令 

11、将函数展成以为周期的傅里叶级数，并由此求级数的和。

【分析与求解】  按傅氏系数公式，先求的傅氏系数与。

因为偶函数

注意到在分段单调，连续且，于是有傅氏展开式

为了求的值,上式中令得

      即  

现由   

12、将函数展开成周期为4的余弦级数.

【分析与求解】这就是将作偶延拓后再作周期4的周期延拓，于是得的傅氏系数：

   =

由于（延拓后）在分段单调、连续且于是有展开式

13、求幂级数的收敛区间，并讨论该区间端关处的收敛性。

解：设

  收敛区间

当时，

而发散原级数在处发散。

当时，

记

  收敛,又收敛。

故原级数在处收敛收敛域内

14、将函数展开成的幂级数。

分析  先将分解成部分分式，再利用等比级数间接展开。

解：

15、将函数展开成的幂级数，并求级数的和。

分析    直接展开较困难，先将展开，再递项积分得出的展开式

解  

当时，收敛     (莱布尼兹判别法）

当时,收敛

又

16、求幂级数的收敛域及和函数

解：求收敛域，由于该幂级数缺项幂级数,则直接用比值判别法求之,设

当,即时，原级数绝对收敛;

当即时，原级数发散。

所以原级数的收敛半径为1,收敛区间是

当时，绝对收敛

同理,当时，绝对收敛，

因此，该级数的收敛域为

17、求幂级数的收敛区间与和函数.

解:此级数是缺项的幂级数

令

当，即时，级数绝对收敛；

当，即时，级数发散.

级数的收敛区间为

记

18、(1）讨论级数的敛散性,（2）已知级数和都收敛，试证明级数绝对敛.

（1）解 

         收敛

（2）证   与都收敛收敛收敛

即  绝对收敛。

19、设有方程，其中为正整数，证明此方程存在唯一的正实根,并证明当时，级数收敛.

分析  (1）存在性用根的存在定理，唯一的性用函数的严格可调性

      （2）用比较判别法证明收敛。

证 （1）取,则在上连续，且

,使，

又在上严格递增方程

存在唯一正实根

由  且，有

又  收敛收敛。

20、设

（1)试证：

(2)试证:对任意常数，级数收敛。

（1）解  直接求的表达式

（2)证      令

    于是  

    由于  收敛

    因此  收敛。

21、求级数的收敛域.

【解】因系数故  

因此当,即时级数绝对收敛。

当时,得交错级数；当时，得正项级数，二者都收敛，于是原级数的收敛域为

22、已知函数  试计算下列各题：

；     

【解】用分段积分法,分部积分法和换元积分法，分别可得

       ；

；

；

利用以上结果,有

23、设有两条抛物线和，记它们交点的横坐标的绝对值为。

（1）求这两条抛物线所围成的平面图形的面积；

（2）求级数的和。

【解】（1）用与分别表示两条抛物线

与与

有两个交点与，如图

令 ，容易求得，利用定积分还可求得两抛物线围成的平面图形的面积.

（2） 因为  ,

于是        

故          

24、设，求

【解】由  ，有

令，因其收敛半径，且，故在内有

于是     

令，

即得  

从而   

25、已知满足（为正整数）,且，求函数项级数之和。

【解】由已知条件可知满足一阶线性微分方程

          其通解为  

由条件，得，故从而

记，其收敛域为时,有

故   

    由与在的连续性知，上述和函数公式在处也成立,于是,当时，有

26、（1）验证函数满足微分方程;

利用的结果求幂级数的和函数。

【解】  因为幂级数

的收敛域是,因而可在上逐项求导数，得

          ,

         ,

所以     

（2）与

相应的齐次微分方程为,

其特征方程为  ，特征根为

因此齐次微分方程的通解为  

    设非齐次微分方程的特解为   ,将代入方程 可得

                ,即有  

于是，方程通解为   

当时，有

于是幂级数的和函数为

27、求幂级数的和函数及其极值。

【解】 将等式  逐项求导，得

上式两边从到积分,有

由于,故得到了和函数的表达式

令，可求出函数有惟一驻点,因为

         ，

可见在点处取得极大值，且极大值为

28、设级数的和函数为，求：所满足的一阶微分方程；的表在式.

【解】   

易见，且幂级数的收敛域为,在上逐项求导，得

因此是初值问题  ，的解。

 方程 的通解为

由初始条件   求得

故 ,因此和函数

29、求幂级数在区间内的和函数

【解】 不难发现,从而，只需求当时和函数的表达式,注意

其中    

逐项求导,得   

将上式两端的改写成，并分别从到求定积分,可得

又因，于是  

综合以上讨论，即得

1．判别下列级数的敛散性：

解：1），而收敛,

由比较审敛法知 收敛.

2），而发散,

由比较审敛法的极限形式知 发散。

3) ,

，由比值审敛法知 收敛。

4） ，

，由根值审敛法知 收敛。

2．判别下列级数是绝对收敛,条件收敛，还是发散？

    ；   ；   。

解:1)对于级数,

由，知级数绝对收敛，

易知条件收敛，故  条件收敛。

2),由，知级数收敛，

故绝对收敛。

3）记，，而发散，故发散，

令，，当时，，故在区间内单

调增加，由此可知 ,又，故收敛,但非绝对收敛,即为条件收敛。

3．求幂级数的收敛区间.

解:收敛半径为 ，

当时，得级数，发散；

当时，得交错级数,收敛。

所求收敛区间为。

4．证明级数当时绝对收敛，当时发散。

注：数列单调增加，且。

证：收敛半径 ，

当时幂级数绝对收敛，当时幂级数发散，

当时，得级数,，,因单调增加，且，故，于是得,由此，故级数发散。

5．在区间内求幂级数  的和函数。

解:设 （）,，

    ，

    ，

     （）。

6．求级数的和。

解:设 （）,则

          ,

其中 ，   (）。

    设，则,

于是       ，

从而       

                 （）。

因此 。

7．把展开成  的幂级数,并求级数  的和。

解:  （），

      （），

因在点处连续，而在点处收敛，

从而     （）.

于是  。

8．设  （）证明

1)存在； 2)级数收敛。

证：1)因 ，

，

故是单调减少有下界的数列，所以存在。

2)由（1）知 ,

记，因存在，故存在，所以收敛,由比较审敛法知收敛.

9．设,

求的值；                                              

试证：对任意的常数，级数收敛.

证：1) 因为  

            ，

            ，

所以     .

2） 因为  ，所以  ,

由知收敛，从而收敛。

10．设正项数列单调减少，且发散，试问是否收敛？并说明理由。

解：级数收敛。

理由：由于正项数列单调减少有下界，故存在，记，则。

若，则由莱布尼兹定理知 收敛,与题设矛盾，故.

 因为 ，由根值审敛法知级数收敛。

11．已知[参见教材246页]，计算

解：由   ()，

得  

。

12．计算。

解：由   ,

得       ，

于是     ，

从而