一元二次方程知识点+专题复习

考点一：一元二次方程定义与解法

 1.定义：只含有一个未知数，并且含未知数项的最高次数是2，这样的整式方程叫一元二次方程，一元二次方程的标准形式是 。

 2.常用解法

（1）直接开平方法：如果＝a(a≥0)，则x＝±a，即方程的解为＝a，＝－a.

（2）公式法:如果 ，得，。

 （3）配方法

例：用配方法解

第一步，将二次项系数化为：，（两边同除以）

第二步，移项： 

第三步，两边同加一次项系数的一半的平方：

第四步，完全平方：

   第五步，直接开平方：，即:,

  （4）因式分解法：若，则的解为，。

   方法总结：解一元二次方程时，要注意根据方程的特点，选择适当的方法求解。一般地，若方程左边是一个完全平方式，右边是一个非负数或完全平方式，就采用直接开方法；若能分解因式就用因式分解法；当以上两种方法都行不通时，可采用公式法或配方法。 

【课前热身】

1. 当____________时，方程是一元二次方程.

2. 已知是方程的一个根，则方程的另一根为__________.

3.一元二次方程的解是_____________.

4. 若关于的一元二次方程，且，则方程必有一根为____________.

5. 用配方法解方程,则下列配方正确的是(    )

A.     B.    C.     D.

【典型例题解析】

1、关于的一元二次方程中，求的取值范围.

2、已知：关于的方程的一个根是，求方程的另一个根及的值。

3、用配方法解方程:

【考点训练】

1、关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（   ）A.           B.       C.或       D.

2、解方程的最适当的方法（    ）

A. 直接开平方法  B. 配方法   C. 因式分解法   D. 公式法

3、若，则一元二次方程有一根是（   ）

A. 2    B. 1     C. 0      D. －1

4、当__________时，不是关于的一元二次方程.

5、已知方程，则代数式_____________.

考点二：一元二次方程的判别式

关于x的一元二次方程(a≠0)的根的判别式为，有： 

1．＞0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根，即，。

2．＝0⇔一元二次方程(a≠0)有两个相等的实数根， 

3．＜0⇔一元二次方程(a≠0)没有实数根。

方法总结：针对这个考点，要求能根据一元二次方程根的判别式确定方程有无实根的情况。当然一元二次方程根的判别式的性质反用也成立，即已知根的情况，可以得到一个等式或不等式，从而确定系数的值或取值范围．

【课前热身】

1.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(      )

  A.    B. 且    C.≤     D. ≤且

2. 一元二次方程的根的情况为（　　）

A.有两个相等的实数根    B.有两个不相等的实数根 

  C.只有一个实数根     D. 没有实数根

3.已知关于的一元二次方程.请你为选取一个合适的整数，当____________时，得到的方程有两个不相等的实数根；

4.若关于的方程有两个相等的实数根，求的取值范围。

【典型考题】

1.已知关于的方程，当为何非负整数时：

(1)方程只有一个实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程有两个不等的实数根.

2.已知是三角形的三条边，求证：关于的方程没有实数根.

【课时训练】

1、一元二次方程的根的情况为（　　）

A.有两个相等的实数根    B.有两个不相等的实数根  C.只有一个实数根    D.没有实数根

2、已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） 

A.  B.       C. ≥     D.

3、一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________.                                                        

4、求证：关于的方程有两个不相等的实数根。

考点三：韦达定理

韦达定理:如一元二次方程的两根为，则，

适用题型：(1)已知一根求另一根及未知系数；       

(2)求与方程的根有关的代数式的值；

          (3)已知两根求作方程；                 

(4)已知两数的和与积，求这两个数；

          (5)确定根的符号:(是方程两根)；  

  （6）题目给出两根之间的关系，如两根互为相反数、互为倒数、两根的平方和或平方差是多少、两根是的两直角边求斜边等情况.

注意：（1）

     （2）；   

（3）①方程有两正根，则；   

②方程有两负根，则 ；

③方程有一正一负两根，则；

④方程一根大于，另一根小于，则

（3）应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时，一般把所求作得方程的二次项系数设为，即以为根的一元二次方程为;求字母系数的值时，需使二次项系数，同时满足≥;求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和，两根之积的代数式的形式，整体代入。

【课前热身】

1、（1）若是方程的两根，则

（2）若关于x的方程有一个根为-1，则另一个根为___________.

2、（1）设施方程的两个根，且，则______，m=__________.

（2）、是方程的两个，则__________，__________________.

【典型例题解析】

1、（1）若关于x的方程有一个根为1，则该方程的另一个根为___________。

（2）是一元二次方程的两个根，则的值是___________.

2、已知是方程的两个实数根，则_________.

3、（1）已知方程的两个根为4和9，则b=________,c=____________.

（2）设是一元二次方程的两根，求的值。

（3）已知方程的两根为，其中，求的值。

（4）、（1）若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为2和-4，则m+n的值是（ ）

A.-10      B.10      C.-6      D.-1

（5）若α，β是方程的两个实数根，则的值为（ ）

A.10    B.9    C.8    D.7

第一讲 一元二次方程作业

一、填空题

1、关于的方程是一元二次方程，则的取值范

围是      ____  .

2、若是关于的方程的根，则的值为      ____  .

3、方程的根的情况是____________________.

4、写出一个既能直接开方法解，又能用因式分解法解的一元二次方程是.

5、在实数范围内定义一种运算“”，其规则为,根据这个规则，方程的解为_________________.

6、如果关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是_____________。

7、设是一元二次方程的两个根，则代数式的值为___________.

8、是整数，已知关于的一元二次方程只有整数根，则=__________.

二、选择题

1、关于的方程的根的情况是（   ）

A.有两个不相等的实数根     B.有两个相等的实数根     C.无实数根     D.不能确定

2、已知方程有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是（   ）

 A、    B、       C、    D、

3、若关于的一元二次方程没有实数根，那么的最小整数值是（    ）

  A. 1   B. 2    C. 3     D. 

4、如果是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根，那么的值是（   ）

 A、1或2         B、0或        C、或       D、0或3

5、设是方程的较大的一根，是方程的较小的一根，则（    ）

6、 A.     B.     C. 1      D. 2

三、解答题

1、解下列方程： 

2、已知方程有两个相等的实数根，求值，并求出方程的根。

3、已知是的三条边长，且方程有两个相等的实数根，试判断的形状。

4、 已知关于的一元二次方程.

（1）求证：原方程恒有两个实数根;

（2）若方程的两个实数根一个小于5，另一个大于2，求的取值范围.