2004年湖南省高考数学卷(理科)

一.选择题

(1)复数4

)11(i +的值是

(A) 4i (B) –4i (C)4 (D)—4 (2)如果双曲线12

132

2y x -=1上一点P 到右焦点的距离等于13,那么点P 到右准线的距离是 (A)513 (B) 13 (C)5 (D)13

5 (3)设)(1x f -是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数,若8)](1)][(1[11=++--b f a f ,则f(a —b)的值为

(A) 1 (B)2 (C)3 (D)3log 2

(4) 把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的正棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为

A 90

B 60

C 45

D 30

(5)某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况,需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本,记这项调查为①：在丙地区中有20个特大型销焦点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为，则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是

（A ）分层抽样，系统抽样法 （B ）分层抽样法，简单随机抽样法

（C ）系统抽样法，分层抽样法 （D ）简随机抽样法，分层抽样法

（6）设函数⎩

⎨⎧≤++〉=,0,.0,2)(2x c bx x x x f 若f(--4)=f(0),f(--2)=--2,则关于x 的方程x x f =)(的解的个数为

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

（7）设a ＞0, b ＞0，则以下不等式中不恒成立．．．．

的是 （A ）)11)(

(b a b a ++≥4 （B ）33b a +≥22ab （C ）222++b a ≥b a 22+ （D ）

b a -≥b a - （8）数列{}n a 中，,,56,51111*++∈=+=

N n a a a n n n 则)(211lim n n a a a +++→ = （A ）52 （B ）72 （C ）4

1 （D ）254 （9）设集合n y x y x B m y x y x A R y R x y x U -+=〉+-=∈∈=,{(},02),{(},,),{(≤0},

那么点P(2,3) 的充要条件是

(A)m ＞—1 ,n ＜5 (B) m ＜--1 ,n ＜5

(C) m ＞—1 ,n ＞5 (D) m ＜--1 ,n ＞5

(10) 从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形,其中直角三角形的个数为

(A)56 (B) 52 (C)48 (D)40

(12)设f(x)、g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x ＜0时,)()()()(x g x f x g x f '-＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是

(A) (--3,0)

(13)已知向量),sin ,(cos θθ=a 向量)1,3(-=b ,则b a -2的最大值是 .

(14)同时抛掷两枚相同的均匀硬币,随机变量ξ=1表示结果中有正面向上, ξ=0表示结果中没有正面向上,则Eξ= .

(15)若n x x x )1

(3+的展开式中的常数项为84,则n= .

(16)设F 是椭圆16

72

2=+y x 的右焦点,且椭圆上至少有21个不同的点),3,2,1(1 =i P 使 ,321FP FP FP 组成公差为d 的等差数列,则d 的取值范围为 .

三.解答题: 本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

(17)(本小题满分12分)

已知),2

,4(,41)24sin()24sin(

ππππ∈=-⋅+a a a 求1cot tan sin 22--+a a a 的值.

(19) (本小题满分12分)

如图,在底面是菱形的四棱锥P —ABCD 中,,2,,60a PD PB a AC PA ABC ====︒=∠ 点E 在PD 上,且PE:ED= 2: 1.

(Ⅰ)证明 PA ⊥平面ABCD;

(Ⅱ)求以AC 为棱,EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小:

(Ⅲ)在棱PC 上是否存在一点F, 使BF ∥平面AEC?证明你的结论.

(20)(本小题满分12分)

已知函数,)(2ax e x x f =其中a≤0,e 为自然对数的底数.

(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;

(Ⅱ)求函数f(x)在区间[0,1]上的最大值.

(21)(本小题满分12分)

如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点。

(Ⅰ)设点P 分有向线段−−→−AB

所成的比为λ，证明);(QB QA QP λ-⊥ (Ⅱ)设直线AB 的方程是x —2y+12=0,过A 、B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同

的切线，求圆C 的方程。

（22）（本小题满分14分）

如图，直线)21

,0(1:1±≠≠-+=k k k kx y l 与2

121:2+=x y l 相交于点P 。直线1l 与x 轴交于点P 1，过点P 1作x 轴的垂线交直线2l 于点Q 1，过点Q 1作y 轴的垂线交直线1l 于点P 2，过点P 2作x 轴的垂线交直线2l 于点Q 2，…，这样一直作下去，可得到一系列点P 1，Q 1，P 2，Q 2，…。点P n （n=1,2,…）的横坐标构成数列{}n x 。

(Ⅰ)证明;),1(2111*+∈-=-N n x k

x n n (Ⅱ)求数列{}n x 的通项公式；

(Ⅲ)比较22n PP 与54212+PP

k 的大小。

2004年高考试题湖南卷数学答案

一选择题

1. D

2.A

3.B

4.C

5.B

6.C

7.B

8.C

9.A 10.C B 12.D

二.填空题

13. 4 14.0.75 15. 9 16. ]101,0()0,101[ -

三.解答题:

(17) (本小题满分12分)

已知),2

,4(,41)24sin()24sin(πππ

π

∈=-⋅+a a a 求1cot tan sin 22--+a a a 的值. 解: 由)24sin()24sin(a a -⋅+π

π= )24cos()24sin(a a +⋅+π

π

=

,4

14cos 21)42sin(21==+a a π 得.214cos =a 又)2,4(ππ∈a ,所以125π=a . 于是ααααααααααα2sin 2cos 22cos cos sin cos sin 2cos 1cot tan sin 2222

-+-=-+-=--+ =)2cot 22(cos αα+-

=)6

5cot 265(cos ππ+- =32

5)3223(=---. (19) (本小题满分12分)

(Ⅰ)证明 因为底面ABCD 是菱形, ∠ABC=60º,

所以AB=AD=AC=a.

在△PAB 中,由22222PB a AB PA ==+

知PA ⊥AB.

同理, PA ⊥AD,所以PA ⊥平面ABCD.

(Ⅱ)解:作EG ∥PA 交AD 于G,由PA ⊥平面ABCD

知EG ⊥平面ABCD.

作GH ⊥AC 于H,连结EH,则EH ⊥AC.

∠EHG 为二面角θ的平面角.

又PE:ED=2:1 所以,3

360sin ,32,31a AG GH a AG a EG =︒=== 从而.30,33tan ︒===

θθGH EG

(Ⅲ)解法一 以A 为坐标原点,直线AD 、AP 分别为y 轴、z 轴，过A 点垂直平面PAD 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系如图。由题设条件，相关各点的坐标分别为

A(0,0,0),B(),0,2

1,23(),0,21,23a a C a a - D(0,a,0),P(0,0,a), E(0,

).31,32a a 所以),0,2

1,23(),31,32,0(a a AC a a AE == ),,21,23(

),,0,0(a a a PC a AP -== -=(BP ),2

1,23a a a 设点F 是棱PC 上的点, ),,21,23(

λλλλa a a PC PF -==其中0<λ<1,则 ),2

1,23(),21,23(λλλa a a a a a PF BP BF -+-=== =).1(),1(2

1),1(23(λλλ-+-a a a 令AE AC BF 21λλ+=得

123)1(23λλa a =- ,11λλ=- ,3221)1(2121λλλa a a +=+ 即 23

411λλλ+=+ .31)1(2λλa a =- 23

11λλ=-. 解得.2

3,21,2121=-==λλλ 即 2

1=λ时, .2321AE AC BF +-=共面. 又BF ⊄平面AEC,所以当F 是棱PC 的时,BF ∥平面AEC.

解法二 当F 是棱PC 的中点时,BF ∥平面AEC.证明如下.

证法一 取PE 的中点M,连结FM,则FM ∥CE. ①

由,2

1ED PE EM ==知E 是MD 的中点. 连接BM 、BD,设BD AC=O ，则O 为BD 的中点。

所以BM ∥OE 。 ②

由①、②知,平面BFM ∥平面AEC. 证法二

因为)(21

21DP CD AD CP BC BF ++=+

= =)(23

)(212321AD AE AC AD AD DE CD AD -+-+=++

=.2

1

23AC AE -

所以BF 、AE 、AC 共面。

又BF ⊄平面AEC,从而BF ∥平面AEC 。

（20）（本小题满分12分） 解 (Ⅰ).)2()(ax e ax x x f +='

（i ）当a=0时，令)(x f '=0, 得x=0.

若x>0. 则)(x f '>0,从而f(x)在(0,+∞)上单调递增; 若x<0,则)(x f '<0,从而f(x)在(--∞,0)上单调递减. ()ii 当a<0时,令)(x f '=0,得x(ax+2)=0,故x=0或.2

a

x -= 若x<0,则)(x f '<0,从而f(x)在(--∞,0)上单调递减.

若0则)(x f '>0.从而f(x)在(0, ,2

a -)上单调递增; 若x>,2a - 则)(x f '<0.从而f(x)在(,2

a

-+∞)上单调递减.

(Ⅱ) ()i 当a=0时, f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(1)=1. ()ii 当02〈〈-a 时, f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(1)=a

e . )(iii 当a ≤-2时, f(x)在区间[0,1]上的最大值是2

24)2

(e a a f =

-. 21.解(Ⅰ)依题意,可设直线AB 的方程为m kx y +=,代入抛物线方程y x 42

=得 .0442

=--m kx x ①

设A 、B 两点的坐标分别是（x 1,y 1）、(x 2,y 2),则x 1、x 2是方程①的两根。 所以.421m x x -=

由点P （0，m ）分有向线段AB 所成的比为λ，

得

0121=++λλx x ， 即.2

1x x

-=λ

又点Q 是点P 关于原点的以称点，

故点Q 的坐标是（0，--m ）,从而).2,0(m QP =

),(),(2211m y x m y x QB QA +-+=-λλ

=).)1(,(2121m y y x x λλλ-+--

])1([2)(21m y y m QB QA QP λλλ-+-=-⋅ =])1(44[22

122212

1m x x x x x x m ++⋅+

=2

212144)(2x m

x x x x m +⋅

+

=2

21444)(2x m

m x x m +-⋅+

=0， 所以).(QB QA OP λ-⊥ (Ⅱ) 由⎩

⎨

⎧=+-=,

0122,42

y x y x 得点A 、B 的坐标分别是（6，9）、（--4，4）。 由y x 42

=得241x y =

， ,2

1

x y = 所以抛物线y x 42=在点A 处切线的斜率为36

==x y 。

设圆C 的方程是2

2

2

)()(r b y a x =-+-，

则⎪⎩

⎪⎨⎧-=---++=-+-,3169.)4()4()9()6(2222a b b a b a

解之得 .2

125

)4()4(,223,23222=-++==

-=b a r b a 所以圆C 的方程是2

125

)223()23(22=-++y x ，

22.（本小题满分14分）

(Ⅰ)证明 设点n P 的坐标是).,(n n y x 由已知条件得

点1,+n n P Q 的坐标分别是：

).2

121,(),2121,(1+++n n n n x x x x

由1+n P 在直线1l 上，

得.121

211k kx x n n -+=++ 所以),1()1(2

1

1-=-+n n x k x

即.),1(21

11*+∈-=-N n x k

x n n (Ⅱ)解 由题设知 ,011,1111≠-=--=k x k x 又由（Ⅰ）知),1(21

11-=

-+n n x k

x 所以 数列{}1-n x 是首项为x 1—1 ,公比为k

21

的等比数列。

从而,)21(111-⨯-=-n n k k x 即n n k x )21(21⨯-=，*

∈N n 。

(Ⅲ) 解 由⎪⎩

⎪⎨⎧

-+=+=,

1,

2121k kx y x y 得点P 的坐标为（1，1）。

所以,)

21(2)21(8)11(2)1(222222

22-+⨯=--++-=n n n n n k

k k kx x PP .945])10()111[(45422222

12+=+-+--=+k k

k PP k

（)i 当21〉k ，即21-1>k 时，.109154212

=+>+PP k

而此时0,121

<<

k

所以.1021822

=+⨯122

+)(ii 当0,2

121<<

k 即)21,0()0,21( -∈k 时，.1091542

12=+<+PP k

而此时

,121

>k

所以.1021822

=+⨯>n PP 故.5422

122

+>PP k PP n