...福区青竹湖湘一外国语学校九年级(上)期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1．（3分）|﹣2020|＝（　　）

A．﹣2020 B．2020 C． D．

2．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）

A． B．    

C． D．

3．（3分）新冠病毒（2019﹣nCoV）平均直径约为100nm（纳米），即0.0000001米．0.0000001m用科学记数法可以表示为（　　）

A．0.1×10﹣6m B．10×10﹣8m C．1×10﹣7m D．1×1011m

4．（3分）下列运算正确的是（　　）

A．（x3）2＝x5 B．x3•x3＝x6    

C．x6÷x3＝x2 D．（x﹣y）2＝x2﹣y2

5．（3分）如图，已知直线a∥b，直线c分别与a，∠1＝110°，则∠2的度数为（　　）

A．60° B．70° C．80° D．110°

6．（3分）从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加射击比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是9环甲2＝0.25，s乙2＝0.3，s丙2＝0.4，s丁2＝0.35，你认为派谁去参赛更合适（　　）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

7．（3分）平面直角坐标系中，P（a，a﹣2）在第四象限，则a的取值范围是（　　）

A．a＞2 B．a＜0 C．﹣2＜a＜0 D．0＜a＜2

8．（3分）在平面直角坐标系中，有一条“鱼”，它有六个顶点，则（　　）

A．将各点横坐标乘2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似    

B．将各点纵坐标乘2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似    

C．将各点横坐标、纵坐标都乘2，得到的鱼与原来的鱼位似    

D．将各点横坐标乘2，纵坐标乘，得到的鱼与原来的鱼位似

9．（3分）二次函数y＝x2+2x+3的最小值是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝Rt∠，BC＝3cm．D是BC边上的一个动点，连接AD，连接BE，在点D变化的过程中（　　）

A．1 B． C．2 D．

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11．（3分）已知扇形的面积为3π，圆心角为120°，则它的半径为　 　．

12．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则的值为　   　．

13．（3分）已知是方程组的解　 　．

14．（3分）原价100元的某商品，连续两次降价后售价为81元，若每次降低的百分率相同　    　．

15．（3分）正方形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若BC＝3，那么EH的长为 　    　．

16．（3分）如图，∠AOB＝90°，反比例函数（﹣1，a），反比例函数（k＞0，x＞0）的图象过点B，过点B作MN∥OA，交x轴于点M，交双曲线于另一点　    　．

三、解答题（本题共9小题，共72分）

17．计算：﹣|π﹣4|﹣20200+（）﹣1．

18．先化简，再求值：，其中x＝6．

19．每年的秋冬季节，青竹湖湘一外国语学校的银杏大道是学校最为靓丽的一条风景线，数学彭老师有一天为了测量一棵高不可攀的银杏树高度，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离银杏树（AB），然后观测者沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，观测者目高CD＝1.75m，则树高AB约是多少米？

20．某校计划组建航模、摄影、乐器、舞蹈四个课外活动小组，要求每名同学必须参加，并且只能选择其中一个小组．为了解学生对四个课外活动小组的选择情况，并把此次调查结果整理并绘制成如图两幅不完整的统计图．

根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）本次被调查的学生有　   　人；

（2）请补全条形统计图，并求出扇形统计图中“航模”所对应的圆心角的度数；

（3）通过了解，喜爱“航模”的学生中有2名男生和2名女生曾在市航模比赛中获奖，现从这4个人中随机选取2人参加省青少年航模比赛

21．如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，连接AF，BE．

（1）求证：△AGE≌△BGF；

（2）试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．

22．某学校计划从商店购买测温和洗手液，已知购买一个测温比购买一瓶洗手液多用20元，若用400元购买测温和用160元购买洗手液

（1）求购买一个测温、一瓶洗手液各需多少元；

（2）经商谈，商店给予该学校购买一个测温赠送一瓶洗手液的优惠，如果该学校需要洗手液的数量是测温数量的2倍还多8个，那么该学校最多可购买多少个测温？

23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，O是AB边上一点，以点O为圆心，作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）求证：OA2＝OB•OE；

（3）若AE＝9，CD＝3，求△ACD与△COE的面积之比．

24．我们知道：如图（1），点B把线段AC分成两部分，如果．

（1）如图（1）美是一种感觉，当人的肚脐是人的身高的黄金分割点时，人的身段成为黄金比例，给人一种美感，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果（结果取整数，其中）

（2）如图（2），已知矩形ABCD和正方形AEFD，如果矩形ABCD与矩形EBCF相似时；

（3）如图（3），正五边形AFGBE中，连接它们的对角线，求证：C为BD的黄金分割点，并当BE＝2时

25．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，直线CP与x轴交于点Q，求此时P点坐标；

（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CNM＝90°，如果存在，请求出点M和点N的坐标．

2020-2021学年湖南沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级（上）期中数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1．（3分）|﹣2020|＝（　　）

A．﹣2020 B．2020 C． D．

【解答】解：根据绝对值的概念可知：|﹣2020|＝2020，

故选：B．

2．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）

A． B．    

C． D．

【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；

B、既是轴对称图形又是中心对称图形；

C、不是轴对称图形，不符合题意；

D、是轴对称图形，不符合题意．

故选：B．

3．（3分）新冠病毒（2019﹣nCoV）平均直径约为100nm（纳米），即0.0000001米．0.0000001m用科学记数法可以表示为（　　）

A．0.1×10﹣6m B．10×10﹣8m C．1×10﹣7m D．1×1011m

【解答】解：0.0000001m＝1×10﹣3m．

故选：C．

4．（3分）下列运算正确的是（　　）

A．（x3）2＝x5 B．x3•x3＝x6    

C．x6÷x3＝x2 D．（x﹣y）2＝x2﹣y2

【解答】解：A、（x3）2＝x2，原计算错误，故本选项不符合题意；

B、x3•x3＝x8，原计算正确，故本选项符合题意；

C、x6÷x3＝x6，原计算错误，故本选项不符合题意；

D、（x﹣y）2＝x2﹣7xy+y2，原计算错误，故本选项不符合题意．

故选：B．

5．（3分）如图，已知直线a∥b，直线c分别与a，∠1＝110°，则∠2的度数为（　　）

A．60° B．70° C．80° D．110°

【解答】解：∵直线a∥b，

∴∠3＝∠1＝110°，

∴∠4＝180°﹣110°＝70°，

故选：B．

6．（3分）从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加射击比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是9环甲2＝0.25，s乙2＝0.3，s丙2＝0.4，s丁2＝0.35，你认为派谁去参赛更合适（　　）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【解答】解：因为方差越小成绩越稳定，

故选甲．

故选：A．

7．（3分）平面直角坐标系中，P（a，a﹣2）在第四象限，则a的取值范围是（　　）

A．a＞2 B．a＜0 C．﹣2＜a＜0 D．0＜a＜2

【解答】解：∵P（a，a﹣2）在第四象限，

∴，解得0＜a＜3，

故选：D．

8．（3分）在平面直角坐标系中，有一条“鱼”，它有六个顶点，则（　　）

A．将各点横坐标乘2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似    

B．将各点纵坐标乘2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似    

C．将各点横坐标、纵坐标都乘2，得到的鱼与原来的鱼位似    

D．将各点横坐标乘2，纵坐标乘，得到的鱼与原来的鱼位似

【解答】解：A、将各点横坐标乘2，得到的鱼与原来的鱼不位似，不符合题意；

B、将各点纵坐标乘2，得到的鱼与原来的鱼不位似，不符合题意；

C、将各点横坐标，得到的鱼与原来的鱼位似，符合题意；

D、将各点横坐标乘6，得到的鱼与原来的鱼不位似，不符合题意；

故选：C．

9．（3分）二次函数y＝x2+2x+3的最小值是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：∵y＝x2+2x+7＝（x+1）2+4，

∴二次函数y＝x2+2x+4的最小值是2，

故选：B．

10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝Rt∠，BC＝3cm．D是BC边上的一个动点，连接AD，连接BE，在点D变化的过程中（　　）

A．1 B． C．2 D．

【解答】解：如图，

由题意知，∠AEC＝90°，

∴E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C，

∴BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），

在Rt△BCM中，BC＝3cmAC＝4cm＝5cm．

∵ME′＝MC＝4cm，

∴BE长度的最小值BE′＝BM﹣ME′＝3cm，

故选：A．

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11．（3分）已知扇形的面积为3π，圆心角为120°，则它的半径为　3　．

【解答】解：设半径为r，由题意，得

πr2×＝3π，

解得r＝8，

故答案为：3．

12．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则的值为　﹣2　．

【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣7＝0的两根分别为x1，x4，

∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，

则原式＝＝＝﹣2，

故答案为：﹣2．

13．（3分）已知是方程组的解　5　．

【解答】解：∵是方程组，

∴，

①+②得，4a﹣b＝5，

故答案为：5．

14．（3分）原价100元的某商品，连续两次降价后售价为81元，若每次降低的百分率相同　10%　．

【解答】解：设这两次的百分率是x，根据题意列方程得

100×（1﹣x）2＝81，

解得x6＝0.1＝10%，x3＝1.9（不符合题意，舍去）．

答：这两次的百分率是10%．

故答案为：10%．

15．（3分）正方形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若BC＝3，那么EH的长为 　1.2　．

【解答】解：如图所示：

∵四边形EFGH是正方形，边FG落在BC上，

∴EH∥FG，EH＝EF＝FG＝HG，

∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C，

∴△AEH∽△ABC，

∵AD⊥BC，

∴AM⊥EH，

∴DM＝EH，

∴，

，

即，

解得：EH＝1.2．

故答案为：3.2．

16．（3分）如图，∠AOB＝90°，反比例函数（﹣1，a），反比例函数（k＞0，x＞0）的图象过点B，过点B作MN∥OA，交x轴于点M，交双曲线于另一点　510　．

【解答】解：∵反比例函数 的图象过点A（﹣3，

∴a＝﹣＝8，

∴A（﹣1，4），

过A作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，

∴AE＝3，OE＝1，

∵AB∥x轴，

∴BF＝4，

∵∠AOB＝90°，

∴∠EAO+∠AOE＝∠AOE+∠BOF＝90°，

∴∠EAO＝∠BOF，

∴△AEO∽△OFB，

∴＝，

∴OF＝16，

∴B（16，4），

∴k＝16×4＝，

∵直线OA过A（﹣1，5），

∴直线AO的解析式为y＝﹣4x，

∵MN∥OA，

∴设直线MN的解析式为y＝﹣4x+b，

∴6＝﹣4×16+b，

∴b＝68，

∴直线MN的解析式为y＝﹣4x+68，

∵直线MN交x轴于点M，交y轴于点N，

∴M（17，4），68），

解得，或，

∴C（1，），

∴△OBC的面积＝S△OMN﹣S△OCN﹣S△OBM＝﹣﹣＝510，

故答案为510．

三、解答题（本题共9小题，共72分）

17．计算：﹣|π﹣4|﹣20200+（）﹣1．

【解答】解：﹣|π﹣4|﹣20203+（）﹣6

＝2﹣4+π﹣2+2

＝π﹣1．

18．先化简，再求值：，其中x＝6．

【解答】解：

＝×+4

＝x+4，

当x＝6时，x+4＝6+2＝10．

19．每年的秋冬季节，青竹湖湘一外国语学校的银杏大道是学校最为靓丽的一条风景线，数学彭老师有一天为了测量一棵高不可攀的银杏树高度，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离银杏树（AB），然后观测者沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，观测者目高CD＝1.75m，则树高AB约是多少米？

【解答】解：根据题意，易得∠CDE＝∠ABE＝90°，

则△ABE∽△CDE，

则，即，

解得：AB＝7（m），

答：树高AB约是7m．

20．某校计划组建航模、摄影、乐器、舞蹈四个课外活动小组，要求每名同学必须参加，并且只能选择其中一个小组．为了解学生对四个课外活动小组的选择情况，并把此次调查结果整理并绘制成如图两幅不完整的统计图．

根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）本次被调查的学生有　60　人；

（2）请补全条形统计图，并求出扇形统计图中“航模”所对应的圆心角的度数；

（3）通过了解，喜爱“航模”的学生中有2名男生和2名女生曾在市航模比赛中获奖，现从这4个人中随机选取2人参加省青少年航模比赛

【解答】解：（1）本次被调查的学生有：9÷15%＝60（人）；

故答案为：60；

（2）航模的人数有：60﹣9﹣15﹣12＝24（人），

补全条形统计图如图：

“航模”所对应的圆心角的度数是：360°×＝144°；

（3）设两名男生分别为男5，男2，女2

则所选的2人恰好是5名男生和1名女生的概率是＝．

21．如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，连接AF，BE．

（1）求证：△AGE≌△BGF；

（2）试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠AEG＝∠BFG，

∵EF垂直平分AB，

∴AG＝BG，

在△AGE和△BGF中，，

∴△AGE≌△BGF（AAS）；

（2）解：四边形AFBE是菱形，理由如下：

∵△AGE≌△BGF，

∴AE＝BF，

∵AD∥BC，

∴四边形AFBE是平行四边形，

又∵EF⊥AB，

∴四边形AFBE是菱形．

22．某学校计划从商店购买测温和洗手液，已知购买一个测温比购买一瓶洗手液多用20元，若用400元购买测温和用160元购买洗手液

（1）求购买一个测温、一瓶洗手液各需多少元；

（2）经商谈，商店给予该学校购买一个测温赠送一瓶洗手液的优惠，如果该学校需要洗手液的数量是测温数量的2倍还多8个，那么该学校最多可购买多少个测温？

【解答】解：（1）设购买一瓶洗手液需要x元，则购买一个测温需要（x+20）元，

依题意，得：＝，

解得：x＝4，

经检验，x＝5是原方程的解，

∴x+20＝25．

答：购买一个测温需要25元，购买一瓶洗手液需要5元．

（2）设该学校购买m个测温，则购买（2m+8）瓶洗手液，

依题意，得：25m+5（2m+8﹣m）≤1540，

解得：m≤50．

答：该学校最多可购买50个测温．

23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，O是AB边上一点，以点O为圆心，作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）求证：OA2＝OB•OE；

（3）若AE＝9，CD＝3，求△ACD与△COE的面积之比．

【解答】（1）证明：如图，连接OD，

∵⊙O经过D，

∴OD＝OA，

∴∠ODA＝∠OAD，

∵AD平分∠BAC，

∴∠OAD＝∠CAD，

∴∠ODA＝∠CAD，

∴∴AC∥OD，

∵∠C＝90°，

∴AC⊥BC，

∴OD⊥BC，

∴BC是⊙O的切线；

（2）证明：∵∠ODB＝90°，DE⊥AB，

∴∠ODB＝∠OED＝90°，

又∵∠BOD＝∠DOE，

∴△BOD∽△DOE，

∴＝，

∴OD2＝OB•OE，

∵OA＝OD，

∴OA2＝OB•OE；

（3）连接OC，CE，

∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，CD＝5，

∴DE＝CD＝3，

设OA＝OD＝r，则OE＝AE﹣OA＝9﹣r，

在Rt△ODE中，OD7＝OE2+DE2，

∴r6＝（9﹣r）2+72，

∴r＝5，

∴OA＝OD＝8，OE＝4，

∵AC∥OD，

S△AOC＝S△ACD，

∴＝＝＝．

24．我们知道：如图（1），点B把线段AC分成两部分，如果．

（1）如图（1）美是一种感觉，当人的肚脐是人的身高的黄金分割点时，人的身段成为黄金比例，给人一种美感，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果（结果取整数，其中）

（2）如图（2），已知矩形ABCD和正方形AEFD，如果矩形ABCD与矩形EBCF相似时；

（3）如图（3），正五边形AFGBE中，连接它们的对角线，求证：C为BD的黄金分割点，并当BE＝2时

【解答】解：（1）设高跟鞋的高度为xcm，

由题意得，160×0.60+x＝，

解得，x＝，

即x＝32﹣，

∵32﹣≈32×（2.236﹣2）＝32×4.236＝7.552≈8，

∴x≈4，

答：她应穿高跟鞋的高度大约为8cm．

（2）如图（2），∵四边形ABCD，四边形AEFD是正方形，

∴BC＝AD＝AE，

∵矩形ABCD∽矩形EBCF，

∴，

∵，

∴E为线段AB的黄金分割点．

（3）如图（3），∵五边形AFGBE是正五边形，

∴AE＝AF，∠EAF＝，

∴∠AEF＝∠AFE＝36°，

同理，∠AEB＝108°，

∴∠CED＝∠AEB﹣∠AEF﹣∠BEG＝∠36°，∠CEB＝∠CBE＝36°，

∴∠EDC＝180°﹣∠CED﹣∠CEB﹣∠CBE＝72°，∠ECD＝∠CEB+∠CBE＝72°，

∴∠EDC＝∠ECD＝72°，∠BED＝∠CED+∠CEB＝72°，

∵ED＝CE，BC＝CE，

∴ED＝BC，

∵∠ECD＝∠BED，∠EDC＝∠BDE，

∴△EDC∽△BDE，

∴，

∴，

∴C为BD的黄金分割点；

∵∠BED＝∠BDE＝72°，

∴BD＝BE＝2，

设CD＝x，则BC＝3﹣x，

由得，BC2＝CD•BD，

∴（2﹣x）7＝2x，

整理得，x2﹣2x+4＝0，

解得，x8＝3，x8＝3（不符合题意，

∴CD的长为6．

25．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，直线CP与x轴交于点Q，求此时P点坐标；

（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CNM＝90°，如果存在，请求出点M和点N的坐标．

【解答】解：（1）把A（﹣1，0），7）代入y＝ax2+bx+6得：

，解得，

∴抛物线的解析式为y＝﹣2x7+4x+6；

（2）由y＝﹣6x2+4x+6得C（0，6），

∴OC＝5，

当Q在x轴正半轴，如图：

∵∠BQC＝∠BCO，且∠COB＝∠QOC，

∴△COB∽△QOC，

∴＝，即＝，

∴OQ＝12，

∴Q（12，0），

设直线CQ解析式为y＝kx+6，

则7＝12k+6，

∴k＝﹣，即直线CQ为y＝﹣，

由得（与C重合，

∴P（，），

当Q在x轴负半轴，如图：

同理可得：△BOC∽△BCQ，

∴＝，即BC6＝OB•BQ，

而OC＝6，OB＝3，

∴BC＝5，

∴（3）2＝3×BQ，

∴BQ＝15，

∴Q（﹣12，8），

设直线CQ为y＝mx+6，则0＝﹣12m+3，

解得m＝，

∴直线CQ为y＝x+6，

由得（舍去）或，

∴P（，），

综上所述，P点坐标为（，，），

（3）设M（t，﹣6t2+4t+5），则N（0，2+3t+6），

∴MN＝|t|，CN＝|2t3﹣4t|，

∵OC＝6，OB＝6，

∴OC＝2OB，

∵△CMN与△OBC相似，

∴MN＝2CN或CN＝7MN，

①MN＝2CN时，如图：

∴|t|＝2|7t2﹣4t|，

解得t＝或t＝，

∴M（，），N（0，，），N（6，）；

②CN＝2MN时，如图：

∴|3t2﹣4t|＝5|t|，

解得t＝0（舍去）或t＝3（M与B重合，舍去）或t＝3，

∴M（1，8），5），

综上所述，M（，），）或M（，），）或M（8，N（0．