八年级上学期数学期末考试试题带答案

数 学 试 卷

学校________     班级________     姓名________     成绩________

一、选择题

1.在下列“禁毒”“和平”“志愿者”“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是(   )

A.     B.     C.     D. 

2.下列运算中正确的是( 　　)

A.     B.     C.      D. 

3.如图，△ABO关于x轴对称，若点A的坐标为(a，b)，则点B的坐标为(   )

A. (b，a)    B. (﹣a，b)    C. (a，﹣b)    D. (﹣a，﹣b)

4.如图，已知∠1=∠2，若用“SAS”证明△ACB≌△BDA，还需加上条件(    )    

A. AD ＝BC    B. BD＝AC    C. ∠D＝∠C    D. OA＝OB

5.下列说法中正确的个数是(   )

①若是完全平方式，则k=3

②工程建筑中经常采用三角形的结构，这是利用三角形具有稳定性的性质

③在三角形内部到三边距离相等的点是三个内角平分线的交点

④当时

⑤若点P在∠AOB内部，D，E分别在∠AOB的两条边上，PD=PE,则点P在∠AOB的平分线上

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

6.一个多边形内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数为(   )

A. 五    B. 六    C. 七    D. 八

7.若，则     中的数是(　　)

A. ﹣1    B. ﹣2    C. ﹣3    D. 任意实数

8.已知一个等腰三角形两边长a、b满足方程组则此等腰三角形的周长为 ( )

A. 5    B. 4    C. 3    D. 5或4

9.如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P=(    )

A. 70°    B. 80°    C. 90°    D. 100°

10.如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为(a+2b)，宽为(a+b)的大长方形，则需要C类卡片　　张．(   ) 

A. 2    B. 3    C. 4    D. 6

11.已知(m－n)2＝38，(m＋n)2＝4000，则m2＋n2的值为(   )

A. 2017    B. 2018    C. 2019    D. 4038

12.如果把分式中的x和y的值都变为原来的2倍，那么分式的值(     )

A. 变为原来的2倍    B. 变为原来的4倍

C. 缩小为原来的    D. 不变

13.如果分式的值为0，则x的值是

A 1    B. 0    C. －1    D. ±1

14.从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形(如图甲)，然后拼成一个平行四边形(如图乙)．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为(    )

A.     B. 

C.     D. 

15.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=12，AD平分∠BAC，点PQ分别是AB、AD边上的动点，则BQ+QP的最小值是(   )

A. 4    B. 5    C. 6    D. 7

16.如图所示，三角形ABC的面积为1cm2．AP垂直∠B的平分线BP于P．则与三角形PBC的面积相等的长方形是( )

A. 

B 

C. 

D. 

二、填空题

17.(1)可燃冰是一种新型能源，它的密度很小，1cm3可燃冰的质量仅为0.00092kg．数字0.00092用科学记数法表示是_________________．

(2) 把多项式可以分解因式为(           )

18.已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为______．

19.如图，在△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于点D.给出下列结论：①∠EAB=∠FAC；②AF=AC；③∠C=∠EFA；④AD=AC.其中正确的结论是_____(填序号)．

20.当分别取-2019、-2018、-2017、．．．、-3、-2、-1、0、1、、、．．．、、、时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于________

三、解答题

21.基本运算：

整式运算

(1)a·a5－(2a3)2＋(－2a2)3；    

(2)(2x＋3)(2x－3)－4x(x－1)＋(x－2)2．

因式分解：

(3)2x3－4x2＋2x；           

(4)(m－n)(3m＋n)2＋(m＋3n)2(n－m)．

22.如图，平面直角坐标系中有一个△ABC，顶点A(－1，3)，B(2，0)，C(－3，－1)．

(1)画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1(不写画法)，并写出点A1，B1，C1的坐标；

(2)求△ABC的面积．

23.解方程或求值

(1)解分式方程：

(2)先化简，再求值 ，其中

24.如图，已知∠AOB，以O为圆心，以任意长为半径作弧，分别交OA，OB于F，E两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线OP，过点F作FD∥OB交OP于点D.

(1)若∠OFD＝116°，求∠DOB的度数；

(2)若FM⊥OD，垂足为M，求证：△FMO≌△FMD.

25.如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户去种植．如果∠C=90°，∠B=30°．

(1)要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请你试着在图上画出来，并加以证明

(2)要使这三家农户所得土地的大小、形状仍都相同，请你试着在图上直接画出来(不用证明)．

26. 某商店经销一种泰山旅游纪念品，4月份的营业额为2000元，为扩大销售量，5月份该商店对这种纪念品打9折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元．

(1)求该种纪念品4月份的销售价格；

(2)若4月份销售这种纪念品获利800元，5月份销售这种纪念品获利多少元？

27.如图①，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB于点D，点E是AB边上一动点(不含端点A，B)，连接CE，过点B作CE的垂线交直线CE于点F，交直线CD于点G．

(1)求证：AE＝CG；

(2)若点E运动到线段BD上时(如图②)，试猜想AE，CG的数量关系是否发生变化，请证明你的结论；

(3)过点A作AH⊥CE，垂足为点H，并交CD的延长线于点M(如图③)，找出图中与BE相等的线段，直接写出答案BE=          

答案与解析

一、选择题

1.在下列“禁毒”“和平”“志愿者”“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是(   )

A.     B.     C.     D. 

【答案】B

【解析】

【分析】

轴对称图形是指将图形沿着某条直线对折，直线两边的图形能够完全重叠，根据定义判断即可.

【详解】A、不是轴对称图形，故选项错误；B、是轴对称图形，故选项正确；C、不是轴对称图形，故选项错误；D、不是轴对称图形，故选项错误．

【点睛】本题考查轴对称图形的识别，熟记轴对称图形的定义是关键.

2.下列运算中正确的是( 　　)

A.     B.     C.      D. 

【答案】D

【解析】

【分析】

根据完全平方公式、同底数幂的乘法除法法则、幂的乘方法则计算即可．

【详解】A、，该选项错误；

B、，该选项错误；

C、，该选项错误；

D、，该选项正确；

故选：D．

【点睛】本题考查了完全平方公式、同底数幂的乘法除法法则、幂的乘方法则，熟练掌握运算法则是解决本题的关键．

3.如图，△ABO关于x轴对称，若点A的坐标为(a，b)，则点B的坐标为(   )

A. (b，a)    B. (﹣a，b)    C. (a，﹣b)    D. (﹣a，﹣b)

【答案】C

【解析】

【分析】

由于△ABO关于x轴对称，所以点B与点A关于x轴对称．根据平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，得出结果．

【详解】由题意，可知点B与点A关于x轴对称，

又∵点A的坐标为(a，b)，

∴点B的坐标为(a，−b)．

故选：C．

【点睛】本题考查了平面直角坐标系中关于x轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．能够根据题意得出点B与点A关于x轴对称是解题的关键．

4.如图，已知∠1=∠2，若用“SAS”证明△ACB≌△BDA，还需加上条件(    )    

A. AD ＝BC    B. BD＝AC    C. ∠D＝∠C    D. OA＝OB

【答案】B

【解析】

【分析】

根据SAS是指两边及夹角相等进行解答即可.

【详解】解：已知∠1=∠2，AB=AB，

根据SAS判定定理可知需添加BD＝AC，

故选B

【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

5.下列说法中正确的个数是(   )

①若是完全平方式，则k=3

②工程建筑中经常采用三角形的结构，这是利用三角形具有稳定性的性质

③在三角形内部到三边距离相等的点是三个内角平分线的交点

④当时

⑤若点P在∠AOB内部，D，E分别在∠AOB的两条边上，PD=PE,则点P在∠AOB的平分线上

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

【答案】C

【解析】

【分析】

根据完全平方公式、三角形的稳定性、内心的性质、零指数幂的运算及角平分线的判定定理即可求解．

【详解】①若是完全平方式，则k=±3，故错误；

②工程建筑中经常采用三角形的结构，这是利用三角形具有稳定性的性质，正确；

③在三角形内部到三边距离相等的点是三个内角平分线的交点，正确；

④当时，正确；

⑤若点P在∠AOB内部，D，E分别在∠AOB的两条边上， PD=PE,点P不一定在∠AOB的平分线上，故错误；

故选C．

【点睛】此题主要考查完全平方公式、三角形的稳定性、内心的性质、零指数幂的运算及角平分线的判定定理，解题的关键是熟知其特点及性质．

6.一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数为(   )

A. 五    B. 六    C. 七    D. 八

【答案】D

【解析】

【分析】

根据多边形的外角和是360°，以及多边形的内角和定理即可求解．

【详解】设多边形的边数是n，则

(n−2)•180°＝3×360°，

解得：n＝8．

故选：D．

【点睛】本题考查了多边形的内角和定理以及外角和定理，正确理解定理是关键．

7.若，则     中的数是(　　)

A. ﹣1    B. ﹣2    C. ﹣3    D. 任意实数

【答案】B

【解析】

∵ ，

∴空格中的数应为：.

故选B.

8.已知一个等腰三角形的两边长a、b满足方程组则此等腰三角形的周长为 ( )

A. 5    B. 4    C. 3    D. 5或4

【答案】A

【解析】

试题分析:解方程组得：

所以，等腰三角形的两边长为2，1．

若腰长为1，底边长为2，由1+1=2知，这样的三角形不存在．

若腰长为2，底边长为1，则三角形的周长为5．

所以这个等腰三角形的周长为5．

故选A.

考点: 1.等腰三角形的性质；2.解二元一次方程组．

9.如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P=(    )

A. 70°    B. 80°    C. 90°    D. 100°

【答案】C

【解析】

【分析】

根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度数，即可求出结果．

【详解】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，

∵∠ABP=20°，∠ACP=50°，

∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACM=2∠ACP=100°，

∴∠A=∠ACM-∠ABC=60°，

∠ACB=180°-∠ACM=80°，

∴∠BCP=∠ACB+∠ACP=130°，

∵∠BPC=20°，

∴∠P=180°-∠PBC-∠BCP=30°，

∴∠A+∠P=90°，

故选：C．

【点睛】本题考查了角平分线的定义，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及补角的定义以及三角形的内角和为180°，掌握角平分线的定义是解题的关键.

10.如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为(a+2b)，宽为(a+b)的大长方形，则需要C类卡片　　张．(   ) 

A. 2    B. 3    C. 4    D. 6

【答案】B

【解析】

【分析】

拼成的大长方形的面积是(a＋2b)(a＋b)＝a2＋3ab＋2b2，即需要一个边长为a的正方形，2个边长为b的正方形和3个C类卡片的面积是3ab．

【详解】(a＋2b)(a＋b)＝a2＋3ab＋2b2．

则需要C类卡片3张．

故选：B．

【点睛】本题考查了多项式乘多项式的运算，需要熟练掌握运算法则并灵活运用，利用各个面积之和等于总的面积也比较关键．

11.已知(m－n)2＝38，(m＋n)2＝4000，则m2＋n2的值为(   )

A. 2017    B. 2018    C. 2019    D. 4038

【答案】C

【解析】

【分析】

根据完全平方公式的变形，即可解答．

【详解】(m−n)2＝38，

m2−2mn＋n2＝38  ①，

(m＋n)2＝4000，

m2＋2mn＋n2＝4000   ②，

①＋②得：2m2＋2n2＝4038，

m2＋n2＝2019．

故选：C．

【点睛】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．

12.如果把分式中的x和y的值都变为原来的2倍，那么分式的值(     )

A. 变为原来的2倍    B. 变为原来的4倍

C. 缩小为原来的    D. 不变

【答案】A

【解析】

【分析】

将原分式中的和分别用代替求出结果，再与原分式比较即可得出答案.

【详解】解：将原分式中的和分别用代替，得：

新分式=

故新分式的值变为原来的2倍.

故选：A.

【点睛】本题考查了分式基本性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变．

13.如果分式的值为0，则x的值是

A. 1    B. 0    C. －1    D. ±1

【答案】A

【解析】

试题分析：根据分式分子为0分母不为0的条件，要使分式的值为0，则必须．故选A．

14.从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形(如图甲)，然后拼成一个平行四边形(如图乙)．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为(    )

A.     B. 

C.     D. 

【答案】A

【解析】

【分析】

分别根据正方形及平行四边形的面积公式求得甲、乙中阴影部分的面积，从而得到可以验证成立的公式．

【详解】由图1将小正方形一边向两方延长，得到两个梯形的高，两条高的和为a−b，即平行四边形的高为a−b，

∵两个图中的阴影部分的面积相等，即甲的面积＝a2−b2，乙的面积＝(a＋b)(a−b)．

即：a2−b2＝(a＋b)(a−b)．

所以验证成立的公式为：a2−b2＝(a＋b)(a−b)．

故选：A．

【点睛】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．本题主要利用面积公式求证明a2−b2＝(a＋b)(a−b)．

15.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=12，AD平分∠BAC，点PQ分别是AB、AD边上的动点，则BQ+QP的最小值是(   )

A. 4    B. 5    C. 6    D. 7

【答案】C

【解析】

【分析】

如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接QP′，由△AQP≌△AQP′，得PQ=QP′，欲求PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP′的最小值，即当BP′⊥AC时，BQ+QP′的值最小，此时Q与D重合，P′与C重合，最小值为BC的长．

【详解】解：如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接QP′，

△AQP和△AQP′中，

，∴△AQP≌△AQP′，

∴PQ=QP′

∴欲求PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP′的最小值，

∴当BP′⊥AC时，BQ+QP′的值最小，此时Q与D重合，P′与C重合，最小值为BC的长．

在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=12，∠BAC=30°，

∴BC=AB=6，

∴PQ+BQ的最小值是6，

故选：C．

【点睛】本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题、垂线段最短等知识，找出点P、Q的位置是解题的关键．

16.如图所示，三角形ABC的面积为1cm2．AP垂直∠B的平分线BP于P．则与三角形PBC的面积相等的长方形是( )

A. 

B. 

C. 

D. 

【答案】B

【解析】

【分析】

过P点作PE⊥BP，垂足为P，交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积．

【详解】解：过P点作PE⊥BP，垂足为P，交BC于E，

∵AP垂直∠B的平分线BP于P，

∠ABP=∠EBP，

又知BP=BP，∠APB=∠BPE=90°，

∴△ABP≌△BEP，

∴AP=PE，

∵△APC和△CPE等底同高，

∴S△APC=S△PCE，

∴三角形PBC的面积=三角形ABC的面积=cm2，

选项中只有B长方形面积为cm2，

故选B．

二、填空题

17.(1)可燃冰是一种新型能源，它的密度很小，1cm3可燃冰的质量仅为0.00092kg．数字0.00092用科学记数法表示是_________________．

(2) 把多项式可以分解因式为(           )

【答案】    (1). 9.2×10－4    (2). 

【解析】

【分析】

(1)绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定；

(2)根据十字相乘法即可求解．

【详解】(1)0.00092=9.2×10－4

(2)=()

故答案为9.2×10－4；．

【点睛】此题主要考查科学记数法的表示及因式分解，解题的关键是熟知十字相乘法因式分解的运用．

18.已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为______．

【答案】和

【解析】

试题分析：首先知有两种情况(顶角是40°和底角是40°时)，由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．

解：△ABC，AB=AC．

有两种情况：

(1)顶角∠A=40°，

(2)当底角是40°时，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C=40°，

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠A=180°﹣40°﹣40°=100°，

∴这个等腰三角形的顶角为40°和100°．

故答案为40°或100°．

考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理．

19.如图，在△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于点D.给出下列结论：①∠EAB=∠FAC；②AF=AC；③∠C=∠EFA；④AD=AC.其中正确的结论是_____(填序号)．

【答案】①②③

【解析】

解：在△AEF和△ABC中，∵AB=AE，∠B=∠E，BC=EF，∴△AEF≌△ABC(SAS)，∴∠EAF=∠BAC，AF=AC，∠C=∠EFA，∴∠EAB=∠FAC，故①②③正确，④错误；

所以答案为：①②③．

点睛：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．

20.当分别取-2019、-2018、-2017、．．．、-3、-2、-1、0、1、、、．．．、、、时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于________

【答案】－1

【解析】

【分析】

设a为负整数，将x=a代入得，将代入得，故此可知当x互为负倒数时，两分式和为0，然后求得分式的值即可．

【详解】解：∵将x=a时，代入得，

将时，代入得：，

∴+，即当x互为负倒数时，两分式的和为0，

当时，代入

故互为负倒数的相加全为0，只有时为-1.

∴所有结果相加为-1.

故答案为：-1.

【点睛】本题主要考查的是数字的变化规律和分式的加减，发现当x的值互为负倒数时，两分式的和为0是解题的关键.

三、解答题

21.基本运算：

整式运算

(1)a·a5－(2a3)2＋(－2a2)3；    

(2)(2x＋3)(2x－3)－4x(x－1)＋(x－2)2．

因式分解：

(3)2x3－4x2＋2x；           

(4)(m－n)(3m＋n)2＋(m＋3n)2(n－m)．

【答案】(1)－11a6；(2)x2－5；(3)2x(x－1)2；(4)8(m－n)2(m＋n)

【解析】

【分析】

(1)直接利用同底数幂的乘法法则、积的乘方法则计算即可；

(2)直接利用平方差公式、完全平方公式及单项式乘多项式法则计算即可；

(3)先提取公因式2x，再利用完全平方公式分解即可；

(4)先提取公因式m－n，再利用平方差公式分解，最后还要将每个因式中系数的公约数提取出来即可．

【详解】解：(1)原式＝a6－4a6－8a6

＝－11a6；

(2)原式＝4x2－9－4x2＋4x＋x2－4x＋4

＝x2－5；

(3)原式＝2x(x2－2x＋1)

＝2x(x－1)2；

(4)原式＝(m－n)[(3m＋n)2－(m＋3n)2]

＝(m－n)(2m－2n)(4m＋4n)

＝8(m－n)2(m＋n) ．

【点睛】本题考查了整式的混合运算及因式分解，熟练掌握运算法则及因式分解的方法是解决本题的关键，注意因式分解要分解到不能分解为止．

22.如图，在平面直角坐标系中有一个△ABC，顶点A(－1，3)，B(2，0)，C(－3，－1)．

(1)画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1(不写画法)，并写出点A1，B1，C1的坐标；

(2)求△ABC的面积．

【答案】(1)A1 (1，3)，B1 (－2，0)，C1 (3，－1)；(2)9.

【解析】

分析：(1)找出点A，B，C关于y轴的对称的点A1，B1，C1的位置，顺次连接即可.

(2)用△ABC所在矩形的面积减去3个直角三角形的面积即可.

详解：(1)如图所示，即为所求． 

点A1的坐标为(1，3)，点B1的坐标为(－2，0)，点C1的坐标为(3，－1)．

(2)△ABC的面积为4×5－×3×3－×2×4－×1×5＝9.

点睛：考查作图-轴对称变化，找出点A，B，C关于y轴的对称的点A1，B1，C1的位置是解题的关键.

23.解方程或求值

(1)解分式方程：

(2)先化简，再求值 ，其中

【答案】(1)原方程无解；(2)，5

【解析】

【分析】

(1)先把方程两边同时乘以，转化为整式方程，求出整式方程的解，再将x的值代入最简公分母检验是否为原方程的解即可；

(2)先将括号里的分式通分后分子相加，同时把前面的分式利用分式的乘法法则化简，再根据分式的减法法则化简得最简形式，最后将x的值代入计算即可．

【详解】(1)解：两边同乘以得，

解得  

检验：当时，=0，

因此不是原方程的解，

所以原方程无解．

(2)解：原式=

=

=

把代入得

原式==5

【点睛】本题考查了解分式方程及分式化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键，注意，解分式方程时一定要检验．

24.如图，已知∠AOB，以O为圆心，以任意长为半径作弧，分别交OA，OB于F，E两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线OP，过点F作FD∥OB交OP于点D.

(1)若∠OFD＝116°，求∠DOB的度数；

(2)若FM⊥OD，垂足为M，求证：△FMO≌△FMD.

【答案】(1)32°；(2)见解析.

【解析】

【分析】

(1)首先根据OB∥FD，可得∠OFD+∠AOB=18O°，进而得到∠AOB的度数，再根据作图可知OP平分∠AOB，进而算出∠DOB的度数即可；

(2)首先证明∴∠AOD=∠ODF，再由FM⊥0D可得∠OMF=∠DMF，再加上公共边FM=FM可利用AAS证明△FMO≌△FMD．

【详解】(1)∵OB∥FD，

∴∠OFD+∠AOB=18O°，

又∵∠OFD=116°，

∴∠AOB=180°﹣∠OFD=180°﹣116°=°，

由作法知，OP是∠AOB的平分线，

∴∠DOB=∠AOB=32°；

(2)证明：∵OP平分∠AOB，

∴∠AOD=∠DOB，

∵OB∥FD，

∴∠DOB=∠ODF，

∴∠AOD=∠ODF，

又∵FM⊥OD，

∴∠OMF=∠DMF，

在△MFO和△MFD中

，

∴△MFO≌△MFD(AAS)．

【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，以及角的计算，关键是正确理解题意，掌握角平分线的作法，以及全等三角形的判定定理．

25.如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户去种植．如果∠C=90°，∠B=30°．

(1)要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请你试着在图上画出来，并加以证明

(2)要使这三家农户所得土地的大小、形状仍都相同，请你试着在图上直接画出来(不用证明)．

【答案】(1)详见解析；(2)详见解析

【解析】

【分析】

(1)根据角平分线的性质和等腰三角形三线合一的性质即可得到结果；

(2)根据等底等高的三角形面积相等作出即可．

【详解】(1)作∠BAC的平分线AD交BC于D，过点D作DE⊥AB于E，得到3个全等三角形，如图所示．

证明：∵ AD是∠BAC的平分线，且DE⊥AB

∴CD=DE

在Rt△ACD和Rt△AED中

∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)-

∵ AD是∠BAC的平分线，

∴∠DAE=∠BAC=30°=∠B，   

又∵ DE⊥AB

∴ ∠DEA=∠DEB=90°

Rt△AED和Rt△BED中

∴Rt△AED≌Rt△BED

即Rt△ACD≌Rt△AED≌Rt△BED

(2)如图2所示，取线段BC的三等分点F，G，连结AF，AG．

则△ACF、△AFG、△AGB为所求．

根据等底等高的三角形面积相等作出．

【点睛】本题考查了三角形面积的应用；解答本题的关键是找出面积相等这个等量关系，解决问题．

26. 某商店经销一种泰山旅游纪念品，4月份的营业额为2000元，为扩大销售量，5月份该商店对这种纪念品打9折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元．

(1)求该种纪念品4月份的销售价格；

(2)若4月份销售这种纪念品获利800元，5月份销售这种纪念品获利多少元？

【答案】(1)50元；(2)900元．

【解析】

试题分析：(1)等量关系为：4月份营业数量=5月份营业数量﹣20；

(2)算出4月份的数量，进而求得成本及每件的盈利，进而算出5月份的售价及每件的盈利，乘以5月份的数量即为5月份的获利．

解：(1)设该种纪念品4月份的销售价格为x元．

根据题意得，

20x=1000

解之得x=50，

经检验x=50是原分式方程的解，且符合实际意义，

∴该种纪念品4月份的销售价格是50元；

(2)由(1)知4月份销售件数为(件)，

∴四月份每件盈利(元)，

5月份销售件数为40+20=60件，且每件售价为50×0.9=45(元)，每件比4月份少盈利5元，为20﹣5=15(元)，

所以5月份销售这种纪念品获利60×15=900(元)．

考点：分式方程的应用．

27.如图①，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB于点D，点E是AB边上一动点(不含端点A，B)，连接CE，过点B作CE的垂线交直线CE于点F，交直线CD于点G．

(1)求证：AE＝CG；

(2)若点E运动到线段BD上时(如图②)，试猜想AE，CG的数量关系是否发生变化，请证明你的结论；

(3)过点A作AH⊥CE，垂足为点H，并交CD的延长线于点M(如图③)，找出图中与BE相等的线段，直接写出答案BE=          

【答案】(1)详见解析；(2)不变，AE＝CG，详见解析；(3)CM

【解析】

【分析】

(1)如图①，根据等腰直角三角形的性质可以得出∠BCD＝∠ACD＝45°，根据直角三角形的三角形的性质就可以得出∠CBF＝∠ACE，由ASA就可以得出△BCG≌△CAE，就可以得出结论；

(2)如图②，根据等腰直角三角形的性质可以得出∠BCD＝∠ACD＝45°，根据直角三角形的三角形的性质就可以得出∠CBF＝∠ACE，由ASA就可以得出△BCG≌△CAE，就可以得出结论；

(3)如图③，根据等腰直角三角形性质可以得出∠BCD＝∠ACD＝45°，根据直角三角形的三角形的性质就可以得出∠BCE＝∠CAM，由ASA就可以得出△BCE≌△CAM，就可以得出结论．

【详解】(1)证明：∵AC＝BC，

∴∠ABC＝∠CAB．

∵∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝∠A＝45°，∠ACE＋∠BCE＝90°．

∵BF⊥CE，

∴∠BFC＝90°，

∴∠CBF＋∠BCE＝90°，

∴∠ACE＝∠CBF．

∵CD⊥AB，∠ABC＝∠A＝45°，

∴∠BCD＝∠ACD＝45°，

∴∠A＝∠BCD．

在△BCG和△CAE中，

∴△BCG≌△CAE(ASA)，

∴AE＝CG．

(2)解：不变，AE＝CG 

理由如下：

∵AC＝BC，

∴∠ABC＝∠A．

∵∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝∠A＝45°，∠ACE＋∠BCE＝90°．

∵BF⊥CE，

∴∠BFC＝90°，

∴∠CBF＋∠BCE＝90°，

∴∠ACE＝∠CBF．

∵CD⊥AB，∠ABC＝∠A＝45°，

∴∠BCD＝∠ACD＝45°，

∴∠A＝∠BCD．

在△BCG和△CAE中，

∴△BCG≌△CAE(ASA)，

∴AE＝CG．

(3)BE＝CM，

理由如下：∵AC＝BC，

∴∠ABC＝∠CAB．

∵∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝∠A＝45°，∠ACE+∠BCE＝90°．

∵AH⊥CE，

∴∠AHC＝90°，

∴∠HAC+∠ACE＝90°，

∴∠BCE＝∠HAC．

∵在RT△ABC中，CD⊥AB，AC＝BC，

∴∠BCD＝∠ACD＝45°

∴∠ACD＝∠ABC．

在△BCE和△CAM中

，

∴△BCE≌△CAM(ASA)，

∴BE＝CM，

故答案为：CM．

【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，线段垂直平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．