2010◇100●34.矩形、菱形、正方形

一、选择题

1．（2010江苏苏州）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值是

A．           B．2             C．          D． 

【答案】B

2．（2010湖南怀化）如图２，在菱形ABCD中，

对角线AC=4，∠BAD=120°，

则菱形ABCD的周长为（   ）

A．20               B．18           

C．16               D．15

【答案】C

3．（2010安徽芜湖）下列命题中是真命题的是（）

A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形    B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等

C．两条对角线相等的平行四边形是矩形        D．两边相等的平行四边形是菱形

【答案】C

4．（2010甘肃兰州）如图所示，菱形ABCD的周长为20，DE⊥AB，垂足为E，A=，则下列结论正确的个数有

 ①   ②   ③菱形的面积为    ④

 A． 1个        B． 2个            C． 3个              D． 4个

【答案】C

5．（2010江苏南通） 如图，菱形ABCD中，AB = 5，∠BCD = 120°，则对角线

AC的长是

A．20    B．15

C．10    D．5

【答案】D

6．（2010江苏盐城）如图所示，在菱形ABCD中，两条对角线AC＝6，BD＝8，则此菱形

的边长为

A．5               B．6               C．8              D．10

【答案】A

7．（2010 浙江省温州）下列命题中，属于假命题的是(▲)

  A．三角形三个内角的和等于l80°    B．两直线平行，同位角相等

  C．矩形的对角线相等                D．相等的角是对顶角．

【答案】D 

8．（2010 浙江省温州）如图，AC；BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE／／AC交BC的延长线于E，则图中-与AABC全等的  三角形共有(．▲)

  A．1个     B．2个    C．3个    D．4个

【答案】D 

9．（2010 浙江义乌）下列说法不正确的是（ ▲ ）

A．一组邻边相等的矩形是正方形          B．对角线相等的菱形是正方形

C．对角线互相垂直的矩形是正方形         D．有一个角是直角的平行四边形是正方形

【答案】D 

10．（2010 重庆）已知：如图，在正方形外取一点，连接

，，．过点作的垂线交于点．

若，．下列结论：

①△≌△；②点到直线的距离为；

③；④；⑤．

其中正确结论的序号是（      ）

A．①③④      B．①②⑤    C．③④⑤      D．①③⑤   

【答案】D

11．（2010山东聊城）如图，点P是矩形ABCD的边AD的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（     ）

A．　　  B．　    C．　　    D．不确定

【答案】A 

12．（2010 福建晋江）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；...，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是(   ) .

A. 669       B. 670　     C.671       D. 672

【答案】B 

13．（2010 山东济南） 如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由点开始按的顺序沿菱形的边循环运动，行走2010厘米后停下，则这只蚂蚁停在         点．

【答案】C 

14．（2010 江苏连云港）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（    ）

A．BA＝BC     B．AC、BD互相平分    C．AC＝BD        D．AB∥CD

【答案】B 

15．（2010福建宁德）如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个

直角三角形，展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是（    ）.

A．2＋         B．2＋2         C．12        D．18

【答案】B

16．（2010江西）如图，已知矩形纸片ABCD，点E 是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG>60°，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为(     )

A．4          B．3         C．2            D．1

【答案】B 

17．（2010 山东滨州） 如图,把一个长方形纸片对折两次,然后剪下一个角.为了得到一个正方形,剪刀与折痕所成的角的度数应为(    ) 

A.60°        B.30°        C.45°        D.90°

【答案】C 

18．（2010山东潍坊）如图，已知矩形ABCD，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形（含三角形），若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M＋N不可能是（   ）．

【答案】D 

19．（2010北京）    若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为（     ）

A．20            B．16            C．12            D． 10

【答案】A 

20．（2010 浙江省温州）下列命题中，属于假命题的是(▲)

  A．三角形三个内角的和等于l80°    B．两直线平行，同位角相等

  C．矩形的对角线相等    D．相等的角是对顶角．

【答案】D

21．（2010 浙江义乌）下列说法不正确的是（ ▲ ）

A．一组邻边相等的矩形是正方形          B．对角线相等的菱形是正方形

C．对角线互相垂直的矩形是正方形         D．有一个角是直角的平行四边形是正方形

【答案】D 

22．（2010陕西西安）若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线长的平方和为

    A．16    B．8    C．4    D．1

【答案】A 

23．（2010江西省南昌）如图，已知矩形纸片，点是的中点，点是上的一点，

，现沿直线将纸片折叠，使点落在约片上的点处，

连接，则与相等的角的个数为                                 (    )

A.4             B. 3         C.2           D.1

   （第10题）

【答案】B

24．（2010湖北襄樊）下列命题中，真命题有（     ）

    （1）邻补角的平分线互相垂直        （2）对角线互相垂直平分的四边形是正方形

    （3）四边形的外角和等于360°        （4）矩形的两条对角线相等

A．1个            B．2个            C．3个            D．4个

【答案】C 

25．（2010湖北襄樊）菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角度数比为（     ）

A．3：1            B．4：1                C．5：1                D．6：1    

【答案】C 

26．27．28．29．30．

二、填空题

1．（2010江苏盐城）小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD>CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为    ▲    ．

【答案】

2．（2010山东威海）从边长为a的大正方形纸板中间挖去一个边长为b的小正方形后，将其截成四个相同的等腰梯形﹙如图①﹚，可以拼成一个平行四边形﹙如图②﹚．   

现有一平行四边形纸片ABCD﹙如图③﹚，已知∠A＝45°，AB＝6，AD＝4．若将该纸片按图②方式截成四个相同的等腰梯形，然后按图①方式拼图，则得到的大正方形的面积为             ．    

【答案】．

3．（2010浙江嘉兴）如图，已知菱形ABCD的一个内角，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上，且，则=　　▲　　度．

【答案】25

4．（2010年上海）已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE = 2，EC = 1（如图4所示） 把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为___________.

【答案】CF=1或5

5．（2010山东青岛）把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB = 3 cm，BC = 5 cm，则重叠部分△DEF的面积是        cm2．

【答案】5.1

6．（2010 福建德化）已知菱形的两对角线长分别为6㎝和8㎝，则菱形的面积为           ㎝2.

【答案】24

7．（2010湖南邵阳）如图（九）在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=CD，点E为AB上一点，连结CE，请添加一个你认为合适的条件          ，使四边形AECD为菱形．

       图（九）

【答案】AE＝CD或AD∥CE或CE=BC或∠CEB＝∠B的任意一个都可

8．（2010山东临沂） 正方形的边长为,点、分别是对角线上的两点，过点、分别作、的平行线，如图所示，则图中阴影部分的面积之和等于              .

【答案】

9．（2010四川宜宾）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP =EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；

④∠PFE=∠BAP；⑤PD= EC．其中正确结论的序号是                  ．

【答案】①、②、④、⑤．

10．（2010 江苏连云港）矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B’处，折痕为AE．在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为________．

【答案】

11．（2010 黄冈）如图矩形纸片ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有一点E，ED＝2cm，AD上有一点P，PD＝3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是____________cm.

【答案】

12．（2010 河北）把三张大小相同的正方形卡片A，B，C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图10-1摆放时，阴影部分的面积为S1；若按图10-2摆放时，阴影部分的面积为S2，则S1       S2（填“＞”、“＜”或“=”）．

【答案】=

13．（2010 山东省德州）在四边形中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，如果四边形EFGH为菱形，那么四边形ABCD是        （只要写出一种即可）．

【答案】答案不唯一：只要是对角线相等的四边形均符合要求．如：正方形、矩形、等腰梯形等． 

14．2010 广东珠海）如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4cm，

则点P到BC的距离是_____cm.   

【答案】4

15．（2010 四川巴中）如图5所示，已知□ABCD，下列条件：①AC=BD，②AB=AD，③∠1=∠2，④AB⊥BC中，能说明□ABCD是矩形的有            （填写）。

【答案】①④

16．（2010江苏淮安）已知菱形ABCD中,对角线AC=8cm，BD=6cm，在菱形内部(包括边界)任取一点P，使△ACP的面积大于6 cm2的概率为           ．

【答案】

17．（2010 湖南株洲）如图，四边形是菱形，对角线和相交于点，，，则这个菱形的面积是          ．

【答案】16

18．（2010广东中山）如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形；把正方形边长按原法延长一倍得到正方形（如图（2））；以此下去，则正方形的面积为      ．

【答案】625

19．(2010江苏苏州)如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，

    使AE=AC，则∠BCE的度数是  ▲  °．

【答案】22.5

20．（2010湖北恩施自治州）如图，在矩形ABCD中，AD =4，DC =3，将△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF（点A、B、E在同一直线上），连结CF，则CF =            .

【答案】5

21．（2010山东泰安）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D/重合，若BC=8，CD=6，则CF=            .

【答案】

22．（2010云南楚雄）如图，在□ABCD中，对角线与相交于点，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请添加一个条件，使得□ABCD变为矩形，需要添加的条件是      ．（写出一个即可）

【答案】AC＝BD或∠ABC＝90°等．

23．（2010湖北随州）如图矩形纸片ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有一点E，ED＝2cm，AD上有一点P，PD＝3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是____________cm.

【答案】

24．（2010黑龙江哈尔滨）如图，将矩形纸片ABC（D）折叠，使点（D）与点B重合，点C落在点处，折痕为EF，若，那么的度数为           度。

【答案】125

25．（2010广东东莞）如图⑴，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍后得到正方形A2B2C2D2（如图⑵）；以此下去…，则正方形A4B4C4D4的面积为     ．

【答案】625

26．（2010 四川绵阳）已知菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AB = 6，∠BDC = 30，则菱形的面积为          ．

【答案】18

27．28．29．30．

三、解答题

1．（2010安徽省中中考）如图，AD∥FE，点B、C在AD上，∠1＝∠2，BF＝BC

⑴求证：四边形BCEF是菱形

⑵若AB＝BC＝CD，求证：△ACF≌△BDE

【答案】

2．（10湖南益阳）如图7，在菱形ABCD中，∠A=60°, =4,O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．

(1) 求∠ABD 的度数；

 (2)求线段的长．

【答案】解:⑴　在菱形中,， 

∴为等边三角形         

∴                ……………………………4分

⑵由（1）可知　       

又∵为的中点

∴              ……………………………6分

又∵，及

∴

∴               ……………………………8分

3．（10湖南益阳）我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等.

一条直线l与方形环的边线有四个交点、、、．小明在探究线段与的数量关系时，从点、向对边作垂线段、，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题．请你参考小明的思路解答下列问题：

⑴当直线l与方形环的对边相交时（如图），直线l分别交、、、于、、、，小明发现与相等，请你帮他说明理由；

⑵当直线l与方形环的邻边相交时（如图），l分别交、、、于、、、，l与的夹角为，你认为与还相等吗？若     相等，说明理由；若不相等，求出的值（用含的三角函数表示）.

【答案】

⑴解:   在方形环中，

        ∵∥

        ∴

         ∴△≌△

         ∴　　　　　　　　 ……………………………5分

 ⑵解法一：∵ 

　　　∴∽            ……………………………8分

      ∴

      ∵

      ∴（或）……………………………10分

①当时，tan=1,则

 ②当时， 

 则（或） 　　  ……………………………12分

解法二：在方形环中，

       又∵

         ∴∥

         ∴

      在与中，

      即  （或）　　　……………………………10分

 ①当时， 

 ②当时， 

 则（或） 　　　　　……………………………12分

4．（2010江苏南京）（8分）如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连结EG、FG。

（1）设AE=时，△EGF的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长。

【答案】

5．（2010辽宁丹东市） 如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．

【答案】解：在Rt△AEF和Rt△DEC中， ∵EF⊥CE， ∴∠FEC=90°， 

∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°，

∴∠AEF=∠ECD．                 3分

又∠FAE=∠EDC=90°．EF=EC

∴Rt△AEF≌Rt△DCE．             5分

AE=CD．                          6分

AD=AE+4．

∵矩形ABCD的周长为32 cm， 

∴2（AE+AE+4）=32．              8分

解得， AE=6 （cm）．               10分

6．（2010山东济宁）数学课上，出示了这样一道题目：如图，正方形的边长为，为边延长线上的一点，为的中点，的垂直平分线交边于，交边的延长线于.当时，与的比值是多少？

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过作直线平行于交，分别于，，如图，则可得：，因为，所以.可求出和的值，进而可求得与的比值.

(1) 请按照小明的思路写出求解过程.

(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.

【答案】

（1）解：过作直线平行于交，分别于点，， 

则，，.

∵，∴.    2分

∴，.

∴.     4分

（2）证明：作∥交于点，    5分

则，.

∵，

∴.

∵，，

∴.∴.    7分

∴.    8分

7．（2010山东青岛）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．

（1）求证：BE = DF；

（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．

【答案】

证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD,∠B = ∠D = 90°．

∵AE = AF，

∴．

∴BE＝DF．        4分

（2）四边形AEMF是菱形．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCA = ∠DCA = 45°，BC = DC．

∵BE＝DF，

∴BC－BE = DC－DF. 即．

∴．

∵OM = OA，

∴四边形AEMF是平行四边形．

∵AE = AF，

∴平行四边形AEMF是菱形．        8分

8．（2010山东日照）如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90o，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．

 （1）证明：∠BAE=∠FEC；

（2）证明：△AGE≌△ECF；

（3）求△AEF的面积．

【答案】

（1）证明：∵∠AEF=90o， 

∴∠FEC+∠AEB=90o．………………………………………1分

在Rt△ABE中，∠AEB+∠BAE=90o，

∴∠BAE=∠FEC；……………………………………………3分

（2）证明：∵G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，

∴AG=GB=BE=EC，且∠AGE=180o－45o=135o．

又∵CF是∠DCH的平分线，

      ∠ECF=90o+45o=135o．………………………………………4分

在△AGE和△ECF中，

     ∴△AGE≌△ECF；   …………………………………………6分

  （3）解：由△AGE≌△ECF，得AE=EF．

又∵∠AEF=90o，

∴△AEF是等腰直角三角形．………………………………7分

由AB=a，BE=a，知AE=a，

∴S△AEF=a2．…………………………………………………9分

9．（2010四川眉山）如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．

（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；

（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积．

【答案】

解：（1）四边形OCED是菱形．…………（2分）

∵DE∥AC，CE∥BD，

∴四边形OCED是平行四边形，…………（3分）

又  在矩形ABCD中，OC=OD，

∴四边形OCED是菱形．…………………（4分） 

（2）连结OE．由菱形OCED得：CD⊥OE， …………（5分）

     ∴OE∥BC

     又  CE∥BD

∴四边形BCEO是平行四边形

∴OE=BC=8……………………………………………（7分）

∴S四边形OCED=……………（8分）

10．（2010浙江宁波）如图1，有一张菱形纸片ABCD，AC=8， BD=6.

  (1)请沿着AC剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一

  个平行四边形，在图2中用实线画出你所拼成的平行四边形；若

  沿着BD剪开，请在图3中用实线画出拼成的平行四边形.并直接

  写出这两个平行四边形的周长. 

(图1)

  (2)沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边形，

  请在图4中用实线画出拼成的平行四边形.

   (注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等)

(图4)

(图3)

(图2)

周长为  ▲  

周长为  ▲  

(第21题)

【答案】

解：(1)

                                                                 1分 

            周长为26                                             2分

                                                                 3分

               周长为22                                          4分

   (2)

                                                                 6分

     注:画法不唯一.

11．（2010浙江绍兴） (1) 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,

CD上,AE,BF交于点O,∠AOF＝90°.

求证：BE＝CF.

第23题图1

(2) 如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,

BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH＝90°, EF

＝4.求GH的长.

第23题图2

(3) 已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O,

∠FOH＝90°,EF＝4. 直接写出下列两题的答案：

①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长；

      ②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).

第23题图4

第23题图3

【答案】

(1) 证明：如图1，∵  四边形ABCD为正方形，

∴  AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°，  

∴  ∠EAB+∠AEB=90°.

∵  ∠EOB=∠AOF＝90°,

∴  ∠FBC+∠AEB=90°，∴  ∠EAB=∠FBC，            

∴  △ABE≌△BCF ，   ∴  BE=CF．             

(2) 解：如图2,过点A作AM//GH交BC于M，

过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点O/，

则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，  

∴  EF=BN,GH=AM，         

∵ ∠FOH＝90°, AM//GH，EF//BN, ∴ ∠NO/A=90°,

故由(1)得, △ABM≌△BCN， ∴  AM=BN，

∴  GH=EF=4．         

(3)  ① 8．② 4n．          

12．（2010 浙江省温州市）(本题10分)如图，在□ABCD中，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于点E．F．已知BE=BP．

      求证：(1)∠E=∠F(2)□ABCD是菱形．

【答案】

13．（2010重庆市潼南县）(10分) 如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2 ， ∠3=∠4.

（1）证明：△ABE≌△DAF；

（2）若∠AGB=30°，求EF的长.

【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形    

  ∴AB=AD

在△ABE和△DAF中

∴△ABE≌△DAF-----------------------4分

（2）∵四边形ABCD是正方形

∴∠1+∠4=900

∵∠3=∠4

∴∠1+∠3=900

∴∠AFD=900----------------------------6分

在正方形ABCD中， AD∥BC

∴∠1=∠AGB=300

在Rt△ADF中，∠AFD=900    AD=2   

∴AF=   DF =1----------------------------------------8分

由(1)得△ABE≌△ADF

∴AE=DF=1

∴EF=AF-AE= -----------------------------------------10分

14．（2010山东聊城）如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE．

（1）求∠CAE的度数；

（2）取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．

【答案】（1）在等边△ABC中，∵点D是BC边的中点，∴∠DAC＝30º，又∵等边△ADE，∴∠DAE＝60º，∴∠CAE＝30º

（2）在等边△ABC中，∵F是AB边的中点，D是BC边的中点，∴CF＝AD，∠CFA＝90º，又∵AD＝AE，∴AE＝CF，由（1）知∠CAE＝30º，∴∠EAF＝60º+30º＝90º，∴∠CFA＝∠EAF，∴CF∥AE，∵AE＝CF，∴四边形AFCE是平行四边形，又∵∠CFA＝90º，∴四边形AFCE是矩形．

15．（2010湖南长沙）在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED

（1）求证：△BEC≌△DEC；

（2）延长BE交AD于F，当∠BED＝120°时，求的度数．

【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴BC＝DC

又∵AC为对角线，E为AC上一点，

∴∠BCE＝∠DCE＝45°．

∵EC＝EC,

∴△BEC≌△DEC(SAS)；

（2）∵△BEC≌△DEC, ∠BED＝120°,

∴∠BEC＝∠DEC＝60°．

∵∠DAC＝45°，

∴∠ADE＝15°

∴∠EFD＝∠BED－∠ADE＝120°－15°＝105°

16．（2010浙江金华(本题12分)如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为

（3，0）和(0，3）.动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO，OB，

BA上运动的

面四民﹒数学兴趣小组对捐款情况进行了抽样调查，速度分别为1，，2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l从x轴的位置开

始以(长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与OB，

AB交于E，F两点﹒设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线

AO-OB-BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动．

请解答下列问题：

    （1）过A，B两点的直线解析式是  ▲  ；

（2）当t﹦4时，点P的坐标为  ▲   ；当t ﹦  ▲   ，点P与点E重合； 

         （3）① 作点P关于直线EF的对称点P′. 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为

        菱形，则t的值是多少？

② 当t﹦2时，是否存在着点Q，使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点Q的坐标；

若不存在，请说明理由．

【答案】

解：（1）； （2）（0,），；

（3）①当点在线段上时，过作⊥轴，为垂足（如图1）

 ∵, ,∠∠90°

          ∴△≌△，∴﹒

又∵,∠60°,∴

          而，∴,

          由得  ；

          当点P在线段上时，形成的是三角形，不存在菱形；

          当点P在线段上时，

过P作⊥，⊥，、分别为垂足（如图2）

          ∵,∴,∴

          ∴， 又∵

          在Rt△中， 

          即，解得．

y

②存在﹒理由如下：

          ∵，∴,， 

将△绕点顺时针方向旋转90°，得到

△（如图3）

          ∵⊥，∴点在直线上，

    C点坐标为（，－1）

          过作∥，交于点Q,

则△∽△

          由，可得Q的坐标为（－，）

根据对称性可得，Q关于直线EF的对称点（－，）也符合条件。

17．（2010江苏泰州）如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC=∠CAB，∠DEC=90°．

(1)求证：AC∥DE；

(2)过点B作BF⊥AC于点F，连结EF，试判断四边形BCEF的形状，并说明理由．

【答案】⑴在矩形ABCD中，AC∥DE，∴∠DCA=∠CAB，∵∠EDC=∠CAB，

∴∠DCA=∠EDC，∴AC∥DE；

⑵四边形BCEF是平行四边形．

理由：由∠DEC=90°，BF⊥AC，可得∠AFB=∠DEC=90°，

又∠EDC=∠CAB，AB=CD，

∴△DEC≌△AFB，∴DE=AF，由⑴得AC∥DE，

∴四边形AFED是平行四边形，∴AD∥EF且AD=EF，

∵在矩形ABCD中，AD∥BC且AD=BC，

∴EF∥BC且EF=BC，

∴四边形BCEF是平行四边形．

18．（2010江苏无锡）

（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．

下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．

证明：在边AB上截取AE=MC，连ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．

∴∠NMC=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE．

（下面请你完成余下的证明过程）

（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．

（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCD……X”，请你作出猜想：当∠AMN=            °时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）

【答案】解：（1）∵AE=MC，∴BE=BM， ∴∠BEM=∠EMB=45°， ∴∠AEM=135°， 

            ∵CN平分∠DCP，∴∠PCN=45°，∴∠AEM=∠MCN=135°

            在△AEM和△MCN中：∵∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN

    （2）仍然成立．

        在边AB上截取AE=MC，连接ME

        ∵△ABC是等边三角形，

        ∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，

        ∴∠ACP=120°．

        ∵AE=MC，∴BE=BM

        ∴∠BEM=∠EMB=60°

        ∴∠AEM=120°．

        ∵CN平分∠ACP，∴∠PCN=60°，

        ∴∠AEM=∠MCN=120°

        ∵∠CMN=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠BAM

        ∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN

    （3）

19．（2010山东临沂）如图1，已知矩形，点是边的中点，且.

(1)判断的形状，并说明理由；

(2)保持图1中的固定不变，绕点旋转所在的直线到图2中的位置（当垂线段、在直线的同侧）.试探究线段、、长度之间有什么关系？并给予证明；

（3）保持图2 中的固定不变，继续绕点旋转所在的直线到图3中的位置（当垂线段、在直线的异侧）.试探究线段、、长度之间有什么关系？并给予证明.

【答案】解：（1）△ABC是等腰直角三角形。

如图（1）在矩形ABED中，

因为点C是边DE的中点，且AB=2AD,

所以AD=DC=CE=EB,

∠D=∠E=90°.

∴Rt△ADC≌Rt△BEC.

∴AC=BC, ∠1=∠2=45°.

∴∠ACB=90°.

∴△ABC是等腰直角三角形。

（2）DE=AD+BE.

如图（2），在Rt△ADC和Rt△BEC中，

∵∠1=∠CAD=90°, ∠1+∠2=90°.

∴∠CAD=∠2.

又∵AC=BC, ∠ADC=∠CEB=90°,

∴Rt△ADC≌Rt△CEB.

∴DC=BE,CE=AD.

∴DC+CE= BE+AD,

即DE=AD+BE.

（3）DE=BE-AD.

如图（3），在Rt△ADC和Rt△CEB中，∵∠1+∠CAD=90°, ∠1+∠2=90°，

∴∠CAD=∠2.

又∵∠ADC=∠CBE=90°,AC=CB, ∴Rt△ADC≌Rt△CBE.

∴DC=BE,CE=AD.∴DC-CE=BE-AD, 即DE=BE-AD.

20．（2010四川宜宾）

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，过点B作BD∥AC，且BD=2AC，连接AD．

试判断△ABD的形状，并说明理由．

【答案】过点A作AE垂直BD与点E，则四边形ACBE为矩形，所以CB=EA，AC=BE，且BD=2AC，所以BE=ED=AC，在Rt⊿ACB和Rt⊿AED中，

ED=AC，CB=EA，∠ACB=∠AED= 90°，所以Rt⊿ACB≌ Rt⊿AED（SAS）．

所以AB=AD，所以三角形ABD为等腰三角形．

21．（2010湖南衡阳）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等，问在E、F移动过程中：

（1）∠EAF的大小是否有变化？请说明理由．

（2）△ECF的周长是否有变化？请说明理由．

【答案】不变，理由是：在Rt△ABE和Rt△AHE中，AB=AH，AE=AE，所以Rt△ABE∽Rt△AHE，所以HE=BE，同理HF=DF.所以△ECF的周长=EF+CE+CF=BC+DC.可见△ECF的周长等于正方形边长的两倍.

22．（2010 黄冈）（6分）如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由。

                           第18题图

【答案】提示：由∠H＝∠FCE，AH＝CE，∠HAE＝∠FCE可证△HAE≌△CEF，从而得到

AE＝EF.

23．（2010 山东莱芜）在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE.

（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；

（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是           ；

（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是          ；

（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由.

【答案】解：（1）四边形EGFH是平行四边形．                     

证明：∵   ABCD的对角线AC、BD交于点O．

∴点O是   ABCD的对称中心．

∴EO=FO，GO=HO．

∴四边形EGFH是平行四边形．                          

（2）菱形．                                            

（3）菱形．                                            

（4）四边形EGFH是正方形．                          

证明：∵AC=BD，∴   ABCD是矩形． 又∵AC⊥BD， ∴   ABCD是菱形．

∴   ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°．OB=OC．

∵EF⊥GH ，∴∠GOF=90°．∴∠BOG=∠COF．

∴△BOG≌△COF．∴OG=OF，∴GH=EF．                

由（1）知四边形EGFH是平行四边形，又∵EF⊥GH，EF=GH.

∴四边形EGFH是正方形．         

24．（2010福建宁德）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.

⑴ 求证：△AMB≌△ENB；

⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；

②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；

⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.

【答案】解：⑴∵△ABE是等边三角形，

∴BA＝BE，∠ABE＝60°.

∵∠MBN＝60°，

∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.

即∠BMA＝∠NBE.

又∵MB＝NB，

∴△AMB≌△ENB（SAS）. ………………5分

⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小. 

②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，

AM＋BM＋CM的值最小. 

理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，

∴AM＝EN.

∵∠MBN＝60°，MB＝NB，

∴△BMN是等边三角形.

∴BM＝MN.

∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM. 

根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短

∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长.

⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，

∴∠EBF＝90°－60°＝30°.

设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝.

在Rt△EFC中，

∵EF2＋FC2＝EC2，

∴（）2＋（x＋x）2＝. 

解得，x＝（舍去负值）.

∴正方形的边长为.

25．（2010浙江湖州）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A，D），连接PC，过点P作PE⊥PC交AB于E．（第25题）

（1）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？若存在，

求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由；

（2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围．

【答案】（1）存在，理由如下：假设存在这样的点Q，∵FE⊥PC，∴∠APE＋∠DPC＝90°，∵∠D＝90°，

∴∠DPC＋∠DCP＝90°，∴△PAE∽△PDC，∴，∴，同理可得，∴，即，

∴，∴，

∴

∵AP≠AQ，∴AP＋AQ＝3.∵AP≠AQ，∴AP≠，即P不能是AD的中点，∴当P是AD的中点时，满足条件的Q点不存在，故，当P不是AD的中点时，总存在这样的点Q满足条件，此时AP＋AQ＝3．

（2）设AP＝x，BE＝y，则DP＝3－x，AE＝2－y，又PE⊥PC，∴△PAE∽△PDC，∴，即，∴，当时，y有最小值，y的最小值为，又E在AB上运动，且AB＝2，∴BE的取值范围是≤BE＜2．

26．（2010江苏常州）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形。求证：四边形ADCE是矩形。

【答案】

27．（2010 四川成都）已知：在菱形中，是对角线上的一动点．

（1）如图甲，为线段上一点，连接并延长交于点，当是的中点时，求证：；

（2）如图乙，连结并延长，与交于点，与的延长线交于点．若，求和的长．

【答案】（1）证明：∵ABCD为菱形，∴AD∥BC。

              ∴∠OBP=∠ODQ

            ∵O是是的中点，

            ∴OB=OD

            在△BOP和△DOQ中，

            ∵∠OBP=∠ODQ，OB=OD，∠BOP=∠DOQ

∴△BOP≌△DOQ（ASA）

∴OP=OQ。

（2）解：如图，过A作AT⊥BC，与CB的延长线交于T.

∵ABCD是菱形，∠DCB=60°

∴AB=AD=4，∠ABT=60°

∴AT=ABsin60°=

TB=ABcos60°=2

∵BS=10，∴TS=TB+BS=12，

∴AS=。

∵AD∥BS，∴△AOD∽△SOB。

∴，

则,∴

∵AS=，∴。

同理可得△ARD∽△SRC。

∴,

则,∴，

∴。

∴OR=OS-RS=。

28．（2010湖南常德）如图5， 已知四边形ABCD是菱形， DE⊥AB，DF⊥BC. 求证:△ADE≌△CDF.

【答案】证明：在△ADE和△CDF中,

∵四边形ABCD是菱形,

           ∴∠A=∠C，AD=CD.                               

          又DE⊥AB，DF⊥BC,

          ∴∠AED=∠CFD=900.                              

               ∴△ADE≌△CDF.      

29．（2010湖南常德）如图10，若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE.

（1）当正方形GFED绕D旋转到如图11的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

（2）当正方形GFED绕D旋转到如图12的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M.

       ① 求证：AG⊥CH；

②当AD=4，DG=时，求CH的长.

M

【答案】解：（1）成立．

　　　　　　四边形、四边形是正方形，

　　　　　　∴    

∠∠.

            ∴∠90°-∠∠.                                                

　　　　　　∴△△.

            ∴.                

（2）①类似（1）可得△△，

　　　　　     ∴∠1＝∠2            

　         又∵∠＝∠.    

　　　　　     ∴∠∠＝.

　　　　　     即            

　　　　 　    ② 解法一: 过作于,

　　　　　    由题意有,

　　　　　　∴，则∠1＝.    

　　　　　　而∠1＝∠2，∴∠2＝＝∠1＝.

　　　　　　∴　，即.        

　　　　　　在Rt中，＝＝,

　             而∽,∴,　 即,　　　　

∴.　                                

再连接，显然有,

　　　　　    ∴.

            所求的长为.                        

解法二：研究四边形ACDG的面积

过作于,

　　　　     由题意有,

∴,.        

而以CD为底边的三角形CDG的高=PD=1,

,

∴4×1+4×4=×CH+4 ×1.

∴=.    

30．（2010江苏扬州）如图，四边形ABCD是菱形，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F，连接CE．

（1）求证：∠DAE＝∠DCE；

（2）当AE＝2EF时，判断FG与EF有何等量关系？并证明你的结论？

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形

∴∠ADE=∠CDE，AD=CD

∵DE是公共边

∴△ADE≌△CDE（SAS）

∴∠DAE=∠DCE

(2)FG=3EF

解法一：∵四边形ABCD是菱形

∴AD∥BC，∠DAE=∠G

∵∠DAE=∠DCE

∴∠DCE=∠G

∵∠CEF=∠GEC

∴△ECF∽△EGC

∴

∵△ADE≌△CDE

∴EA=EC

∴

∵AE=2EF

∴EG=2EC=4EF

∴FG=3EF

             解法二：∵四边形ABCD是菱形

∴AB∥CD

∴△ABE∽△FDE

∴

同理△BEG∽△DEA

∴

∴EG=2AE=4EF

∴FG=3EF

31. （2010北京）阅读下列材料：

小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm．现有一动点P按下列方式在矩形内运动：它从A点出发，沿着与AB边夹角为45°的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45°的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当点P碰到BC边，沿着与BC边夹角为45°的方向作直线运动，当点P碰到CD边，再沿着与CD边夹角为45°的方向作直线运动，…，如图1所示．问P点第一次与D点重合前与边相碰几次，P点第一次与D点重合时所经过的路径的总长是多少．

小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形ABCD沿直线CD折叠，得到矩形A1B1CD．由轴对称的知识，发现P2P3＝P2E，P1A＝P1E．

图1                           图2

请你参考小贝的思路解决下列问题：

（1）P点第一次与D点重合前与边相碰______次；P点从A点出发到第一次与D点重合时所经过的路径的总长是________cm；

（2）进一步探究：改变矩形ABCD中AD、AB的长，且满足AD＞AB．动点P从A点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD相邻的两边上．若P点第一次与B点重合前与边相碰7次，则AB∶AD的值为________．

【答案】解：（1）5，24

    （2）4∶5

解题思路示意图：

32.如图 ，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90ｏ，点P、Q分别是AB、AC上的动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点. 

（1）求证：△PDQ是等腰直角三角形；

（2）当点P运动到什么位置时，四边形ＡPDQ是正方形，说明理由. 

解：（1）证明：连结AD

　　  ∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点

　　　∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠DAQ=∠B

      又∵BP=AQ

      ∴△BPD≌△AQD

      ∴PD=QD，∠ADQ=∠BDP

      ∵∠BDP+∠ADP=90ｏ

      ∴∠ADQ+∠ADP=∠PDQ=90ｏ

      ∴△PDQ为等腰直角三角形. 

   （2）当P点运动到AB的中点时，四边形ＡPDQ是正方形.

　　　由（１）知△ABD为等腰直角三角形.

当P点运动到AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD=90ｏ

又∵∠A=90ｏ，∠PDQ=90ｏ

∴四边形ＡPDQ为矩形

又∵DP=AP=AB

∴四边形ＡPDQ是正方形.

33. （2010云南红河哈尼族彝族自治州）如图6，在正方形ABCD中，G是BC上的任意一点，（G与B、C两点不重合），E、F是AG上的两点（E、F与A、G两点不重合），若AF=BF+EF，∠1=∠2，请判断线段DE与BF有怎样的位置关系，并证明你的结论.

【答案】解：根据题目条件可判断DE//BF.

证明如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAF+∠2=90°.

∵AF=AE+EF，又AF=BF+EF

∴AE=BF

∵∠1=∠2，∴△ABF≌△DAE（SAS）.

∴∠AFB=∠DEA，∠BAF=∠ADE.

∴∠ADE+∠2=90°，

∴∠AED=∠BFA=90°.

∴DE//BF. 

34. （2010湖北随州）如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由。

                           第18题图

【答案】提示：由∠H＝∠FCE，AH＝CE，∠HAE＝∠FCE可证△HAE≌△CEF，从而得到AE＝EF.

35. （2010江苏徐州）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，  CE∥BF，连接BE、CF．

  (1)求证：△BDF≌△CDE；

  (2)若AB=AC，求证：四边形BFCE是菱形．

【答案】

36. （2010江苏徐州）如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点 M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P， 连接EP．

  (1)如图②，若M为AD边的中点，

    ①,△AEM的周长=_____cm；

    ②求证：EP=AE+DP；

  (2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合)，△PDM的周长是否发生变化?请说明理由．

【答案】

37. （2010陕西西安）如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB=2BC。分别以

AB、BC为边作正方形ABEF和正方形BCMN，连接FN，

EC。

    求证：FN=EC。

【答案】证明：FN=EC。

证明：在正方形ABEF和正方形BCMN中，

AB=BE=EF，BC=BN，∠FEN=∠EBC=90°

∵AB=2BC

∴EN=BC  

∴△FEN≌△EBC 

∴FN=EC。  

38. （2010广东东莞）如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB＝6，BC＝4，点F在DC上，DF＝2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、MN、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PQW．设动点M、N的速度都是1个单位／秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题：

⑴说明△FMN ∽ △QWP；

⑵设0≤≤4（即M从D到A运动的时间段）．试问为何值时，△PQW为直角三角形？当在何范围时，△PQW不为直角三角形？

⑶问当为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．

【答案】⑴∵P、Q、W分别为△FMN三边的中点

∴PQ∥FN，PW∥MN

∴∠MNF＝∠PQM＝∠QPW

同理：∠NFM＝∠PQW

∴△FMN ∽ △QWP

⑵

由⑴得△FMN ∽ △QWP，所以△FMN为直角三角形时，△QWP也为直角三角形．如图，过点N作NECD于E，根据题意，得DM＝BM＝，∴AM＝4－，AN＝DE＝6－

∵DF＝2，∴EF＝4－

∴MF2＝22＋x2＝x2＋4，MN2＝（4－x）2＋（6－x）2＝2x2－20x＋52，NF2＝（4－x）2＋42＝x2－8x＋32,

1如果∠MNF＝90°，则有2x2－20x＋52＋x2－8x＋32＝x2＋4，解得x1＝4，x2＝10（舍去）；

②如果∠NMF＝90°，则有2x2－20x＋52＋x2＋4＝x2－8x＋32，化简，得：x2－6x＋12＝0，△＝－12＜0，方程无实数根；

③如果∠MFN＝90°，则有2x2－20x＋52＝x2＋4＋x2－8x＋32，解得x＝．

∴当为4或时，△PQW为直角三角形，当0≤＜或＜＜4时，△PQW不为直角三角形

⑶∵点M在射线DA上，点N在线段AB上，且AB⊥AD，∴当M点运动到与A点重合时，NM⊥AD，根据垂线段最短原理，此时线段MN最短，DM＝4，则BN＝4．

∴当＝4时，线段MN最短，MN＝２．

39. （2010 福建三明）正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P为对角线AC

上一动点，过点P作PF⊥DC于点F，如图1，当点P与点O

重合时，显然有DF=CF。

   （1）如图2，若点P在线段AO上（不与A、O重合0，PE⊥PB且PE交CD点E。

        ①求证：DF=EF；②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系式，并证明

你的结论；

   （2）若点P在线段CA的延长线上，PE⊥PB且PE交直线CD

于点E。请完成图3并判断（1）中的结论①、②是否成立？

若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）

【答案】（1）证明：延长FP交AB于点Q，证明≌即可得出…………4分

   （2）解：PC-PA=

理由如下……8分

   （3）正确完成图3得1分，结论①仍成立，②不成立    …………11分

此时②中三条线段的数量关系是    …………

40．41．42．43．44．45．46．47．48．49．50．