2014年天津高考数学理科

2014年天津高考（理）

一、选择题

1．是虚数单位,复数(    )

A.    B.  C.   D. 2．设变量满足约束条件则目标函数的最小值为(    )

A.    B.   C.       D. 3．阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出的值为(    )

A.       B.      C.      D. 4．函数的单调递增区间是(    )

A.       B.      C.       D. 5．已知双曲线的一条渐近线平行于直线:,双曲线的一个焦点在直线上,则双曲线的方程为(    )

A.        B.     C.     D. 6．如图,是圆的内接三角形,的平分线交圆于点,交于点,过点的圆的切线与的延长线交于点.在上述条件下,给出下列四个结论:

①平分;②;③;④.则所有正确结论的序号是(    )

A.①②    B.③④    C.①②③    D.①②④7．设,则“”是“”的(    )

A.充分不必要条件    B.必要不充分条件   C.充要条件     D.既不充分也不必要条件8．已知菱形的边长为2, ,点分别在边上, ,.若, ,则(    )

A.    B.    C.    D.二、填空题

9．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为,则应从一年级本科生中抽取_________名学生.10．已知一个几何体的三视图如图所示(单位:),则该几何体的体积为_________.

11．设是首项为,公差为的等差数列,为其前项和.若成等比数列,则的值为_________.12．在中,内角所对的边分别是.已知, ,则的值为_________.13．在以为极点的极坐标系中,圆和直线相交于两点.若是等边三角形,则的值为_________.14．已知函数,.若方程恰有4个互异的实数根,则实数的取值范围为_________.三、解答题

15．已知函数,.

(Ⅰ)求的最小正周期;

(Ⅱ)求在闭区间上的最大值和最小值.16．某大学志愿者协会有名男同学,名女同学.在这名同学中,名同学来自数学学院,其余名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这名同学中随机选取名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).

(Ⅰ)求选出的名同学是来自互不相同学院的概率;

(Ⅱ)设为选出的名同学中女同学的人数,求随机变量的分布列和数学期望.17．如图,在四棱锥中,底面,, , ,点为棱的中点. 

(Ⅰ)证明:;

(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值;

(Ⅲ)若为棱上一点,满足,求二面角的余弦值.18．设椭圆的左、右焦点分别为,右顶点为,上顶点为.已知.

(Ⅰ)求椭圆的离心率;

(Ⅱ)设为椭圆上异于其顶点的一点,以线段为直径的圆经过点,经过原点的直线与该圆相切.求直线的斜率.19．已知和均为给定的大于的自然数.设集合,集合.

(Ⅰ)当,时,用列举法表示集合;

(Ⅱ)设, , ,其中,. 证明:若,则.20．设.已知函数有两个零点,且.

(Ⅰ)求的取值范围;

(Ⅱ)证明随着的减小而增大;

（Ⅲ）证明  随着的减小而增大.

参

一、选择题

1．A 解析:直接计算.故选A. 考点:⑴复数的四则运算;⑵运算求解能力. 难度:A 备注:高频考点 2．B 解析:画出可行域,不难发现在点处目标函数有最小值.故选B.  考点:⑴线性规划知识;⑵数形结合思想;⑶运算求解能力. 难度:A 备注:易错题 3．B 解析:逐次计算的结果是;;,此时输出的结果为.故选B. 考点:⑴程序框图;⑵运算求解能力;⑶分析问题、解决问题的能力. 难度:A 备注:易错题 4．D 解析:函数的定义域为,因为函数是由与复合而成,而在上单调递减,在上单调递减,所以函数在上单调递增.故选D. 考点:⑴函数的定义域;⑵复合函数的单调性;⑶运算求解能力;⑷转化与化归的数学思想. 难度:A 备注:易错题 5．A 解析:双曲线的其中一条渐近线与直线平行,所以且左焦点为,所以,解得, ,故双曲线方程为.故选A. 考点:⑴双曲线的概念及其几何性质;⑵直线的斜率;⑶运算求解能力;⑷转化与化归的数学思想; ⑸数形结合思想. 难度:A 备注:高频考点 6．D 解析:因为, ,又平分,所以,所以,所以平分,结论①正确;易证∽,所以,所以,结论④正确;由得,结论②正确.故选D. 考点:⑴圆的性质;⑵相似三角形;⑶逻辑推理能力. 难度:B 备注:易错题 7．C 解析:构造函数,则在定义域上为奇函数,因为所以函数在上单调递增,所以.故选C. 考点:⑴函数的单调性定义;⑵充要条件的判断;⑶推理论证能力;⑷转化与化归的数学思想. 难度:B 备注:易错题 8．C 解析:记, ,则,所以.故选C. 考点:⑴平面向量的运算;⑵向量的模、数量积的概念;⑶向量运算的几何意义;⑷推理论证能力; ⑸转化与化归的数学思想. 难度:B 备注:易错题 9． 解析:设应从一年级本科生中抽取名,则,解得. 考点:⑴分层抽样;⑵运算求解能力. 难度:A 备注:高频考点 10． 解析:该几何体是一个组合体,上半部分是一个圆锥,下半部分是一个圆柱.因为, ,故该组合体体积. 考点:⑴识别三视图所表示的空间几何体;⑵空间几何体体积计算;⑶空间想象能力;⑷运算求解能力. 难度:A 备注:高频考点 二、填空题

11． 解析:由已知得,即,解得. 考点:⑴等差数列的前项和公式;⑵等比数列的概念、等比中项;⑶运算求解能力. 难度:A 备注:高频考点 12． 解析:由已知得,因为.不妨设,所以,所以. 考点:⑴正弦定理;⑵余弦定理;⑶运算求解能力. 难度:B 备注:高频考点 13． 解析:由于圆方程和直线方程的普通方程为和, 它们相交于两点,因为为等边三角形,所以直线方程为,联立消去得,解得或(舍去),所以,即.  考点:⑴极坐标方程与直角坐标方程的互化;⑵直线与圆的位置关系;⑶运算求解能力. 难度:A 备注:易错题 14． 解析:画出函数的大致图象,  令,则函数的图象与函数的图象有且仅有4个不同的交点,如图,显然(不可能). 联立消去得, 由解得或(舍去);联立消去得,由解得或(舍去). 结合图象,实数的取值范围为. 考点:⑴函数的零点;⑵函数的综合性质;⑶直线与抛物线的位置关系;⑷转化与化归、数形结合、分类讨论;⑸运算求解能力. 难度:C 备注:易错题 15．(Ⅰ);(Ⅱ),. 解析:(Ⅰ)由已知,有    所以的最小正周期为. (Ⅱ) 因为在区间上是减函数,在区间上是增函数,而, , ,所以,函数在闭区间上的最大值为,最小值为. 考点:⑴两角和与差的正弦公式;⑵二倍角的正弦 、余弦公式;⑶三角函数的最小正周期、单调性;⑷运算求解能力. 难度:B 备注:典例. 三、解答题

16．(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析. 解析:(Ⅰ)设“选出的名同学是来自互不相同的学院”为事件,则. 所以,选出的名同学是来自互不相同学院的概率为. (Ⅱ)随机变量的所有可能值为,则所以,随机变量的分布列是

随机变量的数学期望. 考点:⑴古典概型及其概率计算公式;⑵互斥事件;⑶离散型随机变量的分布列与数学期望;⑷运用概率知识解决简单实际问题的能力. 难度:B 备注:典例. 17．(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ);(Ⅲ) . 解析:(方法一)依题意,以点为原点建立空间直角坐标系(如图),  可得, , ,.由为棱的中点,得. (Ⅰ), ,故. 所以,. (Ⅱ),. 设为平面的法向量,则即不妨令,可得为平面的一个法向量. 于是有, 所以,直线与平面所成角的正弦值为. (Ⅲ), , ,. 由点在棱上,设,.故. 由,得,因此, , 解得.即. 设为平面的法向量,则即不妨令,可得为平面的一个法向量. 取平面的法向量,则. 易知,二面角是锐角,所以其余弦值为. (方法二)(Ⅰ)如图,取中点,连接,.  由于分别为的中点,故,且. 由已知,可得且,故四边形为平行四边形,所以. 因为底面,故,而,从而平面.因为平面,于是. 又,所以. (Ⅱ)连接.由(Ⅰ)有平面,得, 而,故.又因为,为的中点,故,可得,所以平面, 故平面平面.所以直线在平面内的射影为直线, 而,可得为锐角,故为直线与平面所成的角. 依题意,有,而为中点,可得,故. 在直角三角形中, ,因此. 所以,直线与平面所成角的正弦值为. (Ⅲ)如图,在中,过点作交于点.  因为底面,故底面,从而. 又,得平面,因此.在底面内,可得,从而. 在平面内,作交于点,于是. 由于,故,所以四点共面. 由, ,得平面,故. 所以为二面角的平面角. 在中, , , , 由余弦定理可得,. 所以,二面角的余弦值为. 考点:⑴空间两条直线的位置关系;⑵二面角;⑶直线与平面所成的角;⑷直线与平面垂直;⑸空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力. 难度:B 备注:典例. 18．(Ⅰ);(Ⅱ)或. 解析:(Ⅰ)设椭圆右焦点的坐标为.由,可得, 又,则.所以,椭圆的离心率. (Ⅱ)由(Ⅰ)知.故椭圆方程为. 设.由,有,. 由已知,有,即.又,故有.① 又因为点在椭圆上,故.②   由①和②可得.而点不是椭圆的顶点,故, 代入①得,即点的坐标为. 设圆的圆心为,则, , 进而圆的半径. 设直线的斜率为,依题意,直线的方程为. 由与圆相切,可得,即, 整理得,解得. 所以,直线的斜率为或. 考点:⑴椭圆的标准方程和几何性质;⑵直线的方程;⑶圆的方程;⑷运算求解能力;⑸用方程思想解决问题的能力. 难度:C 备注:典例. 19．(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析. 解析:(Ⅰ)当时, ,. 可得,. (Ⅱ)由, , , ,及,可得.所以,. 考点:⑴集合的含义和表示;⑵等比数列的前项和公式;⑶不等式的证明;⑷运算求解能力;⑸分析问题和解决问题的能力. 难度:C 备注:典例. 20．(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ)详见解析. 解析:(Ⅰ)由,可得.下面分两种情况讨论: ⑴当时,由在上恒成立,可得在上单调递增,不合题意. ⑵当时,由,得.当变化时, ,的变化情况如下表:

	+		-
	↗		↘

这时,的单调递增区间是;单调递减区间是. 于是,“函数有两个零点”等价于如下条件同时成立: ①；②存在,满足；

③存在,满足. 由,即,解得,而此时,取,满足,且;取,满足,且. 所以,的取值范围是. (Ⅱ)由,有.设,由知:在上单调递增,在上单调递减. 并且当时,;当时,. 由已知,满足,. 由及的单调性,可得,. 对于任意的,设, ,其中;,其中. 因为在上单调递增,故由,即,可得; 类似可得. 又由,得. 所以,随着的减小而增大. (Ⅲ)由, ,可得,. 故. 设,则,且解得,. 所以,.①  令, ,则. 令,得. 当时,.因此,在上单调递增, 故对于任意的, ,由此可得,故在上单调递增. 因此,由①可得随着的增大而增大.而由(Ⅱ),随着的减小而增大,所以随着的减小而增大.  考点:⑴函数的零点;⑵导数的运算;⑶利用导数研究函数的性质;⑷函数思想、转化与化归思想;⑸抽象概况能力、综合分析问题和解决问题的能力. 难度:C 备注:典例.