平面向量专题练习(带答案详解)

一、单选题

1．已知向量，，则（ ）

A．3 ．2 ．1 ．0

2．已知向量，，若，则的值是（ ）

A．-4 ．-1 ．1 ．4

3．已知向量，且与互相垂直，则k的值是（ ）

A．1 ．  ． ．

4．等腰直角三角形中，，，点是斜边上一点，且，那么（ ）

A． ． ．2 ．4

5．设是非零向量，则是成立的（ ）

A．充要条件 ．充分不必要条件

C．必要不充分条件 ．既不充分也不必要条件

6．在中为边的三等分点，则的最小值为（）

A． ． ． ．

7．若，，且，则与的夹角是（ ）

A． ． ． ．

8．已知非零向量满足，的夹角的余弦值为，且，则实数的值为（ ）

A．18 ．24 ．32 ．36

9．已知向量的夹角为，且,则（ ）

A． ．

C． ．

10．已知向量，若A、B、C三点共线，则（ ）

A． ． ． ．

11．在中，，，且，则（ ）．

A． ．1 ． ．

12．已知椭圆的离心率为，且是椭圆上相异的两点，若点满足，则的取值范围为（ ）

A． ． ． ．

13．已知向量，，若，且，则实数的值为（ ）

A．2 ．4 ．或2 ．或4

14．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点，分别是△的外心、垂心，且为中点，则 （ ）

A． ．

C． ．

15．已知向量，满足，当，的夹角最大时，则（ ）

A．0 ．2 ． ．4

16．已知是的重心，且，则实数

A．3 ．2 ．1 ．

17．设，均为单位向量，当，的夹角为时，在方向上的投影为（ ）

A． ． ． ．

18．若向量，满足，，且满足，则与的夹角为（ ）

A． ． ． ．

19．已知向量，且，则m=(  )

A．−8 ．−6

C．6 ．8

二、填空题

20．若点在三角形的边上，且，则的值为__________.

21．已知，，且，则向量与向量的夹角是________.

22．已知在Rt△ABC中，AC⊥BC，，若B、C、D三点共线，则m+n＝_____.

23．中，，，则的取值范围是__________，的取值范围是__________.

24．已知向量，若向量，则向量在向量方向上的投影是_____．

25．已知，，则在方向上的投影为______.

26．设向量，，其中，则的最小值为__________．

27．设向量，满足，，则___________

28．已知,则的最大值为_________________.

三、解答题

29．已知以为焦点的抛物线过点，直线与交于，两点，为中点，且.

（1）当时，求点的坐标；

（2）当时，求直线的方程.

30．已知，对于任意点，点关于点的对称点为点，点关于点的对称点为点.

（1）用，表示向量；

（2）设，求与的夹角的取值范围.

参

1．C

直接根据向量数量积的坐标表示即可得出结果.

【详解】

∵，

∴，

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了平面向量数量积的坐标表示，属于基础题.

2．A

利用向量平行的坐标表示直接求解即可.

【详解】

∵向量，，，

∴，解得，

∴的值为，

故选：A.

【点睛】

本题主要考查向量平行的坐标表示，属于基础题.

3．D

由与互相垂直得,再代入求解即可.

【详解】

由题,即.故 .

故选：D

【点睛】

本题主要考查了空间向量的基本运算与垂直的运用,属于基础题型.

4．D

【解析】

【分析】

将用与进行表示，代入可得答案.

【详解】

解：由题意得：

,

故选：D.

【点睛】

本题主要考查平面向量的基本定理及平面向量的数量积，相对不难.

5．B

利用的意义，即方向上的单位向量，再根据充分条件与必要条件的定义，即可求得答案.

【详解】

由可知方向相同，，表示方向上的单位向量，所以成立；反之不成立.

故选：B.

【点睛】

本题考查单位向量的概念、向量共线、简易逻辑知识，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意向量的方向.

6．C

【解析】

  （ 时等号成立），即 的最小值为 ,  故选C.

【易错点晴】本题主要考查平面向量的基本运算以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.

7．B

根据相互垂直的向量数量积为零，求出与的夹角.

【详解】

由题有，

即，

故，

因为，所以.

故选：B.

【点睛】

本题考查了向量的数量积运算，向量夹角的求解，属于基础题.

8．A

根据向量垂直关系和数量积运算公式，可得关于k的方程，解得.

【详解】

由可设，则.

因为，所以.

故选：A.

【点睛】

本题考查平面向量数量积及其运算，同时考查向量垂直关系的运算，属于简单题.

9．D

把向量的模用向量的数量积表示出来，由数量积的定义求解．

【详解】

，又，

∴，解得，

故选：

【点睛】

本题考查求向量模，掌握数量积的定义和性质是解题关键．

10．B

由A、B、C三点共线和对数的运算性质，可得，再结合三角函数的基本关系式，求得，即可求解.

【详解】

由题意，向量，若A、B、C三点共线，

根据平面向量的基本定理，可得，即，

即，可得，且，

又由，解得，

所以.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了向量的共线定理，以及同角三角函数的基本关系式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

11．A

由向量的运算法则，可得，，结合向量的数量积的运算，即可求解，得到答案.

【详解】

由向量的运算法则，可得，

，

又由，，

所以

.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的基本定理，以及向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

12．A

根据椭圆的离心率，求出的值，得到椭圆的标准方程，然后根据，结合，得到的坐标表示，得到关于的函数，结合的范围，得到答案.

【详解】

椭圆的，

其离心率为，所以，所以，

所以，所以椭圆标准方程为，

设，，

则

因为，所以，

所以

所以是关于的二次函数，开口向下，对称轴为，

所以当时，取得最大值为

当时，取得最小值为，

所以.

故选：A.

【点睛】

本题考查根据离心率求椭圆的标准方程，向量数量积的坐标表示，二次函数求值域，属于中档题.

13．C

根据已知得到的坐标，然后根据，得到关于，的方程组，从而得到答案.

【详解】

向量，，

所以，

因为，，

所以，解得或

所以的值为或.

故选：C.

【点睛】

本题考查根据向量平行求参数的值，根据向量的模长求参数的值，属于简单题.

14．D

构造符合题意的特殊三角形（例如直角三角形），然后利用平面向量的线性运算法则进行计算即可得解．

【详解】

解：如图所示的，其中角为直角，则垂心与重合，

为的外心，，即为斜边的中点，

又为中点，，

为中点，

．

故选：．

【点睛】

本题考查平面向量的线性运算，以及三角形的三心问题，同时考查学生分析问题的能力和推理论证能力．

15．D

先建系, 设,

再结合平面向量数量积的坐标及运算性质,将，的夹角最大转化为直线与抛物线相切,利用求出,即可,即可解得所求.

【详解】

设,

因为,所以,即,为点的轨迹方程.

由上图易知,当直线与抛物线相切时,的夹角最大.

令,

由消去得.

所以,即点或时，即或时，的夹角最大.

此时，.

故选:.

【点睛】

本题考查平面向量数量积的坐标运算,考查转化与化归思想, ,将，的夹角最大转化为直线与抛物线相切,考查数形结合的解题思想,难度一般.

16．C

将用，表示出来，根据是重心，即可列方程求得参数的值.

【详解】

因为是的重心，所以，解得.

故选：C.

【点睛】

本题考查向量的线性运算，涉及三角形重心的向量表示，属基础题.

17．C

利用向量投影公式，结合向量数量积的运算，求得在方向上的投影.

【详解】

在方向上的投影为.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查向量投影的计算，属于基础题.

18．D

【解析】

【分析】

利用向量垂直关系，可得，然后根据向量夹角公式，可得结果.

【详解】

由，所以

则，又，

所以，由

则，

又，所以

故选：D

【点睛】

本题考查向量的垂直关系以及向量的夹角公式，掌握公式，细心计算，属基础题.

19．D

由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．

【详解】

∵，又，

∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．

故选D．

【点睛】

本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．

20．

根据得到，再由，根据平面向量的基本定理，求得的值，代入即可求解.

【详解】

如图所示，由，可得，

又由，所以，所以，

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记向量的运算法则，以及平面向量的基本定理是解答的关键.着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

21．

根据得到，再带入夹角公式即可.

【详解】

因为，所以.

即，，.

.所以夹角是.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查向量的夹角公式，熟练掌握夹角公式为解题的关键，属于简单题。

22．0或3

由得到坐标，再由AC⊥BC，B、C、D三点共线的向量表示，得到等量关系，即得解.

【详解】

由于AC⊥BC，故

或

若B、C、D三点共线，则

或4

故：m+n＝0或3

【点睛】

本题考查了向量垂直，共线的坐标表示，考查了学生概念理解，转化划归，数算的能力，属于中档题.

23． 

根据题意利用正弦定理可建立与角B的关系，求出B的范围即可得范围，利用向量数量积运算及正弦定理进行边角转化，转化为只与角B有关的关系式，根据B的范围即可求解．

【详解】

在中，，，

则，

由正弦定理可得：，

，

由A+B+C=π，可得3B+C=π，即，

又角B为三角形内角，

所以，，

所以，

，

由正弦定理可得：

，

所以可得，

故答案为：，.

【点睛】

本题考查正弦定理的应用，涉及三角形边角转化，和差公式、二倍角公式，向量的数量及运算等知识，属于中等题。

24．．

向量在向量方向上的投影，计算即可得出结论．

【详解】

向量在向量方向上的投影．

故答案为：．

【点睛】

本题考查向量数量积的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意投影是有正负的．

25．

利用在方向上的投影为计算即可

【详解】

设与的夹角为，因为，

所以在方向上的投影为

故答案为：

【点睛】

本题考查的是坐标形式下向量投影的计算，较简单.

26．

求出的坐标，代入向量的数量积公式得出关于的函数，然后根据二次函数的性质得出的最小值即可.

【详解】

，

，

，

当时，取得最小值.

故答案为：.

【点睛】

本题考查平面向量数量积的运算，考查计算能力，属于常考题.

27．1

将两个已知条件两边平方后相减，可求得两个向量的数量积.

【详解】

依题意得，两式相减得.

【点睛】

本小题主要考查向量模的运算，考查完全平方公式以及化简求值能力，属于基础题.

28．

已知是平面内两个互相垂直向量，不妨设， ，

化简，根据关系式，求最大值．

【详解】

已知是平面内两个互相垂直的向量，不妨设，

令，

则，

它表示以为圆心，为半径的圆，

可知最大值是到原点的距离加上半径，

．

故答案为：．

【点睛】

本题考查平面向量数量积的运算，向量的模的几何意义，圆的性质，是中档题．

29．（1）；（2）.

（1）将代入抛物线方程，求得的值，根据向量的坐标运算，即可求得的值；

（2）方法一：根据向量的坐标运算，求得的纵坐标，利用抛物线的“点差法”求得直线的斜率，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得直线的方程；

方法二：设直线的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理，中点坐标公式，及向量的坐标运算，即可求得直线的方程．

【详解】

解：（1）将代入抛物线方程，得，

所以的方程为，焦点，

设，，当时，，可得．

（2）方法一：设，，，，，，

由．可得，，，所以，

所以直线的斜率存在且斜率，

设直线的方程为，联立，消去，

整理得，

△，可得，

则，，，

所以，

解得，（舍，

所以直线的方程为．

方法二：设直线的方程为，

设，，，，，，

联立方程组，消去，

整理得，△，

则，，

则，

则，，由．

得，，，所以，

所以直线的方程为，

由△，可得，

由，得，

所以，

解得或，（舍去）

所以直线的方程为．

【点睛】

本题以直线与抛物线为载体，考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，向量的数量积运算，考查学生的逻辑推理，数算等数学核心素养及思辨能力，属于中档题．

30．（1）；（2）

（1）为的中点，为的中点，可得，即可得出答案；（2）由，可得.结合（1）可得，即，从而得到，进而可求出夹角的取值范围.

【详解】

（1）依题意，为的中点，为的中点，所以.

所以.

（2）因为，所以.由（1）得，

所以，所以，所以.

因为，所以.因为，所以.

【点睛】

本题考查了平面向量的线性运算，考查了向量的应用，属于中档题.