离散性随机变量的数学期望

2.3.1离散性随机变量的数学期望

编制单位：海岳中学   编制人：孙传芝     审核人：王利红   编号

学习目标：

1：了解离散型随机变量的期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望．

2：理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，以及“若ξB（n,p），则Eξ=np”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。

重点难点：离散型随机变量的均值或期望的概念；根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望

知识链接：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示

2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量

 3. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…，

ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表

ξ	x1	x2	…	xi	…
P	P1	P2	…	Pi	…

为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 

4. 分布列的两个性质： ⑴Pi≥0，i＝1，2，…； ⑵P1+P2+…=1．

5.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是

，（k＝0,1,2,…，n，）．

于是得到随机变量ξ的概率分布如下：

ξ	0	1	…	k	…	n
P			…		…

称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记＝b(k；n，p)．

6. 离散型随机变量的几何分布：在重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“”表示在第k次重复试验时事件第一次发生.如果把k次试验时事件A发生记为、事件A不发生记为，P()=p，P()=q(q=1-p)，那么

（k＝0,1,2,…， ）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：

ξ	1	2	3	…	k	…
P				…		…

称这样的随机变量ξ服从几何分布

记作g(k，p)= ，其中k＝0,1,2,…， ．

学习过程：

一．课内探究

根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数ξ的分布列如下

ξ	4	5	6	7	8	9	10
P	0.02	0.04	0.06	0.09	0.28	0.29	0.22

在n次射击之前，可以根据这个分布列估计n次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或期望 

根据射手射击所得环数ξ的分布列，

我们可以估计，在n次射击中，预计大约有　　

　　次得4环；

　　　　次得5环；

…………

　　次得10环．

故在n次射击的总环数大约为

，

从而，预计n次射击的平均环数约为．

这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．

对于任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布列，即已知各个（i=0，1，2，…，10），我们可以同样预计他任意n次射击的平均环数:

…．

1.均值或数学期望:  一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

ξ	x1	x2	…	xn	…
P	p1	p2	…	pn	…

则称 ……  为ξ的均值或数学期望，简称期望．

　　2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 

3. 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 

4. 均值或期望的一个性质:若(a、b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为

ξ	x1	x2	…	xn	…
η			…		…
P	p1	p2	…	pn	…

于是……

       ＝……)……)

       ＝，

由此，我们得到了期望的一个性质:

5.若ξB（n,p），则Eξ=np 

证明如下：

∵　，

∴　0×＋1×＋2×＋…＋k×＋…＋n×．

又∵  ，

  ∴  ＋＋…＋＋…＋．故　　若ξ～B(n，p)，则np．

二．典型例题

例1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分的期望

变式：.随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数的期望

例2. 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分 学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望 

变式：.有一批数量很大的产品，其次品率是15%，对这批产品进行抽查，每次抽取1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数不超过10次求抽查次数的期望（结果保留三个有效数字）

三．小结反思

四．当堂检测

1. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以表示取出球的最大号码，则（      ）

A．4；　　B．5；　　C．4.5；　　D．4.75

2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求

⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望；

⑵他罚球2次的得分η的数学期望；

⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望．

3．设有m升水，其中含有大肠杆菌n个．今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为ξ，求ξ的数学期望．

五．课后巩固

1.一袋子里装有大小相同的3个红球和两个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是          （用数字作答）

2.袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用表示得分数

①求的概率分布列         ②求的数学期望

3.学校新进了三台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工作，事先进行试验，已知各设备产生故障的概率分别为p1、p2、p3，求试验中三台投影仪产生故障的数学期望

4.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，含红球个数的数学期望是      

5.  、两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，队队员是，队队员是，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：

对阵队员	A队队员胜的概率	B队队员胜的概率
A1对B1
A2对B2
A3对B3

现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设队，队最后所得分分别为，

（1）求，的概率分布；     （2）求，

六．学习后记

当堂检测答案

答案：C  

解：⑴因为，，所以

1×＋0×

⑵η的概率分布为

η	0	1	2
P

所以    0×＋1×＋2×＝1.4．

    ⑶ξ的概率分布为

ξ	０	１	2	3
P

　　　所以  0×＋1×＋2×＝2.1.

分析：任取1升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率是，事件“ξ=k”发生，即n个大肠杆菌中恰有k个在此升水中，由n次重复实验中事件A（在此升水中含一个大肠杆菌）恰好发生k次的概率计算方法可求出P(ξ=k),进而可求Eξ.

　　解：记事件A：“在所取的1升水中含一个大肠杆菌”，则P(A)=．

　　　　∴　P(ξ=k)=Pn(k)=C)k(1－)n－k（k=0,1,2,….,n）．

　　∴　ξ～B(n,)，故　Eξ =n×=