高数2 期末试题

考试试卷A参及评分标准

开课单位      数学系     

任课老师、评卷人    林小苹   谢长珍   任玉杰    熊成继    

一、基本计算题（本大题共有4小题，每小题7分，共28分）。

1、计算对弧长的曲线积分，其中是点到点的直线段。

解：曲线的参数方程为。            （2分）

于是，代入得                    （2分）

                            （2分）

                                                   （1分）

2、求曲线积分，其中是圆周逆时针方向的一周。

解：注意曲线的方向，利用Green公式得

              （4分）

其中为圆，再用极坐标计算二重积分得

。                                      （3分）

注：此题也可象第1小题那样用参数方程，代入计算，分值也是2、2、2、1。

3、机械部件为空间曲面，它的面密度。求这个部件的总质量。

解：质量                                        （2分）

空间曲面在平面上的投影              (1分)

为，面积微元

，代入得               （1分）

             （2分）

。                                            （1分）

4、设为柱面被平面及所截得的第一卦限内的部分，前侧（轴轴正向）为正，计算对坐标的曲面积分。

解：除这个柱面外，再加上四个平面：、、、，

它们围成立体，它的体积为。记它的外表面为，外侧为正。（2分）

利用Gauss公式得

。                  （2分）

注意到上式左边可分成五个面上的积分，四个平面中只有上积

分不为零，等于。                                      （2分） 

因此原积分等于。                                      （1分）

二、讨论题(本大题共有3小题, 每小题6分, 共18分)。

1、微分可能恰好是某个二元函数的全微分吗？如果是的话，求一个这样的函数并使得。

解：由知这个微分是全微分。                      （3分）

于是。 （3分）

2、无穷级数是否收敛？如果收敛，它是条件收敛还是绝对收敛？

解：在范围内，是正的增函数。因此原级数是交错级数，并且递减至零。由Leibniz判别法，原级数收敛。       （3分）

另一方面，因为发散，于是知原级数取绝对值后得到的级数发散。故原级数条件收敛。                  （3分）

3、设是以为周期的函数，当时，。又设是的以为周期的Fourier级数的和函数。试写出在上的表达式，并说明理由。

解：由Dirichlet定理，函数的Fourier级数在连续点收敛到原函数的值，在第一类间断点处收敛到左右极限和的一半。                        （3分）

于是  。                               （3分）

三、解答下列各题（本大题共有3小题, 每小题8分, 共24分）。

1、设有向量场，求它的散度和旋度，并计算这个向量场流向圆柱体的全表面外侧的通量。

解：                                     （2分） 

                                  （2分）

通量             (4分)

2、求半径为，中心角为的均匀圆弧（线密度）的质心。

解：设圆弧是圆上的一段，关于轴对称。用参数方程表达为

。                          （3分）

由对称性得质心纵坐标。                               （1分）

。           （4分）

3、求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数，并说明在该点处沿什么方向的方向导数最大，最大方向导数是多少。

解：求偏得:。      （2分）

单位方向向量为，得方向导数为。              （2分）

梯度为。                                  （2分） 

沿方向时，方向导数得最大值为。             （2分）

四、在内把函数展开成以为周期的正弦级数。（本题10分）

解：将延拓为周期为2，区间上的奇函数，           （2分）

显然，展开成正弦级数时，。            （2分）

。            （4分）

于是展开式为,              （2分） 

五、将函数展开成的幂级数。（本题8分，可利用公式）

解：         (4分)

              (3分)

。                                              （1分）

六、确定幂级数的收敛域，并求它的和函数。（本题8分）

解：收敛半径为，当时，成为调和级数，发散；当时，

得交错级数，易知它收敛。因此收敛域为。               （2分）

和函数。                        （2分）

。                           （2分）

于是。                       （2分）

或：和函数                             （2分）

                      （2分）

于是。                     （2分）

七、设级数收敛，证明级数绝对收敛。(本题4分)

证明：由不等式得。                （2分）

由于级数及收敛，所以级数也收敛。由比较判

别法，原级数取绝对值后得到的级数收敛，即原级数绝对收敛。（2分）