高中数学总复习-圆锥曲线基础知识

复习内容：高中数学第八章-圆锥曲线方程

复习范围：第八章

I. 基础知识要点

一、椭圆方程.

1. 椭圆方程的第一定义：

椭圆的标准方程：

. 中心在原点，焦点在x轴上：. 

. 中心在原点，焦点在轴上：.          

一般方程：.椭圆的标准参数方程：的参数方程为（一象限应是属于）.

顶点：或.

轴：对称轴：x轴，轴；长轴长，短轴长.

③焦点： 或.

焦距：.

准线：或.

离心率：.

焦点半径：

. 设为椭圆上的一点，为左、右焦点，则

由椭圆方程的第二定义可以推出.

.设为椭圆上的一点，为上、下焦点，则

由椭圆方程的第二定义可以推出.

由椭圆第二定义可知：归结起来为“左加右减”.

注意：椭圆参数方程的推导：得方程的轨迹为椭圆. 

通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：和

共离心率的椭圆系的方程：椭圆的离心率是

，方程是大于0的参数，的离心率也是我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.

（4）若P是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为（用余弦定理与可得）. 若是双曲线，则面积为.

二、双曲线方程.

1. 双曲线的第一定义：

双曲线标准方程：. 一般方程：.

①. 焦点在x轴上：  

顶点：  焦点：   准线方程渐近线方程：或

. 焦点在轴上：顶点：.  焦点：. 准线方程：.  渐近线方程：或，参数方程：或.

②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c.  离心率.   准线距（两准线的距离）；通径.  参数关系.  焦点半径公式：对于双曲线方程（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）

 “长加短减”原则：

 构成满足  （与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）

等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.

共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.

共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.

例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程？

解：令双曲线的方程为：，代入得.

直线与双曲线的位置关系：

区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；

区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；

区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；

区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；

区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.

小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.

（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.

若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n. 

简证：  =.

常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.

三、抛物线方程.

1. 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：

②则焦点半径;则焦点半径为.

通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.

（或）的参数方程为（或）（为参数）.

四、圆锥曲线的统一定义..

圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线的距离之比为常数的点的轨迹.

当时，轨迹为椭圆；

当时，轨迹为抛物线；

当时，轨迹为双曲线；

当时，轨迹为圆（，当时）.