2021年高考数学一模试卷 (1)(含答案解析)

一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1.已知集合，2，，则

A. 0， B. 0，2， C.  D. 

2.如果复数为纯虚数，则

A.  B. 0 C. 1 D. 2

3.在等比数列中，已知，，则     

A. 9 B. 9或 C. 27 D. 27或

4.设双曲线的渐近线方程是，则其离心率是

A. 或 B.  C.  D. 或

5.已知R，条件p：，条件，则p是q的

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件

6.设，且，则    

A.  B.  C.  D. 

7.两圆和外切，则实数a的值为  

A. 0 B. ±2或0

C. ±2 D. 2

8.设，那么的值为

A.  B.  C.  D. 

9.若函数的图象如图所示，则a的取值范围是

A. 

B. 

C. 

D. 

10.已知集合，如果，那么a的值为

A.  B.  C. 1 D. 3

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11.若，则________．

12.若，则______．

13.设x，y满足约束条件，则的最小值为_______．

14.已知直线l与圆交于两点、若弦的中点坐标为，则直线l的方程是______ ．

15.一个不透明的袋子里装有外形和质地完全一样的5个白球，3个红球，2个黄球，将它们充分混合后，摸得一个白球计2分，摸得一个红球记3分，摸得一个黄球计4分，若用随机变量表示随机摸一个球的得分，则随机变量的数学期望的值是______分．

16.边长为2的等边中，点M为BC边上的一个动点，则______．

三、多空题（本大题共1小题，共6.0分）

17.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为      ，最长棱的长度为      ．

18.已知在锐角中，，，，求B和边b．

19.如图，在三棱锥中，，．

证明：；

求CD与平面ABD所成角的正弦值．

20.已知数列的前n项和，数列满足，且．

Ⅰ求，；

Ⅱ设为数列的前n项和，求，并求满足时n的最大值．

21.已知椭圆过点，离心率 

求椭圆的方程：

若直线与椭圆有两个交点，求出k的取值范围．

22.已知函数

求函数的最大值；

令，若既有极大值，又有极小值，求实数a的范围。

【答案与解析】

1.答案：A

解析：

利用并集定义直接求解．

本题考查并集的求法，考查集合的并集运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

解：集合，2，，

0，．

故选：A．

2.答案：D

解析：解：由题意知，，

为纯虚数，

，解得．

故选D．

对所给的复数分子和分母同乘以，再进行化简并整理出实部和虚部，再令虚部为零求出a的值．

本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，纯复数的定义的应用，两个复数相除时需要分子和分母同时除以分母的共轭复数进行化简．

3.答案：A

解析：

解：根据题意，等比数列中，其公比为q，

已知，，则，解可得，

则；

故选：A．

根据题意，由等比数列的通项公式可得，解可得q的值，又由，计算即可得答案．

本题考查等比数列的通项公式，关键是求出该数列的公比．

4.答案：A

解析：解：当焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是，可得，

则该双曲线的离心率为，

当焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是，可得，

则该双曲线的离心率为，

故选：A．

由题意可得可得，再由曲线的离心率的公式运算求得结果．

本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于中档题．

5.答案：C

解析：

本题主要考查不等式的解法，充分条件和必要条件的判定等知识，属于基础题．

分别求解所给的两个不等式，得到其对应的集合，然后确定充分性和必要性即可．

解：求解二次不等式，可得，则，

求解分式不等式可得，则，

因为，所以p是q的充分必要条件．

故选：C．

6.答案：B

解析：解：对于A：，则，故A错误；

对于B：由于，所以，故B正确；

对于C：当，时，不等式不成立，故C错误；

对于D：由于，所以，故D错误；

故选：B．

直接利用不等式的性质，赋值法的应用判断A、B、C、D的结论．

本题考查的知识要点：不等式的性质，赋值法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

7.答案：C

解析：圆心分别为和，半径分别为1和5，两圆外切时有，．

8.答案：B

解析：

本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于中档题．

令，可得，再令可得解得 和的值，结合，即可求得要求式子的值．

解：令，可得 ，

再令可得，

两式相加除以2可得，

两式相减除以2可得，

结合，故，

故选B．

9.答案：C

解析：解：函数，

，令得：

由图可知，函数有两个极值点，

故方程：有实数解，．

又从图象中得出，当时，，

，

故

故选：C．

结合函数的图象并利用导函数的性质得，再结合图象在第一象限内的性质得出，即可解答．

本题考查了函数的图象、函数的极值与导数的联系，函数值与对应自变量取值范围的关系，解答关键是需要形数结合解题．

10.答案：A

解析：解：，且，

，

解得：．

故选：A．

根据集合，且，知道1满足等式，解此方程即可求得实数a的值．

此题考查元素与集合之间的关系，以及分式不等式的求解，对题意的正确理解和转化是解决此题的关键，属基础题．

11.答案：

解析：

本题考查对数运算，属于基础题．

由换底公式求解即可．

解： 因为，

所以，

所以．

故答案为．

12.答案：

解析：

本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．

利用同角三角函数的基本关系可得，由此解得的值．

解：，

，，

解得，或舍去，

故答案为：．

13.答案：

解析：

本题主要考查线性规划的应用，属于中档题．

作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义求解最小值．

解：作出不等式组对应的平面区域，

z的几何意义为区域内的点到定点的距离的平方，

则由图象可知，当所表示的圆与直线相切时，距离最小，

即到直线的距离，所以，

故答案为．

14.答案：

解析：解：由圆，得到圆心坐标为，

过点的直径所在直线方程的斜率为，

直线l方程的斜率为，又直线l过，

则直线l的方程为，即．

故答案为： 

由圆的方程找出圆心坐标，由垂径定理的逆定理得到直线l与过弦的中点的直径垂直，故由圆心和弦中点坐标求出该直径所在直线方程的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为，求出直线l的斜率，由求出的斜率及弦中点的坐标，即可得到直线l的方程．

此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，直线斜率的求法，两直线垂直时斜率满足的关系，以及直线的点斜式方程，其中由垂径定理的逆定理得到直线l与过弦的中点的直径垂直是解本题的关键．

15.答案：

解析：解：随机变量的取值为2，3，4由题意

，， 

随机变量的均值为 

故答案为：；

随机变量的取值为2，3，4，由等可能事件计算出相应的概率，利用公式求均值即可

本题考查离散型随机变量的期望与方差，求解本题的关键是确定变量的取值以及用等可能事件的概率计算出相应的概率，熟练掌握求期望的公式也是解题的关键．

16.答案：6

解析：解：设BC中点为D，

则

．

故答案为：6．

设BC中点为D，则，由此能求出结果．

本题考查与向量的数量积的求法，考查向量加法定理、向量的坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

17.答案：

解析：

根据三视图可得物体的直观图，结合图形可得几何体的体积以及最长的棱为PA，根据勾股定理求出即可．

本题考查了三视图的问题，关键画出物体的直观图，属于基础题．

解：由三视图可得直观图，几何体的体积为：．

再四棱锥中，

最长的棱为PA，

即 ，

故答案为：；．

18.答案：解：在锐角中，由正弦定理得：，即，

解得，，．

．

解析：在锐角中，由正弦定理求得，可得，再由三角形内角和公式求得B，利用正弦定理求得b的值．

本题主要考查正弦定理、根据三角函数的值求角，属于基础题．

19.答案：证明：在三棱锥中，

，，．

≌，，

取CD的中点E，连结AE，BE，

，，

，平面ABE，

平面ABE，．

解：在中，根据余弦定理得：

，

，

，，，

，，

设CD到平面ABD的距离为h，CD与平面ABD所成的角为，

，，

，

．

与平面ABD所成角的正弦值为．

解析：推导出≌，从而，取CD的中点E，连结AE，BE，从而，，进而平面ABE，由此能证明．

由余弦定理求出，从而，设CD到平面ABD的距离为h，CD与平面ABD所成的角为，由，求出，由此能求出CD与平面ABD所成角的正弦值．

本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．

20.答案：解：Ⅰ由，得

 ，

两式相减得，，

，则．

由，

．

．

当时，，

由适合上式，

；

Ⅱ由Ⅰ知，，

 ．

 ．

得，

．

．

．

，即为递增数列．

又，．

时，n的最大值3．

解析：本题是数列与不等式的综合题，考查了数列递推式，训练了利用数列的前n项和求通项公式，考查了错位相减法求数列的和，求解Ⅱ的关键是说明数列为递增数列，是中高档题．

Ⅰ在已知数列递推式中取n为得另一递推式，两式作差后整理得到，则数列的通项公式可求，把代入，整理后求得数列的通项公式；

Ⅱ由错位相减法求得数列的前n项和，然后利用作差法说明为递增数列，通过求解，的值得答案．

21.答案：解：把点代入椭圆，

得，由及，

可得，．

则椭圆的方程为：；

联立直线方程和椭圆方程，

化简得， 

根据题意，得，

解得或，

则k的取值范围是．

解析：代入点得到关于a，b的方程，由离心率公式和a，b，c的关系，解出a，b，得到椭圆方程；

联立直线方程和椭圆方程，消去y，得到关于x的方程，由判别式大于0，即可得到k的范围．

本题考查椭圆的方程和性质，考查联立椭圆方程和直线方程，消去一个未知数，运用判别式大于0，属于基础题．

22.答案：证明：，

在上，，函数单调递增，

在上，，函数单调递减，

当时，．

 ，

，

既有极大值，又有极小值，

等价于在区间上有两个不相等的实数根．

即

解得，

所以实数a的范围．

解析：本题考查利用导数研究闭区间上函数的最值及极值，属于中档题．

对函数求导，研究函数的单调性，从而可得函数的最值；

条件等价于在区间上有两个不相等的实数根，列关于a的不等式，求解即可．