八年级数学竞赛例题专题讲解7：分式的化简与求值(含答案)

阅读与思考

给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值．而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化简后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略．

    解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标．又要抓住条件，既要根据目标变换条件．又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧:

1．恰当引入参数；

2．取倒数或利用倒数关系；

3．拆项变形或拆分变形；

4．整体代入；

5．利用比例性质等．

例题与求解

【例l】 已知，则代数式的值为           ．

                                              （“希望杯”邀请赛试题）

  解题思路：目前不能求出的值，但可以求出，需要对所求代数式变形含“”．

【例2】  已知一列数且，，

，则为（     ）

A．8          B．832         C．1168          D．1944   

                                                                   （五城市联赛试题）

  解题思路：引入参数，把用的代数式表示，这是解决等比问题的基本思路．

【例3】 ．

求．

                                                                      （宣州竞赛试题）

    解题思路：观察发现，所求代数式是关于的代数式，而条件可以拆成的等式，因此很自然的想到用换元法来简化解题过程．

【例4】 已知求的值．

        （上海市竞赛试题）

    解题思路：注意到联立等式得到的方程组是一个复杂的三元一次方程组，考虑取倒数，将方程组化为简单的形式．

【例5】 不等于0的三个正整数满足，求证：中至少有两个互为相反数．

    解题思路：中至少有两个互为相反数，即要证明．

    （北京市竞赛试题）

【例6】 已知为正整数，满足如下两个条件：①

   ②．求证：以为三边长可以构成一个直角三角形．

      解题思路：本题熟记勾股定理的公式即可解答．

（全国初中数赛试题）

能力训练

1．若，则的值是              ．

（“希望杯”邀请赛试题）

2．已知，则               ．

（广东竞赛试题）

3．若且，则

   的值为          ．

（“缙云杯”竞赛试题）

4．已知，则              ．

5．如果，那么（      ）．

 A．1              B．2             C．              D．

（“新世纪杯”竞赛试题）

6．设有理数都不为0，且，则的

   值为（     ）．

 A．正数          B．负数          C．零             D．不能确定

7．已知，则的值为（      ）．

 A．0            B．1              C．2              D．不能确定

8．已知，则的值为（       ）

A．1        B．        C．        D．

9．设，求的值．

10．已知其中互不相等，求证．

（天津市竞赛试题）

11．设满足，

求证．（为自然数）

（波兰竞赛试题）

12．三角形三边长分别为．

（1）若，求证：这个三角形是等腰三角形；

（2）若，判断这个三角形的形状并证明．

13．已知，求的值．

        （“华杯赛”试题）

14．解下列方程（组）：

（1）；

        （江苏省竞赛试题）

（2）；

（“五羊杯”竞赛试题）

（3）．

         （北京市竞赛试题）

B级

1．设满足，，若，

，则            ．

2．若，且，则           ．

3．设均为非零数，且，则          ．

4．已知满足，则的值为           ．

5．设是三个互不相同的正数，已知，那么有（      ）．

A．        B．        C．         D．

6．如果，，那么的值为（      ）．

A．3              B．8               C．16             D．20

7．已知，则代数式的值为（     ）．

   A．1996             B．1997             C．1998            D．19999

8．若，则的值为（       ）．

  A．               B．              C．5                 D．6

（全国初中数赛试题）

9．已知非零实数满足．

（1）求证：；

（2）求的值．

        （北京市竞赛试题）

10．已知，且．求的值．

（北京市竞赛试题）

11．完成同一件工作，甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的倍，乙单独做所需时间为甲、丙两人合做所需时间的倍；丙单独做所需时间为甲、乙两人合做所需时间的倍，

  求证：．

（天津市竞赛试题）

12．设，当时，

求证：．

（天津市竞赛试题）

13．某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼（扶梯行驶，两人也走梯）．如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍．已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部．

（1）扶梯露在外面的部分有多少级？

（2）现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两人各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼（不考虑扶梯与楼梯间的距离）．求男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶？ 

（江苏省竞赛试题）