八上.期末专题复习特殊三角形

一、知识整理

(一)等腰三角形的性质与判定

1.性质   (1)：等腰三角形的两腰相等、两个底角相等。

(2)：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

2.判定    定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。

判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形

 3.等边三角形:      性质:三边相等,三内角都是60度

   判定    1 . 三个角都相等的三角形是等边三角形。

           2 . 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

   (二)直角三角形的性质与判定

性质：  1 在直角三角形中，两个锐角_______。

2、直角三角形斜边上的中线等于________

3、在直角三角形中，如果一个锐角等于 ____度，那么它所对的直角边等于________的一半。

2、直角三角形_____________的平方和等于_______的平方。如果用字母a,b和c分别表示直角三角形的两条直角边和 斜边，那么_____+ _____=_____。

判定

1、定义

2、两内角______的三角形是直角三角形.

3、如果三角形中_______两边的平方和等于______一边的平方，那么这个三角形是直角三角形，________所对的角是直角。

  (三)等腰三角形性质与判定的应用

（1）计算角的度数

　　利用等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理及推论计算角的度数，是等腰三角形性质的重要应用。

    ①已知角的度数，求其它角的度数

    ②已知条件中有较多的等腰三角形（此时往往设法用未知数表示图中的角，从中得到含这些未知数的方程或方程组）

（2）证明线段或角相等

(四)以等腰三角形为条件时的常用辅助线:

  如图：若AB=AC

①作AD⊥BC于D，必有结论:

      ∠1=∠2，BD=DC

②若BD=DC，连结AD，必有结论：

      ∠1=∠2，AD⊥BC

③作AD平分∠BAC必有结论：

      AD⊥BC，BD=DC

    作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作AD⊥BC，使∠1=∠2.

（五）直角三角形全等的判定方法：

ASA, AAS、SAS、SSS、 HL

二、典型例题

1．如图2，已知∠BAC=30°，AD=BD，AB⊥BC，AD⊥DB，BC=4，

求（1）AD、AC、AB的长度。

（2）求四边形ADBC的面积。

3．如图，已知一个四边形的四条边AB，BC，CD和DA的长分别是3，4，13和12，其中∠B=90°，求这个四边形的面积。

4．如图，已知AB=AC，∠B=∠C，则BD=CD。请说明理由。

5．已知：如图1，正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM且交∠CBE的平分线于N。（1）请你说明MD=MN的理由。（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”，其他条件不变（如图2），则结论“MD=MN”还成立吗？不论成立与否，请说明你的理由。

特殊三角形：作业   

1．在△ABC中，AB=AC，∠C=β，则∠A=      

2．两条线段的长为3厘米和5厘米，当第三条线段的长为           厘米时，这三条线段就能组成一个直角三角形。

3．已知直角三角形的两条直角边长分别为3厘米和4厘米，则斜边上的中线是          ，斜边上的高线是       。

4．△ABC的与∠A相邻的外角为140°，要使△ABC是等腰三角形，则∠B=        

5．（1）如图1，已知AB⊥AC，AC⊥CD，垂足分别是A，C，AD=BC。由此可判定全等的两个三角形是△        和△         。

（2）如图2，已知BD⊥AE于B，C是BD上一点，且BC=BE，要使Rt△ABC≌Rt△DBE，应补充的条件是∠A=∠D或           或           或             。

（3）如图3，在△ABC中，AD⊥BC于D，AD与BE相交于H，且BH=AC，DH=DC，那么∠ABC=         度。

（4）如图4，点P是∠BAC内一点，且P到AC，AB的距离PE=PF，则△PEA≌△PFA的理由是            。

6．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（    ）

A、b2=a2-c2                     B、∠C=∠A-∠B 

C、∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5      D、a∶b∶c=12∶13∶5

7．下列命题错误的是   ……………………………………………………………  （      ）

A．等腰三角形两腰上的中线相等      

    B．等腰三角形两腰上的高相等

C．等腰三角形的中线与高重合         

D．等腰三角形顶角平分线上任一点到底边两端点的距离相等

8．如图，∠B=2∠C，AD平分∠BAC，AB=AE。试找出图中的等腰三角形，并说明理由。

10．在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4等于（     ）

A．  4        B.  5 

C．  6        D. 14 

11．如图，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上一点，∠1=∠2，AE=BC。

（1）请你说明∠DEC=90°的理由。

（2）设AD=a，AE=b，DE=c

请利用梯形ABCD面积的不同算法，说明勾股定理成立。

12．如图，点O为等边△ABC内一点，∠AOB=110º，∠BOC=135º。试问：

   （1）以OA、OB、OC为边，能否构成三角形？若能，请求出该三角形各内角的度数；若不能，请说明理由；  

   （2）如果∠AOB大小保持不变，那么当∠BOC等于多少度时，以OA、OB、OC为边的三角形是一个直角三角形？

13．如图，已知AC=5cm，BC=12cm，AC⊥BC，CD⊥AB于D，求线段CD和AD的长？

14．如图，直角三角形两条直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿AD折叠，使它落在斜边AB上，点C与点E重合。求CD的长。

4．如图所示，以△ABC的每一条边为边作三个正方形。你能得到什么结论？并说明理由。

（1）                                （2）