中考数学复习指导：《一元二次方程》知识点专题复习

一、考情分析

一元二次方程是初中数学的重要内容，在历年中考中均占有比较重要的地位．直接或间接考查本章内容的考题约占14～20分，分值比例在15%左右，近几年还有上升趋势．考查题型有填空题、选择题、解答题，基础题、中等题、难题均有涉及，对解一元二次方程、分式方程的考查在基础题和中等题中屡见不鲜，而以现实生产和生活为背景的实际型应用题又成了近几年中考查的热点．并且常与二次函数、解直角三角形、圆等知识综合命题作为中考压轴题．另外还常考查隐含条件（如二次项系数不为0，应用根与系数关系解题时，根的判别式要大于或等于0等）的掌握情况．

二、明确复习目标

根据课程标准的要求，本章学习结束，应达到以下目标：

1、了解一元二次方程的概念，会判断一个方程是否是一元二次方程．

2、掌握一元二次方程的四种解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法），能根据方程的特征，灵活选择方程的解法．

3、通过解方程，体会化归与转化的数学思想方法的应用，即把需要解决或较难解决的问题，通过适当的方法，把它化归和转化为已经解决或较容易解决的问题，从而使问题得以解决．

三、画画知识网络

四、清楚重点、难点与关键

重点：一元二次方程的解法；

难点：一元二次方程的应用；

关键：通过分析题意，从中提炼有用信息，确定问题中各量之间的数量关系，建立一元二次方程模型．

五、理理知识要点

（一）一元二次方程的有关概念

1．对于一元二次方程的定义理解应抓住其本质，也就是它必须同时满足这样的三个条件：（1）是整式方程；（2）只含一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。要注意一元二次方程中的“元”和“次”是对整理化简之后而言的，因此一个方程是否为一元二次方程应“形”、“神”兼备。如：是整式方程，化简后为应是一元二次方程，而不是三次方程。

2．一元二次方程的一般式：我们把叫做一元二次方程的一般式，其中、、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b分别叫做二次项系数、一次项系数。需要注意的是（1）“a≠0”是一般式的重要组成部分，不可遗漏；（2）方程的右边必须为0；（3）每一项及其系数都包括它本身的符号。

（二）一元二次方程的解法

1．直接开平方法：用此法可解形如、或可化为这种形式的一类方程，这种解法的优点是能迅速准确地求出方程的解，缺点是只适用于一些特殊的方程。

2．配方法：配方法是一种重要的数学思想方法，它的应用非常广泛，解方程只是它的一个具体应用。任何一个形如的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来求解的方程。实际上我们解一元二次方程时，一般是不用此法的，主要是要掌握这种配方的思想方法。

3．公式法：我们可以通过配方法推导出求一元二次方程的解的公式，称为求根公式。用公式的一般步骤：（1）把方程化成一般式；（2）求出的值，若≥0，将a、b、c的值代入求根公式，求出方程的根；若＜0，则原方程没有实数根。

4．因式分解法：当把一元二次方程的一边化为0，而另一边可以分解成两个一次因式的积时，就可以用因式分解法来解这个方程。要清楚使乘积ab=0的条件是a=0或b=0。如使方程x（x-3）=0的条件是x=0或x-3=0，x的两个值都可以使方程成立，所以方程x（x-3）=0有两个根。

（三）根的判别式及其应用

1．一元二次方程根的情况可以由的值来确定，因此我们把叫做一元二次方程根的判别式，用符号“△”表示。

（1）△＞0       方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0        方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0       方程没有实数根。

2．判别式的应用

（1）不解方程判定方程根的情况；（2）根据方程根的情况确定字母系数中字母的取值范围；（3）解与根有关的证明题。

（四）列方程解应用题

列方程解应用题实质是将实际问题转化为数学问题，然后通过数学问题的解决获得对实际问题的解决。列方程解应用题的关键是在理解题意、分析数量关系的基础上，正确找出应用题中数量间的相等关系。常见的类型有（1）生活类；（2）决策类；（3）市场营销类；（4）方案设计类；（5）开放与探索类等。解决问题的过程是从实际问题中获取必要的信息，通过分析、处理、加工有关信息，再转化为数学问题（即建模），然后解决这个问题，最后进行检验，回答原来的问题。

六、复习引路

1．配方法、公式法、分解因式法分别适用于解不同特点的方程，具体求解时，应在观察方程特点和综合考虑各种方法适用范围的基础上合理选择解方程的方法．

2．在用一元二次方程解决实际问题的过程中，要抓住问题的数学本质，尽量避免实际情境的干扰；同时要明确：数学问题与实际问题的区别．在用方程知识解决完实际问题后，一定要检验所求结果是否符合实际情况，对不适合实际情况的解一定要舍去；同时对适合实际情况的解绝对不能丢掉．

七、把握中考热点

1、考查一元二次方程概念问题

这类问题主要考查一元二次方程的定义及其一般形式．

例1、判断题：方程的二次项系数为３，一次项系５．（　　）

分析：要确定一元二次方程的各项及其系数，首先必须把方程化为一般化形式＋　ｂｘ＋ｃ＝０，然后再进行确定．因为化为一般化形式后是－５ｘ－２＝０，故二次项系数是３没错，但一次项系数是－５，而不是５，故判断结果为错．

2、考查一元二次方程的解法

解一元二次方程有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法，在具体运用中要注意根据方程特征灵活选用．

一元二次方程有四种解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法．具体解方程时，要根据题目的特点，选择适当的方法求解，一般顺序为：先特殊后一般，即直接开平方法因式分解法公式法，没有特别说明一般不采用配方法．

例2、解方程： 

分析：本题不是二元一次方程，但经过提公因式变形后，可利用一元二次方程的知识求解．

解：原方程变形得：，  ．   

∴  方程的根为：、、  ．

3、一元二次方程根的判别式

主要内容：

（1）有两个不相等的实数根；

（2）有两个相等的实数根；

（3）没有实数根．

主要应用：

（1）不解方程，判别一元二次方程根的情况；（2）已知一元二次方程根的情况，确定方程中某些字母的去值（范围）；（3）进行有关的证明．

例3．不解方程，判别方程5－7x＋5=0的根的情况是（     ）

（A）有两个相等的实数根            （B）有两个不相等的实数根 

（C）只有一个实数根                （D）没有实数根

分析：本题可用根的判别式直接求解．

解：因为；

所以该方程没有实数根．故选（D）．

4、一元二次方程根与系数的关系

如果一元二次方程有两个根为，

那么，反过来也成立．它的成立条件：①二次项系数不能为0；②方程根的判别式大于或等于0．主要应用：①验根；②已知方程中的一个根，求出另一根和方程中字母已知数；③不解方程，求两根的对称式的值；④已知方程两根，求作这个一元二次方程；⑤已知两数的和与积，求两数；⑥确定根的符号．

例4．已知关于x的方程 kx2-2 (k+1) x+k-1=0 有两个不相等的实数根，

(1) 求k的取值范围；

(2) 是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0 ？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

解：(1) ∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=[-2(k＋1)]2－4k(k-1)>0，且k≠0，解得k>-1，且k≠0 ．即k的取值范围是k>-1，且k≠0 ．

（2）假设存在实数k，使得方程的两个实数根x1 , x2的倒数和为0．

则x1 ，x2不为0，且，即，且，解得k=-1 ．

而k=-1 与方程有两个不相等实根的条件k>-1，且k≠0矛盾，

故使方程的两个实数根的倒数和为0的实数k不存在 ．

说明：解题时，（1）要注意二次项系数k≠0的条件，这也是同学们最容易忽略的地方；（2）要注意求出的k 要满足k>-1且k≠0的前提．

5、可化为一元二次方程的分式方程

解分式方程的基本思想是将分式方程化为整式方程，去分母法是一般方法．一般地，当分式方程中有含未知数的“相同代数式”或“倒数代数式”时，应运用换元法．但要注意：不论用何种方法，都要进行验根．

例5．用换元法解方程： 

解：设，那么，于是原方程变形为  ，

解这个方程，得， 

当时，，即，解这个方程，得

当时，，即

因为，所以，这个方程没有实数根        

经检验，都是原方程的根。原方程的根是    

6、考查二元二次方程组

主要考查二元二次方程组的解法及由解的情况确定参数的取值．

例6、方程组的实数解个数为（　　）

Ａ．0        Ｂ．1        Ｃ．2        Ｄ．4

分析：解二元二次方程组的基本思想是消元或降次，把二元二次方程组化为一元一次（或二次）方程或二元一次方程组．由第二个方程，得，把第一个方程代入，得，故ｘ＝０且ｙ＝０，但并不是原方程组的解，故原方程组无实数解，选Ａ．

如果采用一般的解法，消去ｘ，则可得，此时△＝１６－２４＜０，该方程没有实数根，从而原方程组无实数解．

注：确定二元二次方程组解的个数不能只看方程的表面特征就妄下结论，因为二元二次方程组解的情况有无解、唯一解、两个解、三个解和四个解等四种情况．

7、一元二次方程在实际中的应用

一元二次方程的应用常常以当今社会所关注的热点问题和焦点问题为素材，这类问题虽然贴近生活，却不拘一格．因此，平时热心关注社会、积累生活经验是学好本部分内容的一个前提，在较复杂的社会背景中，运用方程的思想，寻找等量关系式，列出方程，是解题的一个关键．

例7、黄冈百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天售出20件，每件赢利40元，为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加赢利，减少库存，经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么，平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上赢利1 200元，那么，每件童装应降价多少元？

误解：设每件童装应降价元，依题意，得，

整理，得．解得．

答：每件童状应降价10元或20元．

剖析：从表面上看，本题的解答天衣无缝，但本题要求在赢利相同的情况下，尽快减少库存，就是使童装尽快地销售．因为每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，则降价20元比降价10元卖的多，可尽快减少库存，故正确答案应为每件童装降价20元．

说明：随着市场经济的发展，经济决策型应用题逐渐成为各地中考题的新宠，这类应用题与实际生活密切相关，解题时一定要全面考虑题设条件，要对题意进行检验，使求解出来的根不仅适合方程，也得符合题意．

8、创新型问题

例8、先阅读，再填空解题：

(1)方程：x2-x-2=0 的根是：x1=-3， x2=4，则x1+x2=1，x1·x2=12；

(2)方程2x2-7x+3=0的根是：x1=， x2=3，则x1+x2=，x1·x2=；

(3)方程x2-3x+1=0的根是：x1=      ， x2=        ．则x1+x2=        ，x1·x2=         ；

根据以上（1)(2)(3）你能否猜出：

如果关于x的一元二次方程mx2+nx+p=0（m≠0且m、n、p为常数）的两根为x1、x2，那么x1+x2、x1、x2与系数m、n、p有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由．

分析：近几年来，以一元二次方程为背景的探索创新题不断涌现，这类问题形式新颖、富有趣味性，极好地考查了同学们的发散思维能力和开拓探究能力．本题难度不大，属中等题．

解：（3），，，．

猜想：，．

∵一元二次方程mx2+nx+p=0（m≠0且m、n、p为常数）的两实数根为：

∴，，

∴．

．