浙江省杭州高级中学2016届高三数学5月模拟考试试题 理

数学（理科）试题卷

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．考试时间120分钟． 试卷总分为150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．

    参考公式：

    球的表面积公式                             棱柱的体积公式

    S=4πR2                                                    V=Sh

    球的体积公式                           其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高．

    V=πR3                                               棱台的体积公式

    其中R表示球的半径                      V=h(S1++S2)

    棱锥的体积公式                        其中S1、S2表示棱台的上、下底面积，h表

    V=Sh                                    示棱台的高．

    其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高．        

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合, ,则  (     )

A．        B．            C．            D． 

2．已知函数，则函数在区间

上的零点个数是（  ）                                                      

   A．1　　　　    B．2　　　  　  C． 3　　　         D．4 

3．已知，且，则的值是(    )

A． 7                    B．         C．             D． 98

4．设中，角所对的边分别为，则“”的一个充分非必要条件是 (    )

 A．    B. 

 C.           D. 

5．已知数列的前项和为，对任意正整数，，则下列关于的论断中正确的是（      ）

．一定是等差数列                     ．一定是等比数列 

．可能是等差数列，但不会是等比数列   ．可能是等比数列，但不会是等差数列

6．已知不等式组所表示的平面区域为M，不等式组所表示的平面区域为N，若M中存在点在圆C：内，但N中不存在点在圆内，则的取值范围是                                           （    ） 

A．         B．     C．     D． 

7．已知双曲线方程为，，，是双曲线的左顶点，是双曲线的左焦点，直线与相交于，若双曲线离心率为2，则的余弦值为(        ) 

A．      B．        C．         D． 

8．如图，点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面上运动，且P到直线BC与直线C1D1的距离相等，如果将正方体在平面内展开，那么动点P的轨迹在展开图中的形状是（　　）

A．    B．C．    D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题有7小题, 多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.把答案填在答题卷的相应位置.

9．在等差数列中，，，则          ，设，则数列的前项的和             .

10．已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是            ；几何体的体积是        。

11．函数的部分图象如图，则函数表达式为          ；若将该函数向左平移1个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍得到函数          。

12．设圆与抛物线相交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若过点F且斜率为1的直线与抛物线和圆交于四个不同的点，从左至右依次为，则|P1P2|+|P3P4|的值         ，若直线m与抛物线相交于M，N两点，且与圆相切，切点D在劣弧上，则|MF|+|NF|的取值范围是      。

13．设为正数，且.则的最大值为       

14．在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，，

若，则与的夹角的余弦值等于         ．

15．如图，正四面体ABCD的顶点C在平面α内，且直线BC与平面α所成角为15°，顶点B在平面α上的射影为点O，当顶点A与点O的距离最大时，直线CD与平面α所成角的正弦值为__________

三、解答题：本大题共5小题,满分74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16．在中，分别为所对边，， 

(1) 求边长的值；（2）若为的中点，求线段的范围。

17．在矩形中，，，将沿折起，使得点折起至，设二面角的大小为．

（1）当时，求的长；（2）当时，求与平面所成角的正弦值．

D

18．设函数，。

（1）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围；

（2）若存在，使得与同时成立，求实数的最小值。

19．如图,焦点在轴的椭圆，离心率，且过点（-2，1），由椭圆上异于点的点发出的光线射到点处被直线反射后交椭圆于点(点与点不重合).

（1）求椭圆标准方程；

（2）求证:直线的斜率为定值；

（3）求的面积的最大值．

20. 数列定义为，，， 

（1）若，求的值；

（2）当时，定义数列，，，是否存在正整

数，使得。如果存在，求出一组，如果不存在，说明理由。

2016届热身卷答案

一、DCBB CDCB

二、9   10 28＋8π.   12＋4π. 11  

12    13 3   14  15 

三. 16．（1）

（2）方法一：易得

又  

方法二：以AB所在直线为x轴，中垂线为y轴，则C的轨迹方程是  三角代换，可得故

17．（1）在图1中，过作的垂线交于，交于，

则，

从而 

如图2，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系。

， 

（2）当时， 

由余弦定理知 

又易知平面，故有 

所以平面 

，

故，又，

求得的法向量 

又 

设与平面所成角为，

18解：（）由已知，在上有两个不同的实数解，所以，即，

解得。…………6分

（）由已知，    

（1）+（2）得，得，…………8分

再由（2）得，由（1）得，得。…………10分

于是，问题等价于：，且存在满足。…………12分

令，，

因为在上单调递减，

所以，即

故实数的最小值为7。…………15分

19解：（1）设椭圆方程为,

,椭圆经过点

椭圆方程为                                         5分

（2）设直线方程为，则直线的方程为

由  可得 

,设, 由可得

,

同理可得

                          10分

（3）由（2），设的方程为.由联立得： 令，得，

设，则

,

设原点到直线的距离为，则

,

当时，面积的最大值为                          15分

20. （1）， 

所以

故

所以

（2）由，

得，两边平方

所以

当时，由知，

又，数列递增

所以

类似地，，

又，

，

所以

存在正整数， 

存在一组