江苏省常州市2021-2022学年-有答案-八年级上学期期中数学试题

一、单选题

1.  下面四个图形中，是轴对称图形的    

A.    B.    C.    D.

2.  下列说法中正确的是    

A.两个全等三角形，一定是轴对称的

B.两个轴对称的三角形，一定全等

C.三角形的一条中线把三角形分成以中线为轴对称的两个图形

D.三角形的一条高把三角形分成以高线为轴对称的两个图形

3.  如图，用直尺和圆规作一个角的平分线，是运用了“全等三角形对应角相等”这一性质，由作图所得条件，判定三角形全等运用的方法是    

A.    B.    C.    D.

4.  下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是    

A.，，    B.，，    C.，，    D.，，

5.  如图，中，＝，＝，＝，则正方形的面积为   

A.    B.    C.    D.

6.  到直角三角形的三个顶点距离相等的点    

A.是该三角形三个内角平分线的交点

B.是斜边上的中点

C.在直角三角形的外部

D.在直角三角形的内部

7.  如图，是的角平分线，添加下列条件能使的是   

①＝；②＝；③＝；④＝

A.①②③    B.①②④    C.①③    D.①③④

8.  如图，等边中，点、分别是边、上两点，且＝，与相交于点，连接，若＝，的面积为，则等于   、

A.    B.    C.    D.

二、填空题

  下列个图形中，属于全等的个图形是________.（填序号） 

  已知（、分别与、对应），＝，＝，则的长为________. 

  如图，在和中，＝，根据“”，要使，需要增加的一个条件是________． 

  如图，直线是四边形的对称轴，，＝，则的大小为________． 

  中，＝，＝，＝，则边上的中线长为________． 

  如图，中，＝，、是边上两点，＝，＝，＝，则＝________． 

  如图，网格中的小正方形的边长是，那么阴影部分的面积是________． 

  中，＝＝，＝，则边上的高长为________． 

  如图，中，＝，分别以的边、、向外作等腰，等腰和等腰，记、、的面积分别为、、，则、、之间的数量关系是________． 

  如图，中，＝，＝，＝，点 是边上一点，将沿翻折 得到，当点落在内部时（不包括边），的取值范围是________. 

三、解答题

  如右图，已知点是线段外一点，请利用直尺和圆规画一点，使得点到、两点的距离相等，且点与点、在同一条直线上．（保留作图痕迹） 

  方格纸中每个小方格都是边长为的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．

⑴ 在图中画一个格点正方形，使得该正方形的面积为；

⑵ 在图中画出格点，使四边形为轴对称图形；

⑶ 在图中画出格点、，使得点、、、为顶点的四边形是轴对称图形，有且只有一个内角为直角．（画出一个即可） 

  如图，点、、、在同一直线上，点、在异侧，，＝，＝．求证：． 

  如图，是的高，点在边上，若＝，＝，＝．

⑴ 求，的长．

⑵ 判断的形状并加以说明． 

  如图，中，＝，点、分别是、上两点，且＝．、交于点．

⑴ 求证：＝；  

⑵ 连接，若＝，试说明平分． 

  如图，中，＝，＝．

⑴ 利用直尺和圆规在边上求作一点，使得＝，并说明理由；（不写作法，保留作图痕迹）

⑵ 在⑴的条件下，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 

  如图，长方形草坪的长为，宽为，草坪内有条笔直的道路，和，＝．小丽在点处沿方向步行，与此同时小明在点处沿方向以相同的速度步行，经过秒后两人刚好在点处相遇．请求出小明步行的速度． 

  如图，长方形中，＝，＝，为边上一点，＝，动点从点出发，沿以个单位作匀速运动，设运动时间为．

⑴ 当为________时，与全等；

⑵ 如图，为的高，当点在边上运动时，的最小值是________；

⑶ 当点在的垂直平分线上时，求出的值． 

参与试题解析

江苏省常州市2021-2022学年八年级上学期期中数学试题

一、单选题

1.

【答案】

A

【考点】

轴对称图形

反比例函数图象上点的坐标特征

轴对称的性质

【解析】

根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【解答】

解：、是轴对称图形，故本选项正确；

、不是轴对称图形，故本选项错误；

、不是轴对称图形，故本选项错误；

、不是轴对称图形，故本选项错误．

故选：．

2.

【答案】

B

【考点】

全等三角形的判定

全等三角形的性质

全等图形

【解析】

根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【解答】

解：、两个全等三角形，一定是轴对称的错误，三角形全等位置上不一定关于某一直线对称，故本选项错误；

、两个轴对称的三角形，一定全等，正确，故本选项正确；

、三角形的一条中线把三角形分成以中线为轴对称的两个图形，错误，故本选项错误；

、三角形的一条高把三角形分成以高线为轴对称的两个图形，错误，故本选项错误．

故选：．

3.

【答案】

D

【考点】

全等三角形的判定

全等三角形的性质

作图—基本作图

【解析】

根据作图过程可知用到的判定三角形全等的方法是．

【解答】

解：由作图可知，

∴   

．

故选：．

4.

【答案】

D

【考点】

勾股定理的逆定理

勾股定理

三角形三边关系

【解析】

根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．

【解答】

解：、，不能构成直角三角形，故此选项错误；

、，不能构成直角三角形，故此选项错误；

、，不能构成直角三角形，故此选项错误；

、，能构成直角三角形，故此选项正确．

故选：．

5.

【答案】

C

【考点】

勾股定理

正方形的性质

相似图形

【解析】

首先利用勾股定理求出的长，再利用正方形面积求法得出即可．

【解答】

解：在中

则正方形的面积为：

故选：．

6.

【答案】

B

【考点】

直角三角形斜边上的中线

【解析】

到三角形三个顶点距离相等的点称三角形的外心，直角三角形的外心在直角三角形的斜边上，并且是斜边的中点，据此来判断．

【解答】

解：到三角形三个顶点距离相等的点称三角形的外心，直角三角形的外心在直角三角形的斜边上，并且是斜边的中点．

故选：．

7.

【答案】

C

【考点】

全等三角形的判定

角平分线的定义

全等三角形的性质

【解析】

根据是的角平分线，并是的公共边，即有一个角和一条边对应相等这两个条件，根据全等三角形

的判定定理，只需要在添加一个邻角或者对角，或者一条夹边即可判断两个三角形全等，以此来判断即可得到结果

【解答】

解：是的角平分线，

．，并是的公共边，

当添加①时，可用证明

当添加②时，无法证明

当添加③时，，可用证明

当添加④时，无法证明

综上所述，正确的只有①③．

故选：．

8.

【答案】

B

【考点】

等边三角形的性质

【解析】

题目已知只有在等边中，，并不限定和的其他条件，可以设特殊边特殊角去解题，设，为，的中点

，则，分别为等边的中线，由，可得，则，所以有，则可得出结果

【解答】

解：设，为，的中点，则，分别为等边的中线，

…

故选：．

二、填空题

【答案】

①③

【考点】

轴对称图形

全等图形

全等三角形的判定

【解析】

先求出的度数，然后分析求解即可．

【解答】

解：在③中，

…与○中的相等，并且两夹边对应相等，

∴   属于全等的个图形是①③

故答案为：①③．

【答案】

【考点】

全等三角形的性质

【解析】

由全等三角形的对应边相等求解．

【解答】

解：（、分别与、对应）

故答案为：

【答案】

（或平分）

【考点】

全等三角形的判定

全等三角形的性质

等腰三角形的判定与性质

【解析】

题目已知（公共边），再加上，即可利用证明

【解答】

解：添加条件：（或平分）

在和中，

∴   

故答案为：（或平分）

【答案】

【考点】

平行线的性质

平行线的判定与性质

三角形的外角性质

【解析】

先求出的度数，然后利用对称性求出

【解答】

解：

…

又…直线是四边形的对称轴，

故答案为：

【答案】

【考点】

直角三角形斜边上的中线

【解析】

利用，可知，则可知是直角三角形，并且是的斜边，根据直角三角形斜边上的中线

等于斜边的一半即可求解．

【解答】

解：

是直角三角形，并且是的斜边，

又：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，

．边上的中线长

【答案】

【考点】

全等三角形的应用

【解析】

先，利用证明，然后根据求解

【解答】

解：

．

故答案为：

【答案】

【考点】

解直角三角形

【解析】

将阴影部分补全为一个大的正方形，然后利用大正方形的面积减去各个三角形，小正方形的面积即可．

【解答】

解：如图示：

∴   

故答案为：

【答案】

【考点】

勾股定理

等腰三角形的判定与性质

等腰三角形的性质

【解析】

利用等腰三角形的性质和勾股定理即可求解．

【解答】

解：如图示：作，即是边上的高，

是等腰三角形，

…由勾股定理可得：

故答案为：

【答案】

【考点】

等腰直角三角形

勾股定理

三角形的面积

【解析】

利用三角形的面积公式和勾股定理求解即可．

【解答】

解：中，

又：在等腰等腰和等腰中，

并且有：

即：

…可化为：

即：

故答案为：

【答案】

【考点】

翻折变换（折叠问题）

相似三角形的性质与判定

动点问题

【解析】

分两种情况讨论：当落在时或当落在时的情况，即可得出的取值范围．

【解答】

解：在中，

（1）当落在时，如下图示：

则

（2）当落在时，作于．于，

如下图示：

则根据折叠的性质，有．

∴   和均为等腰直角三角形，

并且：

即：

…

解之得：

…根据勾股定理，可得：

…根据题目已知，点落在内部时（不包括边），

故答案为：

三、解答题

【答案】

作图见解析

【考点】

经过一点作已知直线的垂线

【解析】

先作出的垂直平分线，然后连接，两点，并延长交的垂直平分线于一点，则交点为所求

【解答】

解：先作垂直平分，连接，两点，延长佼于点，则点为所求

【答案】

（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【考点】

利用轴对称设计图案

作图-轴对称变换

反比例函数系数k的几何意义

【解析】

（1）要使得该正方形的面积为，则边长为，即构造一个斜边长为的直角三角形，然后以斜边为一边作出正方形即

可；

（2）以为对称轴，作出点的对称点点，则点为所求；

（3）在点的下方，作，并且，然后作的垂直平分线，在垂直平分线上任意取一个格点即可．

【解答】

①如图示，要使得该正方形的面积为，则边长为，即构造一个斜边长为的直角三角形，然后以斜边为一边作正方

形（答案不唯一）；

如图，以为对称轴，作点的对称点点，则点为所求（答案不唯一）；；

③）如图，在点的下方，作，并且，然后作的垂直平分线，在垂直平分线上任意取一个格点，则、

为所求（答案不唯一）．

【答案】

证明见解析

【考点】

全等三角形的应用

【解析】

根据平行线的性质可得，再根据等式的性质可得，然后利用判定，根据全等三角形对应边相等可

得即可解决问题．

【解答】

．

即

在和中

【答案】

（1）是直角三角形理由见解析

【考点】

三角形的面积

勾股定理的逆定理

勾股定理

【解析】

（1）利用勾股定理求解；

（2）利用勾股定理判断三角形的形状．

【解答】

是的高

中，

中，

是直角三角形．

是直角三角形

【答案】

（1）证明见解析；（2）证明见解析

【考点】

全等三角形的应用

【解析】

（1）由，得，则可证，所以有，可得

（2）先利用等腰三角形的性质证明，则有，利用，可证，即平分．

在和中

即

（2）

．．

即平分

【解答】

此题暂无解答

【答案】

（1）见解析；，理由见解析．

【考点】

已知底边及底边上的高线作等腰三角形

【解析】

（1）在上截取，利用等腰三角形的性质可证点为所求作的点

（2）利用等腰三角形的两个底角相等，求出，化简可得

，利用，可证，即：

【解答】

如图，在上截取，则点为所求作的点

∴   

判断：

即：

即：

∴   

即：

【答案】

小明步行的速度为

【考点】

一元二次方程的应用

动点问题

矩形的性质

【解析】

设长为，贝，则根据题意得：，结合勾股定理：

，可得方程，求解后，利用时间等于路程除以时间即可求出．

【解答】

解：设长为，贝

根据题意得：

∴   

∴   

∴   

解得：

答：小明步行的速度为

【答案】

（1）．；（3）的值为或

【考点】

动点问题

翻折变换（折叠问题）

勾股定理

【解析】

（1）由与全等可得，通过时间路程一速度可以得出；

（2）当点运动到点时，最小，据此利用面积法求解；

（3）分两种情况讨论：当点在上时或当点在上时，分别利用勾股定理求解即可．

【解答】

解：

①当与全等时，

如图示，

依题意得：当点运动到点时，最小，

…由勾股定理可得：

根据，可得

即：

（3）一点在的垂直平分线上

．如图，当点在上时，过点作于点

则

中，

…

解得：

．当点在上时，

…

解得：

综上所述：当点在的垂直平分线上时，的值为或