新北师大版七年级数学下导学案 第二章 平行线与相交线

2.1   两条直线的位置关系

一、学习目标： 

1、知识目标：在具体情景中了解对顶角、补角、余角，知道对顶角相等、等角的余角相等、等角的补角相等，并能解决一些实际问题。

2、能力目标：（1）经历观察、操作、推理、交流等过程，发展空间观念、推理能力和有条理地表达的能力。（2）能运用互为余角、互为补角、对顶角等相关的知识解决一些实际问题。

 3、情感目标：在活动中培养学生乐于探究、合作的习惯，体验探索成功、感受创新的乐趣，从而培养学习数学的主动性；进一步体会“数学就在我们身边”，增强学生用数学解决实际问题的意识。

二、学习重点：了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等。

三、学习难点：学生探索等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等的过程以及对其意义的理解，并能解决一些实际问题。初步的“说理”也是难点之一。

四、学习设计：

（一）预习准备

（1）预习书38、39页

（2）回顾：①什么是直角？②什么是平角？

（3）预习作业：

①在一副三角板中,每块都有一个角是90°,那么其余两个角的和是多少?

②已知∠1＝36°，∠2＝54°，那么∠1+∠2＝_________

③已知∠1＝144°，∠2＝36°，那么∠1+∠2＝_________

（二）学习过程：

1、创设情境，引入课题

⑴请同学们拿出事先准备好的直角纸板，用剪刀把直角从顶点剪开，问：这两个角有什么关系？

⑵再拿出平角纸板并用剪刀把平角从顶点剪开，问：这两个角有什么关系?

⑶请同学们分别给这两个角命名——引入课题

2、展示新知：

⑴在一副三角尺中，每块都有一个角是90o，而其他两个角的和是90o 。一般情况下，如果两个角的和等于90o （直角），我们就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．例如，∠1与∠2互为余角，∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角．

 同样，如果两个角的和等于180o (平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．

⑵符号语言：若∠1+∠2= 90o ， 那么∠1与∠2互余。

若∠3+∠4=180o ， 那么∠3与∠4互补。

3、注：（1）“互为”这个词语，与“互为相反数”、“互为倒数”等词语中的含义有联系，均表示成对出现； 

　　（2）互为余角以及互为补角的角，主要反映了角的数量关系，而不是角的位置关系,可以把剪下的 ∠1、∠2 、∠3、∠4摆放出各种不同位置。 

（3）区分互为补角和互为余角，区别在于两角的和是180°还是90°。

4、应用新知体验成功

⑴若∠1与∠2互余，则∠1+∠2=__________

⑵若∠1= 90o—∠2，则∠1+∠2=__________

⑶60O32’的补角是_______，余角是_______

(一个角的余角一定比这个角的补角小吗？)

⑷30O角的余角的补角是__________

⑸填表：

变式训练：（1）一个角的补角是它的3倍，求这个角。

（1）一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角。

5、探讨余角与补角的性质

例1 如图：∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？

已知∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？

余角与补角的性质：

______________________________________________________。

巩固练习

(7)如图，∠EDC=∠CDF=90°，∠1=∠2．图中哪些角互为余角?哪些角互为补角? ∠ADC与∠BDC有什么关系?为什么?

∠ADF与∠BDE有什么关系?为什么?

(8)如图，C是AB上的一点，CD是∠ACB的平分线，则

① 图中互余的角是______________  互补的角是__________，相等的角是_____________

②在图中再添一条射线CF，使∠FCE=Rt∠，则图中∠FCD余角是____________  ∠ACF的余角是__________，∠FCB的补角是__________，理由是____________________________________

(9)已知：如图∠AOB =∠COD= Rt∠，问：图中有几对相等的角，并说明理由

对顶角的概念

______________________________________________________

对顶角相等的性质______________________________________________________。

六、课堂练习：

1．已知∠A=40°，则∠A的余角等于______．

2．已知：如图所示，AB⊥CD，垂足为点O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（  ）

A．相等    B．互余    C．互补    D．互为对顶角

3．如图所示，直线AB，CD相交于点O，∠BOE=90°，若∠COE=55°，求∠BOD的度数．

4．如图所示，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠AOC=120°。求∠BOD，∠AOE的度数．

拓展训练：

1．（一题多解题）如图所示，三条直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOF=3∠FOB，∠AOC=90°，求∠EOC的度数．

2．（科内交叉题）一个角的补角与这个角的余角的和比平角少10°，求这个角．

3．（课外交叉题）如图所示，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．若∠1=42°，∠2=28°，则光的传播方向改变了______度．

4．（实际应用题）如图所示是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中4个角上的阴影部分分别表示4个入球袋．如果一个球按图中所示的方向被击出（假设用足够的力气击出，使球可以经过多次反射），那么该球最后落入哪个球袋？在图上画出被击的球所走路程．

七、小结：

一、学习目标：

1、经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展空间观念，推理能力和有条理表达的能力。

2、会认由三线八角所成的同位角。

3、掌握平行线公理及平行线的传递性。

4、掌握直线平行的条件并能解决一些问题

二、学习重点：会认各种图形下的同位角，并掌握直线平行的条件是“同位角相等，两直线平行”

三、学习难点：判断两直线平行的说理过程

四、学习设计：

（一）课前准备

（1）预习书44-48页

（2） 思考①什么叫同位角、内错角、同旁内角？②同位角、内错角、同旁内角有什么特征？

（3）预习作业

如图所示，①是          角；它们是由直线      和直线     ，被直线      所截得的；②是          角；它们是由直线      和直线     ，被直线      所截得的；③是          角；它们是由直线      和直线     ，被直线      所截得的。

（二）学习过程

1、两直线被第三直线所截，可形成的角有        ，          ，       。

同位角、内错角、同旁内角的特征（简称“三线八角”）如下表：

2、平行判定1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角    ，那么这两直线      。

简称：                                          （公理）

如图，可表述为：

∵            (          )

∴            (                 )

例2如图

（1）

        （垂直的定义）

   ∴      ∥      （同位角相等，两直线平行）

（2）用一句精炼的话总结（1）所包含的规律                             

变式训练：如图所示

1、（已知）

  ∴      ∥      （            ）

2、（已知）

∴      ∥      （            ）

例3、如图，已知，直线BC与DF平行吗？为什么？

变式训练：如图，已知，试问a与b平行吗？说说你的理由。

1、平行线公理：过直线外一点有              条直线与这条直线平行。

2、平行线的传递性：

几何语言：

拓展：

如图，已知，问再添加什么条件可使AB∥CD？试说明理由。

2.2  探索直线平行的条件（2）

一、学习目标：

1、经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力。

 2、经历探索直线平行的条件的过程，掌握直线平行的条件，并能解决一些问题。

 3、会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。

二、学习重点：弄清内错角和同旁内角的意义，会用“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”。

三、学习难点：

会用“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”。

四、学习设计

（一）预习准备

（1）预习书47-48页

（2）回顾：①什么是同位角？什么是内错角？什么是同旁内角？②同位角相等，两直线平行。

（3）预习作业：

如图所示：

（1）如果，那么      ∥      

理由是                                

（2）如果，那么      ∥      

理由是                                

（3）如果，那么      ∥      

理由是                                

（4）如果，那么      ∥      

理由是                                

（二）新课学习：

平行判定2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角    ，那么这两直线      。

简称：                                          

如图，可表述为：

∵            (         ) 

∴             （               )

平行判定3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角    ，那么这两直线      。

简称：                                 

如图，可表述为：

∵            (         )

∴             （               )

例1、如右图，∵∠1＝∠2  

 ∴     ∥     ，                           

∵∠2＝     

∴    ∥    ，（同位角相等，两直线平行）

∵∠3＋∠4＝180°

∴    ∥     ，                           

∴AC∥FG，                               

变式训练：如图所示，AB⊥BC于点B，BC⊥CD于点C，∠1=∠2，那么EB∥CF吗？为什么？

例2、如图，已知，那么AB∥CD成立吗？请说明理由。

变式训练：如图所示，若∠1+∠2=180°，∠1=∠3，EF与GH平行吗？

    解：为∠1+∠2=180°（                      ）

    所以AB∥_______（                       ）

    又因为∠1=∠3（                      ）

    所以∠2+∠________=180°（                   ）

所以EF∥GH（                      ）

拓展：1、如图所示，BE是∠ABD的平分线，DE是∠BDC的平分线，且∠1+∠2=90°，那么直线AB，CD的位置关系如何？并说明理由．

解：AB∥CD  理由如下：

∵BE是∠ABD的平分线，DE是∠BDC的平分线（       ）

∴∠1=      ,∠2＝       （            ）

∵∠1+∠2=90º(            )

∴∠ABD+∠CDB＝                 ＝              ＝180º。

∴CD∥AB（       ）

2.如图所示，根据下列条件可推得哪两条直线平行，并说明理由。

（1）∠ABD=∠CDB；（2）∠CBA+∠BAD=180º；

（3）∠CAD＝∠ACB。

当堂测评：

1．如图1所示，若∠BEF+______=180°，则AB∥CD．

2．（2008，齐齐哈尔市）如图2所示，请你写一个适当的条件_______， 使AD∥BC．

            图2                    图3                       图4

3．如图3所示，若∠1=30°，∠2=80°，∠3=30°，∠4=70°，若AB∥____．

5．如图5所示AE∥BD，下列说法不正确的是（  ）

    A．∠1=∠2      B．∠A=∠CBD     C．∠BDE+∠DEA=180°  D．∠3=∠4

    图5                 图6                      图7

 6．如图6所示，能说明AB∥DE的有（  ）

    ①∠1=∠D； ②∠CFB+∠D=180°； ③∠B=∠D； ④∠BFD=∠D．

    A．1个      B．2个     C．3个     D．4个

7.如图7所示，点E在AD的延长线上，下列条件中能判断BC∥AD的是（  ）

    A．∠3=∠4    B．∠A+∠ADC=180°    C．∠1=∠2    D．∠A=∠5       

2.3    平行线的性质

一、学习目标

1、经历观察、操作、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力。

2、经历探索平行线特征的过程，掌握平行线的特征，并能解决一些问题。

二、学习重点

平行线的特征的探索

三、学习难点

运用平行线的特征进行有条理的分析、表达

四、学习过程

（一）预习准备

（1）预习书50-53页

（2）回顾：平行线有哪些判定方法？

（3）预习作业

1、如图，已知BE是AB的延长线，并且AD∥BC,AB∥DC，若，则     度，     度。

2、如图，当      ∥      时，；

当      ∥      时，；

（二）学习过程

例1  如图，已知AD∥BE，AC∥DE，，可推出（1）；（2）AB∥CD。填出推理理由。

证明：（1）∵AD∥BE（           ）

∴（                         ）

又∵AC∥DE（ ）

∴（                       ）

∴（                         ）

（2）∵AD∥BE（           ）

∴（                             ）

又∵（                               ）

∴（                                  ）

∴AB∥CD（                                        ）

变式训练：如图，下列推理所注理由正确的是（           ）

A、∵DE∥BC

 ∴（同位角相等，两直线平行）

B、∵

   ∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）

C、∵DE∥BC

   ∴（两直线平行，内错角相等）

D、∵

   ∴DE∥BC（两直线平行，同位角相等）

例2如图，已知AB∥CD，求的度数。

变式训练：如图，已知AB∥CD，试说明

拓展：1、如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，的平分线与的平分线相交于点P，则，试说明理由。

2、如图，已知EF∥AB，CD⊥AB，，试说明DG∥BC。

回顾小结：

1、说说平行线的三个性质是什么？

2、平行线的性质与平行线的判定的区别：

判定：角的关系       平行关系

性质：平行关系       角的关系

3、证平行，用判定；知平行，用性质。

2.4用尺规作角

一、学习目标：1、会用尺规作一个角等于已知角。

二、学习重点：1、作一个角等于已知角。

               2、作角的和、差、倍数等。

三、学习难点：作角的和、差、倍。

四、学习设计

（一）预习准备

（1）预习课本55-56页

（2）思考①什么叫尺规作图？②直尺的功能？圆规的功能？

（3）预习作业

利用尺规按下列要求作图

（1）延长线段BA至C，使AC=2AB

（2）延长线段EF至G，使EG=3EF

（3）反向延长MN至P，使MP=2MN

（二）学习过程

1、（1）只用没有          的直尺和       作图成为尺规作图。

（2）尺规作图时，直尺的功能是（1）                     ，（2）                   

圆规的功能是（1）                      ，（2）                     

例1下列说法正确的是（  ）

A、在直线l上取线段A、做

 C、延长射线O、反向延长射线OB

例2作图

（1）用尺规作一个角等于已知角.

已知：∠。求作：∠AOB，使∠AOB=∠

（2）用尺规作一个角等于已知角的倍数: 

已知：∠1求作：∠MON，使∠MON=2∠1

（3） 用尺规作一个角等于已知角的和:

 已知：∠1、∠2、求作：∠AOB，使∠AOB=∠1+∠2

（4）用尺规作一个角等于已知角的差:

已知：∠1、∠2、求作：∠AOB，使∠AOB=∠2－∠1

回顾小结：常见作图语言：（1）作∠XXX=∠XXX。

             （2）作XX（射线）平分∠XXX。

             （3）过点X作XX⊥XX，垂足为点X。

第二章  回顾与思考

全章知识回顾

1、概念：相交线、平行线、对顶角、余角、补角、邻补角、垂直、同旁内角、同位角、内错角、平行线。

2、公理：平行公理、垂直公理

3、性质：

（1）对顶角的性质                                 ；

（2）互余两角的性质                                 ；

互补两角的性质                                 ；

（3）平行线性质：两直线平行，可得出                      ；

                               ；                          

平行线的判定：                     或                               或

                          都可以判定两直线平行。

3、垂线段定理：

4、点到直线的距离：

7、辨认图形的方法

（1）看“F”型找同位角；

（2）看“Z”字型找内错角；

（3）看“U”型找同旁内角；

8、学好本章内容的要求

（1）会表达：能正确叙述概念的内容；

（2）会识图：能在复杂的图形中识别出概念所反映的部分图形；

（3）会翻译：能结合图形吧概念的定义翻译成符号语言；

（4）会画图：能画出概念所反映的几何图形及变式图形，会在图形上标注字母和符号；

（5）会运用：能应用概念进行判断、推理和计算。

例1  已知，如图AB∥CD，直线EF分别截AB，CD于M、N，MG、NH分别是的平分线。试说明MG∥NH。

例2已知，如图

例3已知，如图AB∥EF，,试判断BC和DE的位置关系，并说明理由。

变式训练：

1、下列说法错误的是（ ）

A、是同位角 、是同位角

C、是同旁内角 、是内错角

2、已知：如图，AD∥BC，，求证：AB∥DC。

证：∵AD∥BC(已知)

∴      （ ）

又∵（已知）

∴（ ）

∴

∴AB∥DC（ ）

几何书写训练

1、已知：如图，AB∥CD,直线EF分别截AB、CD于M、N,MG、NH分别是的平分线。求证：MG∥NH。

证明：∵AB∥CD（已知）

∴       =        （ ）

∵MG平分（已知）

∴       =      =        （ ）

∵NH平分（已知）

∴       =      =        （ ）

∴       =      （  ）

∴       =      （ ）

2、已知：如图，

证明：∵AF与DB相交（已知）

∴       =      （  ）

∵（已知）

∴       =      （  ）

∴       =      （ ）

∴       =（ ）

∵（已知）

∴       =      （  ）

∴       =      （ ）

∴       =      （ ）

3、已知：如图，AB∥EF，.求证：BC∥DE

证明：连接BE，交CD于点O

∵AB∥EF（已知）

∴       =      （ ）

∵（已知）

∴       —     =      —       （ ）

∴       =      （ ）

∴       ∥      （ ）

4、已知：如图，CD⊥AB，垂足为D，点F是BC上任意一点，EF⊥AB，垂足为E，且，，求的度数。

解：∵CD⊥AB，EF⊥AB（已知）

∴       ∥      （ ）

∴       =      （ ）

∵（已知）

∴       =      （ ）

∴       ∥      （ ）

∴       =      （ ）

∵（已知）

∴      （ ）

5、如图，已知。

推理过程：∵（ ）

（已知）

∴（等量代换）

∴       ∥      （ ）

∴（ ）

 又∵（ ）

∴（ ）

 ∴（ ）

6、已知AB∥CD，EG平分，FH平分,试说明EG∥FH。

推理过程：∵AB∥CD（已知）

 ∴=      （ ）

 ∵EG平分，FH平分（ ）

 ∴    ，  （  ）

 ∴（ ）

 ∴EG∥FH（ ）

7、如图，已知AB⊥BC，BC⊥CD，，试说明BE∥CF。

推理过程：∵AB⊥BC，BC⊥CD（ ）

 ∴(               )

∴

又∵（ ）

∴（ ）

 ∴BE∥    （   ）

8、如图，BE∥CD，，试说明

推理过程： ∵BE∥CD（ ）

∴     （ ）

∵（已知）

∴     （ ）

∴BC∥    （ ）

∴（ ）

9、如图，DE⊥AO于E，BO⊥AO，FC⊥AB于C，，试说明OD⊥AB。

推理过程： ∵DE⊥AO，BO⊥AO（已知）

∴DE∥    （ ）

∴     （ ）

∵（ ）

∴     （ ）

∴CF∥     （ ）

∴     （ ）

∵FC⊥AB（已知）

∴     （ ）

 ∴     （ ）

 ∴OD⊥AB（ ）

10、如图，BE平分，DE平分，DG平分,且，试说明BE∥DG.

推理过程：∵BE平分，DE平分（ ）

∴      ，       （ ）

∵（已知）

∴     =180°

∴    ∥     （ ）

∴     （ ）

∵DG平分（已知）

 ∴     （   ）

∴（ ）

 ∴BE∥DG（ ）