高考数学一轮复习《圆锥曲线》练习题(含答案)

一、单选题

1．双曲线的渐近线方程是（      ）

A． ．

C． ．

2．已知双曲线的左右焦点分别为，若直线与双曲线的一个交点的横坐标恰好为，则双曲线的离心率为（    ）

A． ． ． ．

3．如图，在体积为3的三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，，若点M是侧面CBP内一动点，且满足，则点M的轨迹长度的最大值为（    ）

A．3 ．6 ． ．

4．抛物线的焦点坐标为（    ）．

A． ．

C． ．

5．设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线相交于A，B，点A在第一象限，且|AF|﹣|BF|，则（    ）

A． ．2 ．3 ．4

6．已知抛物线：的焦点为，是坐标原点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且点，分别位于第一、四象限，交抛物线的准线于点．若，，则（    ）

A． ． ．2 ．

7．若双曲线的中心为坐标原点，焦点在轴上，其离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（    ）

A． ． ． ．

8．已知双曲线的左、右焦点分别为，为坐标原点.若点在上，，，，则的离心率为

A． ． ． ．

9．设，是离心率为5的双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于

A． ．

C．24 ．48

10．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，直线，动点M在C上运动，记点M到直线l与l′的距离分别为d1，d2，O为坐标原点，则当d1+d2最小时，cos∠MFO＝（　　）

A． ． ． ．

11．如图，已知正方体的棱长为分别是棱上的动点，若，则线段的中点的轨迹是（    ）

A．一条线段 ．一段圆弧

C．一部分球面 ．两条平行线段

12．已知拋物线的焦点为椭圆的右焦点，且与的公共弦经过，则椭圆的离心率为（    ）

A． ． ． ．

二、填空题

13．已知点(3，2)在椭圆上，则点(-3，3)与椭圆的位置关系是__________.

14．过点且渐近线与双曲线的渐近线相同的双曲线方程为______.

15．焦点在轴上的双曲线的离心率为，则的值为___________.

16．已知过抛物线C：y2＝8x焦点的直线交抛物线于A，B两点，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为M，，则A点的横坐标为___．

三、解答题

17．求经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程．

18．已知椭圆：，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点，求的取值范围．

19．已知椭圆的离心率，且椭圆C经过点.

(1)求椭圆C的方程.

(2)不过点P的直线与椭圆C交于A，B两点，记直线PA，PB的斜率分别为，，试判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

20．在平面直角坐标系中，已知椭圆与的离心率相等．椭圆的右焦点为F，过点F的直线与椭圆交于A，B两点，射线与椭圆交于点C，椭圆的右顶点为D．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若的面积为，求直线的方程；

（3）若，求证：四边形是平行四边形．

21．已知是椭圆上的两点.

（1）求椭圆的离心率；

（2）已知直线过点，且与椭圆交于另一点（不同于点），若以为直径的圆经过点，求直线的方程.

22．已知椭圆的离心率，短轴的两个端点分别为，.

(1)求椭圆的方程；

(2)设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点.问在轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过定点，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.

23．已知点在圆上运动，轴，垂足为，点满足.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过点的直线与曲线交于两点，记的面积为，求的最大值.

24．已知抛物线：的焦点为，圆：，过轴上点且与轴不垂直的直线与抛物线交于、两点，关于轴的对称点为，为坐标原点，连接交轴于点，且点、分别是、的中点.

（1）求抛物线的方程；

（2）证明：直线与圆相交

参

1．C2．C3．A4．C5．B6．B7．B8．D9．C10．A11．B12．A

13．点在椭圆外

14．

15．

16．4

17．设所求的等轴双曲线的方程为：，

将代入得：，即，

所以等轴双曲线的标准方程：

18．解：由椭圆：知，，，则，

所以椭圆的右焦点为．

当直线的斜率不存在时，．

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

将其代入椭圆的方程得．

设，，则，，

所以

因为，所以．

综上，的取值范围是．

19．(1)

因为，所以，所以.

因为椭圆C过，所以，

所以，，故椭圆C的标准方程为.

(2)

因为直线l不过，且直线PA，PB的斜率存在，所以且.

设，，联立方程组,得，

则，.

由，得且.

因为，

所以，

即为定值，且.

20．（1）由题意知，椭圆的长轴长，短轴长，焦距，

椭圆的长轴长，短轴长，焦距．

因为椭圆与的离心相等，所以，即，

因为，所以，

所以椭圆的标准方程为．

（2）因为椭圆右焦点为，且A，O，B三点不共线，

设直线的方程为，联立，

消x得．

设，，，

所以，

即．

因为  

，

化简得，所以，

所以直线的方程为，即． 

（3）因为，所以．

因为，所以，

所以 

因为在椭圆上，

所以，所以消，得．

代入，由对称性不妨设，所以，

从而得，，

即．

所以，直线的方程为，

联立，得．

由题知，所以，所以．

又，所以．

又因为不共线，所以，

又，且不共线，所以．

所以四边形是平行四边形．

21．解：（1）由已知，

由点在椭圆上可得，

解得.

所以，

所以椭圆的离心率是；

（2）当直线过点且斜率不存在时，可得点，不满足条件；

设直线的方程为），点，

由可得，

显然，此方程两个根是点和点的横坐标，

所以，即，

所以，

因为以为直径的圆经过点，

所以，即，

，

即，

，，

当时，即直线，与已知点不同于点矛盾，

所以，

所以直线的方程为.

22．（1）由题意可设椭圆为

由题意可得，，可得，

所以椭圆的方程为：.

（2）联立，整理可得：，

由题意可得，

可得；可得，，即.

联立，可得，，即，

设在轴上存在.

由，可得，

可得，

即，

可得，可得，

即定点.

23．（1）设，，

∵，∴为的中点，

∴∴，即.

∴点的轨迹的方程.

（2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为，

将直线方程代入椭圆方程中得，

∴.

设，

∴

令，则，

∴，

∵，∴时，，

∴的最大值.

24．（1）设点，，

因为圆：，所以圆心，

因为点是的中点，

所以，解得，则点，

因为点是的中点，

所以，则，解得，

故抛物线的方程为.

（2）因为关于轴的对称点为，

所以设，，，

设直线的方程为，即，

联立，消去得，则，

设直线的方程为，

联立，消去得，则，

故，易知，则，直线的方程为，必过定点，

而圆：正好与轴交于定点，

且过点的所有直线中，只有与轴重合的直线才能与圆：相切，

直线显然不可能是轴，

因此，直线与圆相交.